2024-2025学年江苏省连云港市高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市高二上学期期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知正方形，则以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点到两个定点，的距离之比为，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
8.若数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温单位：，为太阳落山后的时间单位：则( )
A. 从到，蜥蜴体温下降了
B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为
C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是
D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻
10.已知双曲线的方程为，则( )
A. 的渐进线方程为
B. 的焦点到其渐进线的距离为
C. 若直线与没有公共点，则或
D. 若直线与仅有一个公共点，则
11.等差数列的前为奇数项的和为，其中偶数项之和为，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数的模为 ．
13.已知数列中，，，则 ．
14.若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，为边上一点，，，，．
求
求的面积．
16.本小题分
设数列满足递推关系：，且．
设，证明：数列是等比数列
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在半径为、圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为．
求关于的函数关系式
求的最大值．
18.本小题分
已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且的周长为．
求椭圆的方程：
设椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点不同于左、右顶点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
19.本小题分
已知函数，
当时，求曲线在处的切线方程
若有两个零点，，且，证明：．
参考答案
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15.解：法：在中，由正弦定理得， ，
则，
在中，由余弦定理得，；
法：过点作边的垂线，垂足为，
在中，，，则，

在中，，，
则，， ，
在中，，
由可得，．
16.证明：因为，而，
所以
所以，则，
由以上可得：．
是首项为，公比为的等比数列．
由知，
所以，即．
则数列的前项和
．
故

17.解：设圆的半径为，圆的半径为，
圆切于，圆切于，
在中，，
，
同理中，
得
，．
令，
由，则，
则，．
令，则，
时，；时，．
当，即时，取得最大值．

18.解：设椭圆的方程，
由题意可知，再利用，
解之得，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，，
联立方程组得，
，
得，，
所以
，
所以为定值
19.
解：当时，，，
曲线在处切线的斜率为，
又，切线方程为，
即曲线在处的切线方程为．
若有两个零点，，则，，
得．
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，，
故．
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