2024-2025学年天津二十中高二（上）第三次学情调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津二十中高二（上）第三次学情调研数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.设、、，则的中点到点的距离为( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.空间四边形中，若向量，点，分别为线段，的中点，则的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的离心率为，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为( )
A. B. C. D.
7.若圆上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图的组合，这个组合表达了图所示的几何体．如图中每个正方体的棱长为，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
10.在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为( )
四面体外接球的表面积为；
点与点之间的距离为；
四面体的体积为；
异面直线与所成的角为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于______．
12.圆关于直线对称的圆的标准方程为 ．
13.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______．
14.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与成角的余弦值是______．
15.若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则 ．
16.已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为______．
17.是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为，则 ______．
18.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆：．
求椭圆的离心率；
若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆上异于顶点的一点，点满足．
若点的坐标为，求椭圆的方程；
设过点的一条直线交椭圆于，两点，且，直线，的斜率之积为，求实数的值．
参考答案
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19.Ⅰ证明：连接交于点，连接，
在正方形中，．
因为为的中点，
所以
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以所以即
令，则，，
于是．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

20.证明：因为四棱锥的底面是正方形，且平面，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，，
所以，，
所以，且．
所以，，且，平面，平面，
所以平面．
解：假设在线段上存在点，使得平面，
设，
则，
因为平面，平面，
所以，
解得，
所以在线段上存在点，使得平面其中．
21.解：由椭圆：，得．
，则，
；
由，可得椭圆方程为．
设直线方程为．
联立，得．
，即．
设，，
则，．
由，
解得：
则到的距离．
的面积．
22.解：为椭圆上异于顶点的一点，点满足，点的坐标为，
，代入椭圆，得，
椭圆的离心率为，
，
联立，解得，，
椭圆方程为．
设，，，
，，
，，
，
代入椭圆，得，
即，
，在椭圆上，，，
直线，的斜率之积为，
，
结合，知，
将代入，得，
解得．
实数的值为．
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