四川省泸州市老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

四川省老窖天府中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = { ∈ | 2 2 < 0}，则( )
A. ∩ = {1} B. = C. ∪ = D.
2.已知 、 、 、 均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若 2 > 2，则 <
B. 若 > ， > ，则 + > +

C. 若 > > > 0，则 <

+
D. 若 > > 0且 > 0，则 <
+
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )
1
A. = | | B. = C. = 2 D. =

4.设 ∈ ，则“ > 1”是“| | > 1”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5
5.设函数 ( ) = {√ , 0 < < 1 ，则 ( ( )) =( )
2( 1), ≥ 1 4
√ 2 1
A. B. C. √ 2 D. 1
2 2
2
6.函数 ( ) = 2 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.

7.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型 = ，其中 (单位：万辆)为第 年
1+( 1)
0
底新能源汽车的保有量， 为年增长率， 为饱和度， 0为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20
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万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保
有量约为( )(结果四舍五入保留整数，参考数据： 0.887 ≈ 0.12， 0.30 ≈ 1.2)
A. 65万辆 B. 64万辆 C. 63万辆 D. 62万辆
8.若函数 ( )是定义在 上的奇函数，对任意 ∈ ，都有 (1 ) = (1 + )，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2
1，若函数 ( ) = ( ) log ( + 2)( > 0且 ≠ 1)在( 1,7)上恰有4个不同的零点，则实数 的取值范围是
( )
1 1 1 1
A. (0, ) ∪ (7, +∞) B. (0, ) ∪ (9, +∞) C. (0, ) ∪ (7, +∞) D. (0, ) ∪ (9, +∞)
7 7 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于幂函数说法正确的是( )
A. 图像必过点(1,1) B. 可能是非奇非偶函数
C. 都是单调函数 D. 图像不会位于第四象限
10.若 ， > 0，且 + = 1，则下列说法正确的是( )
1 1 1
A. 有最大值 B. + 有最小值4
4
1
C. 2 + 2有最小值 D. √ + √ 有最小值√ 2
2
11.定义域为 的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )， (2) = 1，且 < 0时， ( ) < 0，则( )
A. ( )为奇函数
B. ( )在( ∞, +∞)单调递增
1
C. ( 1) =
4
D. 不等式 ( 2) ≤ 2的解集为{ | ≤ 6}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 = ( )的图象过点(3, √ 3)，则log4 (2) = ______．
13.“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下
的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为 1，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 2，当 1与 2的比值为
√ 5 1
时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径 = 20 ，则此时的扇形面积为
2
第 2 页，共 8 页
______ 2．
14.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意实数 ， ，都有 ( ) + ( + ) = (2 )，且当 > 0时， ( ) <
0.若 (2) = 4， ( ) < 2 (4 + 2) 1对任意 ∈ [ 1,1]， ∈ [1, +∞)恒成立，则实数 的取值范围为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知关于 的方程 2 + 1 = 0有实根，集合 = { || 6| < }．
(1)求 的取值集合 ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 2) + 4，( ∈ )．
(1)解关于 的不等式 ( ) ≤ 2 + 4；
(2)若关于 的方程 ( ) = 0有两个小于 1的不等实根，求 的取值范围；
(3)若对任意的 ∈ [1,4]， ( ) + + 1 ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题12分)

函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示. (1)求函数 ( )的解析式；
2
1
(2)将函数 ( )的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 ( )
4 2

的图象，若关于 的方程 ( ) = 0在 ∈ [ , ]上有两个不等实根 ，
12 6 1 2
，求实数 的取值范围，并求
( 1 + 2)的值．
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18.(本小题12分)
在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在
一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 (单位：百万个)与培养时间 (单位：小时)的3组数据如下
表所示．
2 3 5
3.5 4.5 5.5
(1)当 ≥ 2时，根据表中数据分别用模型 = log ( + ) + 和 = √ + + 建立 关于 的函数解析式；
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得
出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型” .已知当培养时间为9小时时，
检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由
. (参考数据：√ 57 ≈ 7.6)
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量．
19.(本小题12分)
若函数 ( )与 ( )满足：对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是区间
上的“ 阶自伴函数”；对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是 ( )
在区间 上的“ 阶伴随函数”．
(1)判断 ( ) = 2 + 1是否为区间[0,3]上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
3
(2)若函数 ( ) = 2 1为区间[ , ]上的“1阶自伴函数”，求 的值；
4
2
(3)若 ( ) = 是 ( ) = 2 2 + 2 + 1在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数 的取值范围．
+2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
4
13.【答案】200(3 √ 5)
14.【答案】( ∞, 1)
15.【答案】解：(1)方程 2 + 1 = 0有实根，
若 = 0，该方程无解；
若 ≠ 0，则 = 2 4 ≥ 0，解得 < 0或 ≥ 4，
综上， = ( ∞, 0) ∪ [4，+∞)．
(2)若 ∩ = ，则 ，
当 ≤ 0时， = { || 6| < } = ，符合题意；
当 > 0时， = { || 6| < } = { |6 < < 6 + }，
∵ ，∴ 6 ≥ 4或6 + ≤ 0，∴ 0 < ≤ 2，
综上， 的取值范围是( ∞, 2]．
16.【答案】解：(1)由 ( ) ≤ 2 + 4整理得 2 ( + 2) + 2 = ( )( 2) ≤ 0，
( )当 < 2时，不等式解集为{ | ≤ ≤ 2}；
( )当 = 2时，不等式解集为{ | = 2}；
( )当 > 2时，不等式解集为{ |2 ≤ ≤ }；
综上所述，当 < 2时，不等式解集为{ | ≤ ≤ 2}；
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当 = 2时，不等式解集为{2}；
当 > 2时，不等式解集为{ |2 ≤ ≤ }．
(2)方程 ( ) = 0有两个小于 1的不等实根，
= ( + 2)2 16 > 0
所以{ ( 1) = 1 + ( + 2) + 4 > 0，解得 7 < < 6，
+2
< 1
2
故 的取值范围为( 7, 6)．
(3)对任意的 ∈ [1,4]， ( ) + + 1 ≥ 0恒成立，
即对任意的 ∈ [1,4]， ( 1) ≤ 2 2 + 5恒成立．
① = 1时，不等式为0 ≤ 4恒成立，此时 ∈ ；
2 2 +5 4
②当 ∈ (1,4]时， ≤ = 1 + ，
1 1
因为1 < ≤ 4，
4 4
所以 1 + ≥ 2√ ( 1) = 4，
1 1
4
当且仅当 1 = 时，即 = 3时等号成立，
1
所以 ≤ 4，
综上， 的范围为{ | ≤ 4}．
17.【答案】解：(1)由图可知， = 2，
11 1 3
因为 = ，
12 6 4
3 4 2
所以 = × = ， = = 2，
4 3

又 ( ) = 2，
6

所以2 × + = + 2 ， ∈ ，
6 2

解得 = + 2 ， ∈ ，
6

又因为| | < ，所以 = 0， = ，
2 6

所以 ( ) = 2 (2 + )；
6

(2)将 ( )向右平移 个单位，
4

得到 = 2 (2( ) + ) = 2 (2 )，
4 6 3
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1
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ( ) = 2 (4 )，
2 3
2
令 = 4 ，则当 ∈ [ , ]时， ∈ [ , ]；
3 12 6 3 3
2
易知函数 = 2 在[ , ]上单调递减，在[ , ]上单调递增，
3 2 2 3
2
又2 ( ) = √ 3，2 ( ) = 2，2 = √ 3，
3 2 3
所以 2 < ≤ √ 3，
即实数 的取值范围为( 2, √ 3]；
+
由对称性可知 1 2

= ，
2 2

所以 1 + 2 = 4 1 + 4 2 = ， 3 3

即有4( 1 + 2) = ，所以 1 + 2 = ， 3 12
2
所以 ( 1 + 2) = 2 [4 × ( ) ] = 2 ( ) = √ 3． 12 3 3
18.【答案】解：(1)当 ≥ 2时， = log ( + ) + ，
由图表数据可得log (2 + ) + = 3.5，log (3 + ) + = 4.5，log (5 + ) + = 5.5，
联立上式，解方程可得 = 2， = 3.5， = 1，
则 = log2( 1) + 3.5；
当 ≥ 2时， = √ + + ，
由图表数据可得 √ 2 + + = 3.5， √ 3 + + = 4.5， √ 5 + + = 5.5，
15
联立上式，解方程可得 = √ 2， = ， = 3，
8
15
则 = √ 2√ + 3；
8
(2)考虑① = log2( 1) + 3.5，由 = 9，可得 = log28 + 3.5 = 6.5，而|6.5 6.2| = 0.3 < 0.5，
可得模型① = log2( 1) + 3.5是“理想函数模型”；
√ 15 √ 15 √ 57考虑② = √ 2 + 3，由 = 9，可得 = √ 2 × 9 + 3 = + 3 ≈ 3.8 + 3 = 6.8，
8 8 2
而|6.8 6.2| = 0.6 > 0.5，所以模型②不是“理想函数模型”；
(3)由(2)可得 = 17时， = log2(17 1) + 3.5 = 4 + 3.5 = 7.5(百万个)．
19.【答案】解：(1)不是，理由如下：
取 1 = 2，则 ( 1) = (2) = 5，
由 ( 1) ( 2) = 2，可得5(
2
2 + 1) = 2，
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此时 2无解，
所以 ( ) = 2 + 1不是区间[0,3]上的“2阶自伴函数”；
3 3
(2)由题意可知，对任意的 1 ∈ [ , ]，总存在唯一的 2 ∈ [ , ]，使(2 4 4 1 1)(2 2 1) = 1成立，
3 3 1 1
即对任意的 1 ∈ [ , ]，总存在唯一的 2 ∈ [ , ]，使 2 = + 成立， 4 4 4 1 2 2
1 1 3
又因为 = + 在[ , ]上单调递减，
4 2 2 4
3 3 1 1
当 1 = 时， 2 = ，当 1 = 时， 4 2 2 = + ， 4 2 2
3 1 1 3 3
因为对[ , ]内的每一个 1，在[ + , ]内都存在唯一 2与之对应，且 2 ∈ [ , ]， 4 4 2 2 2 4
1 1 3 3
所以[ + , ] [ , ]，
4 2 2 2 4
1 1 3 3
+ ≥ ≤
所以{4 2 2 4，即{ 2，
3 3
≥ ≥
2 2
3
解得 = ；
2
(3)由题意可知，对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在唯一的 2 ∈ [0,2]，使 ( 1) ( 2) = 2成立，
即对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在唯一的 2 ∈ [0,2]，使 ( 2) = 1 + 2成立，
因为 1 ∈ [0,2]，所以 1 + 2 ∈ [2,4]，
所以 ( )在[0,2]上的值域包含[2,4]且 ( )的值域在[2,4]内对应的自变量是唯一的，
又 ( ) = 2 2 + 2 + 1 = ( )2 + 1，开口向上，对称轴 = ，且 (0) = 2 + 1， (2) = 2 4 + 5，
当 ≤ 0时， ( )在[0,2]上单调递增，
( ) = (2) =
2 4 + 5 ≥ 4
所以{ ，解得 ∈ [ 1,0]；
( ) = (0) = 2 + 1 ≤ 2
当 ≥ 2时， ( )在[0,2]上单调递减，
( ) = (2) =
2 4 + 5 ≤ 2
所以{ ，解得 ∈ [2,3]；
( ) = (0) =
2 + 1 ≥ 4
当0 < ≤ 1时， ( )在[0, )上单调递减，在( , 2]上单调递增，
(0) < 2
所以{ 2 ，解得 ∈ (0,2 √ 3]； ( ) = (2) = 4 + 5 ≥ 4
当1 < < 2时， ( )在[0, )上单调递减，在( , 2]上单调递增，
(2) < 2
所以{ 2 ，解得 ∈ [√ 3,2)； ( ) = (0) = + 1 ≥ 4
综上所述， 的取值范围为[ 1,2 √ 3] ∪ [√ 3, 3]．
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