2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则式子表示
A. 在处的导数 B. 在处的导数
C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率
3.下面导数运算错误的是( )
A. B. C. D.
4.以为顶点的三角形是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
5.已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则的离心率为
A. B. C. D.
6.已知正项等比数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
7.下列直线被椭圆截得的弦长大于被截得的弦长的是( )
A. B. C. D.
8.若为直线上动点，，在圆上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线，则( )
A. 在轴上的截距为 B. 恒过点
C. 当时， D. 当时，
10.已知数列的前项和为，且，则( )
A. B.
C. D. 数列的前项和为
11.探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点，从焦点射出两条互为反向的光线经上的点反射，若直线的倾斜角为，则
A. 当时，处两条反射光线所在直线的距离为
B. 当时，的面积为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则______．
13.已知圆和圆，则的公切线共有_____条．
14.一点从起点出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如，则 ，数列相邻三项的递推关系式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求；
若曲线在处的切线与曲线也相切，求．
16.本小题分
已知圆经过点．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线的方程；
过引直线与圆交于另一点，若，求的斜率．
17.本小题分
已知点，直线．
若与线段有交点，直接写出的取值范围；
若，设与直线及轴分别交于，两点，求面积的最小值．
18.本小题分
若等差数列的公差为正整数，且首项为，则称其是“数列”．
若等差数列满足，证明：是“数列”；
设是数列的前项和，，．
求；
是否存在“数列”，存在正整数，对于任意，当时，恒有，若存在，求数列的通项公式和的最大值；否则，说明理由．
19.本小题分
已知，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹记为．
求轨迹的方程；
设是线段的从左至右的两个三等分点．
试比较与的大小，并说明理由；
若直线，分别与曲线相交于另一点和，直线与交于另一点，求证：直线经过一定点．
参考答案
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15.解：因为，所以，即，
所以
因为，所以在处的切线方程为，即，
设在处切线为，因为，
所以，化简得，
因为，所以，所以．
16.解：因为的中垂线为：，的中垂线为：，
联立解得，，
所以圆心，所以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
由得圆的圆心为，半径为，因为在圆上，所以切线与直线垂直，
因为直线的斜率为，
所以切线的方程为，即；
的斜率一定存在，设为，所以的方程为，
设圆心到的距离为，因为，所以，即，
所以，化简得，，即，
所以的斜率为．
17.解：因为直线，联立
所以交点，
因为在线段上，所以，即，解得，
所以或．
因为直线，联立所以交点
令中，则，所以，
因为，所以在第一象限且在右侧，在左侧，
所以的面积为，
设，，所以，
所以当即时，的最小值为
18.解：设等差数列的公差为，因为，所以，
因为，所以，即，
由得，，，所以等差数列是“数列”
因为，所以，，
两式相减得，，即，
因为，所以，所以，
所以数列构成公比和首项均为的等比数列，所以．
假设存在“数列”且其公差为，满足存在正整数，对于任意，
当时，恒有，
当时，，，满足条件
当时，若，所以，即，因为，所以，
此时
所以对于任意，当时，恒有，
即，所以对恒成立
设，则，因为，所以，所以递增，
因为，，，所以，，此时，，，均成立，
即，，所以，存在的最大值为．
19.解：设，因为直线，的斜率之积是，
所以，，
化简得，，
因为，，，是线段的从左至右的两个三等分点，
所以，，
设的焦点坐标为，所以，即，
所以，为的焦点，
因为，所以，
所以；
设，，当斜率存在时，不妨令直线，
联立，化简得，，
因为与的另一个交点为，
所以，
因为，
所以式可以化为，
所以，所以点，同理点，
当轴，即时，，，
所以直线过轴上点
下证：，，三点共线，
因为，
同理，，
因为，，三点共线，所以，所以，
即，，三点共线，所以直线经过一定点．
当轴时，即，，所以，
此时，联立，解得
所以直线交于，所以
综上，直线经过定点．
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