2024-2025学年江苏省连云港市高二上学期期末调研考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知,,且与的夹角为,则( )
A. B. C. D.
5.已知正方形,则以,为焦点,且过,两点的双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点到两个定点,的距离之比为,则,满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
8.若数列的前项和,则( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为,其中为蜥蜴的体温单位:,为太阳落山后的时间单位:则( )
A. 从到,蜥蜴体温下降了
B. 从到,蜥蜴体温的平均变化率为
C. 当时,蜥蜴体温的瞬时变化率是
D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻
10.已知双曲线的方程为,则( )
A. 的渐进线方程为
B. 的焦点到其渐进线的距离为
C. 若直线与没有公共点,则或
D. 若直线与仅有一个公共点,则
11.等差数列的前为奇数项的和为,其中偶数项之和为,且,则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.在复平面内,复数的模为 .
13.已知数列中,,,则 .
14.若方程有且仅有一个实数根,则的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中,为边上一点,,,,.
求
求的面积.
16.本小题分
设数列满足递推关系:,且.
设,证明:数列是等比数列
求数列的前项和.
17.本小题分
如图,在半径为、圆心角为变量的扇形内作一内切圆,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆,设圆的半径为.
求关于的函数关系式
求的最大值.
18.本小题分
已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,且的周长为.
求椭圆的方程:
设椭圆的左、右顶点分别为,,过点的直线与椭圆交于,两点不同于左、右顶点,记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.
19.本小题分
已知函数,
当时,求曲线在处的切线方程
若有两个零点,,且,证明:.
参考答案
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14.
15.解:法:在中,由正弦定理得, ,
则,
在中,由余弦定理得,;
法:过点作边的垂线,垂足为,
在中,,,则,
在中,,,
则,, ,
在中,,
由可得,.
16.证明:因为,而,
所以
所以,则,
由以上可得:.
是首项为,公比为的等比数列.
由知,
所以,即.
则数列的前项和
.
故
17.解:设圆的半径为,圆的半径为,
圆切于,圆切于,
在中,,
,
同理中,
得
,.
令,
由,则,
则,.
令,则,
时,;时,.
当,即时,取得最大值.
18.解:设椭圆的方程,
由题意可知,再利用,
解之得,
所以椭圆的方程为.
设直线的方程为,,
联立方程组得,
,
得,,
所以
,
所以为定值
19.
解:当时,,,
曲线在处切线的斜率为,
又,切线方程为,
即曲线在处的切线方程为.
若有两个零点,,则,,
得.
,令,则,
故,
则,
,
令,则,
令,则,
在上单调递增,
,
,则在上单调递增,
,,
故.
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