2024-2025学年甘肃省庆阳市高二上学期期末教情学情监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省庆阳市高二上学期期末教情学情监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.名毕业生分别从家公司中选择一家实习，不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，是轴上一点，线段的延长线交于点，若，则( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的公切线的条数为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列，，，且，则数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式，下列说法正确的是( )
A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为
10.等差数列的前项和为，若，，，则( )
A. B. 数列是递减数列
C. D.
11.已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为
B.
C. 若，则或
D. 点关于轴的对称点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含项的系数为 ．
13.若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 ．
14.在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列满足，，为数列的前项和．
求数列的通项公式；
若，求的值．
16.本小题分
已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试．
若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
17.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点，．
求轨迹的方程；
求斜率的取值范围；
当时，求，两点坐标．
19.本小题分
定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
求椭圆的方程；
求“共轭点对”中点所在直线的方程；
设为坐标原点，点在椭圆上，，中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列证明：四边形的面积小于．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：
设等比数列的公比为，则，
解得：，
．
，
，
解得：．

16.解：
若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，
则第一、三、四次抽到的都是正品，
由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种
分以下两种情况讨论：
测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种；
测试次找到所有的正品，则第三次抽到正品，前两次有一次抽到次品，
则不同的测试情况种数为种
综上所述，不同的测试情况种数为种

17.解：
由题意得，又，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故．
由知，
则，
，
与两式相减得
，
故．

18.解：
设，则，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，故，
故轨迹的方程为；
过点且斜率为的直线的方程为，
联立与得，，
，解得或，
故斜率的取值范围是或；
时，，联立得，
，解得或，
当时，，当时，，
故或．

19.解：
依题意，，解得
所以椭圆的方程为．
因为，所以，所以，
所以点所在的直线的方程为．
由知，直线，
联立，解得或，则，
设点，则，两式相减得，
又，于是，所以，所以，
所以线段的中点在上，故线段被直线平分，
设点到直线的距离为，则四边形的面积，
而，故，
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大，
由，消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与不可能相切，
即小于平行直线和或距离，
所以，得证．


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