2024-2025学年上海市虹口区高一上学期期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年上海市虹口区高一上学期期末考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 94.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-22 20:36:53 | ||
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文档简介
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为实数，则“”是“”的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.设正实数满足，则下列结论不正确的是 ．
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
3.函数图像的大致形状为( )
A. B.
C. D.
4.定义运算：若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.设，则 ．
A. 函数的最大值为，最小值为
B. 函数的最大值为，无最小值
C. 函数的最大值为，无最小值
D. 函数的最大值为，最小值为
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
7.已知集合，则 ．
8.不等式的解集为 ．
9.已知是方程的两个实根，则 ．
10.计算： ．
11.已知，则 ．
12.函数的零点为 ．
13.已知关于的方程的一个根大于，另一个根小于，则实数的取值范围为 ．
14.已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 ．
15.设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ．
16.设，若，则实数 ．
17.设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 ．
18.设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 ．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
当时，求；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
设
作出函数的大致图象，并指出它的单调区间；
当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数．
21.本小题分
如图所示，为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为
求关于的函数表达式
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少
22.本小题分
设．
若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
若，函数在上的最小值为，求的值．
23.本小题分
设，已知是上的奇函数．
求的值，并判断函数的单调性；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
24.本小题分
对于函数，若存在区间，同时满足：
函数在上是单调函数；
函数的定义域为时，其值域也为则称为函数的“优美区间”．
判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由；
若函数存在“优美区间”，求的最小值；
若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值．
25.本小题分
对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”．
判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由；
求证：函数在上存在“漂移点”；
若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：
由得，得，
故函数的定义域为，
当时，，
．
若是的必要条件，则，
故，得，
故实数的取值范围为
20.解：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，递增区间是，．
依题意，关于的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为，
当或时，直线与函数的图像有个公共点，即方程的解的个数为，
当时，直线与函数的图像有个公共点，即方程的解的个数为，
综上得：当时，方程的解的个数为，当或时，方程的解的个数为，
当时，方程的解的个数为．
21.解：
由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
所以有，
整理得．
由知，即，
因为，所以由基本不等式可得，
令，则，解得舍去或
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为．
22.解：
当时，函数
不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．
当时，，其图象的对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
，解得，不符合要求；
当，即时，函数在上单调递减，
，解得，不符合要求；
当，即时，，解得或，则，
所以的值是．
23.解：
由函数是上的奇函数，得，
则，而，解得，
函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数，
所以，函数是上的增函数．
由知，函数是上单调递增的奇函数，
对任意，不等式
，而，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．
24.解：
因为函数在为增函数，所以在也为增函数，
又因为，所以的值域为，
所以为函数的“优美区间”．
因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”，
所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根，
所以，解得或
所以的最小值为．
定义域为，假设或，
在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，
所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根，
所以或，又
所以，
当时，取得最大值为．
25.解：
假设函数有“飘移点”，则有解，
即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点．
令
，
所以，所以，
又在连续，
所以在至少有一个实根，
即函数在上存在漂移点；
若在上有飘移点，
所以成立，即，，
整理得，
由，，则．
则实数的取值集合是．
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一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为实数，则“”是“”的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.设正实数满足，则下列结论不正确的是 ．
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
3.函数图像的大致形状为( )
A. B.
C. D.
4.定义运算：若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.设，则 ．
A. 函数的最大值为，最小值为
B. 函数的最大值为，无最小值
C. 函数的最大值为，无最小值
D. 函数的最大值为，最小值为
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
7.已知集合，则 ．
8.不等式的解集为 ．
9.已知是方程的两个实根，则 ．
10.计算： ．
11.已知，则 ．
12.函数的零点为 ．
13.已知关于的方程的一个根大于，另一个根小于，则实数的取值范围为 ．
14.已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 ．
15.设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ．
16.设，若，则实数 ．
17.设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 ．
18.设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 ．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
当时，求；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
设
作出函数的大致图象，并指出它的单调区间；
当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数．
21.本小题分
如图所示，为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为
求关于的函数表达式
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少
22.本小题分
设．
若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
若，函数在上的最小值为，求的值．
23.本小题分
设，已知是上的奇函数．
求的值，并判断函数的单调性；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
24.本小题分
对于函数，若存在区间，同时满足：
函数在上是单调函数；
函数的定义域为时，其值域也为则称为函数的“优美区间”．
判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由；
若函数存在“优美区间”，求的最小值；
若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值．
25.本小题分
对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”．
判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由；
求证：函数在上存在“漂移点”；
若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：
由得，得，
故函数的定义域为，
当时，，
．
若是的必要条件，则，
故，得，
故实数的取值范围为
20.解：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，递增区间是，．
依题意，关于的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为，
当或时，直线与函数的图像有个公共点，即方程的解的个数为，
当时，直线与函数的图像有个公共点，即方程的解的个数为，
综上得：当时，方程的解的个数为，当或时，方程的解的个数为，
当时，方程的解的个数为．
21.解：
由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
所以有，
整理得．
由知，即，
因为，所以由基本不等式可得，
令，则，解得舍去或
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为．
22.解：
当时，函数
不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．
当时，，其图象的对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
，解得，不符合要求；
当，即时，函数在上单调递减，
，解得，不符合要求；
当，即时，，解得或，则，
所以的值是．
23.解：
由函数是上的奇函数，得，
则，而，解得，
函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数，
所以，函数是上的增函数．
由知，函数是上单调递增的奇函数，
对任意，不等式
，而，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．
24.解：
因为函数在为增函数，所以在也为增函数，
又因为，所以的值域为，
所以为函数的“优美区间”．
因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”，
所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根，
所以，解得或
所以的最小值为．
定义域为，假设或，
在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，
所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根，
所以或，又
所以，
当时，取得最大值为．
25.解：
假设函数有“飘移点”，则有解，
即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点．
令
，
所以，所以，
又在连续，
所以在至少有一个实根，
即函数在上存在漂移点；
若在上有飘移点，
所以成立，即，，
整理得，
由，，则．
则实数的取值集合是．
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