黑龙江省牡丹江市地区共同体2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省牡丹江市地区共同体 2024-2025 学年高二上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列{ }中， 1 + 2 = 3， 3 + 4 = 12，则 5 + 6 =( )
A. 3 B. 15 C. 48 D. 63
2.若{ }是等差数列， 表示{ }的前 项和， 3 + 8 > 0， 9 < 0，则{ }中最小的项是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3.若 ( ) = 3， ′( 0) = 3，则 0的值是( )
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 3√ 3
2 2
4.已知椭圆 ： + = 1的右焦点为 ，点 是 上的一点，点 是线段 的中点， 为坐标原点，若| | = 4，
49 24
则| | =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.抛物线 2 = 8 上的点到其准线的距离与到直线 = 2 +3的距离之和的最小值为( )
2√ 7 4√ 7 7√ 5
A. √ 5 B. C. D.
3 5 5
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太
极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，

已知点 ( , )是阴影部分(包括边界)的动点，则 的最小值为( )
2
2
A.
3
3
B.
2
4
C.
3
D. 1
4 2
7.已知正项等比数列{ }的前 项和为 ，且满足 = ，设 = √ 2 2( 2 +1)，将数列{ }中的
整数项组成新的数列{ }，则 2024 =( )
A. 2022 B. 2023 C. 4048 D. 4046
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2 2 2 2
8.已知 1， 2是椭圆 2 + 2 = 1和双曲线 2 2 = 1的公共焦点， 是该椭圆和双曲线的一个公共点，| 1 2 | = 1 1 2 2

2√ 3，△ 2 1的外接圆半径为2，且0 < ∠ 1 2 < ，记椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为 ，则下2 2
列说法正确的是( )
A. 2 2 = 2 2 B. 3 2 = 21 1 2 2 1 2
C. 3 2 + 21 2 = 4
2
1
2
2 D.
2
1 + 3
2
2的最小值为4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }是公比为 的等比数列，且 2， 4， 3成等差数列，则 =( )
1 1
A. B. C. 1 D. 1
2 2
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1的左右两个焦点分别为 1、 2，左右两个顶点分别为 1、 2， 点是椭圆上任意9 5
一点， (1,1)，则下列命题中，正确的命题是( )
5
A. 1 = 2 9
B. △ 1 2的最大面积为2√ 5
C. 存在点 ，使得 1 2 = 0
D. △ 1的周长最大值是6 + √ 10+ √ 2
11.已知数列{ }满足：
2
1 = 1， 1 = 2， = 1 2( ≥ 3, ∈ )，数列{ }的前 项的积为 ，记
= +1，则( )

A. 数列{log2 }是等比数列 B. +2 = 2
2

2 2 2 1
C. 当 为奇数时， = 2 3 D. 当 为偶数时， = 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = (2 1) 2 + 2在点(0,1)处的切线方程为______．
13.若数列{ }满足 1 = 2 = 1， = 1 + 2( ≥ 3)，则称该数列为
斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲
线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形
中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以 为边
长的正方形中的扇形面积为 ，数列{ }的前 项和为 .给出下列结论：
① 8 = 21；
② 2023是奇数；
③ 2 + 4 + 6 + + 2022 = 2023；
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④ 2023

= ．
2023 2024 4
则所有正确结论的序号是______．
2 | | | |
14.已知 (0,2)， 是椭圆 ： + 2 = 1上的动点， 1， 2分别是其左右焦点，则
1 2 的最大值为______．
4 | |
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在数列{ }中， 1 = 2,

+1 = 2 ( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = + 1，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
已知 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点， 是 上在第一象限的一点，点 在 轴上， ⊥ 轴，| | = 2，
| | = 3．
(1)求 的方程；
(2)过 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点，△ 的面积为√ 5( 为坐标原点)，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
如图，在三棱台 1 1 1中，上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形， 1 ⊥平面 ，设平面
1 1 ∩平面 = ，点 ， 分别在直线 和直线 1上，且满足 ⊥ ， ⊥ 1．
(1)证明： ⊥平面 1 1；
√ 6
(2)若直线 和平面 所成角的余弦值为 ，求该三棱台的体积．
3
18.(本小题17分)
在数列{ }中，已知 1 = 2， +1 = 2 +1( ∈ )．
1
(1)证明：数列{ 1}为等比数列；


(2)记 = +1 ，数列{ }的前 项和为 ，求使得 > 1.999的整数 的最小值； 2
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(3)是否存在正整数 、 、 ，且 < < ，使得 、 、 成等差数列？若存在，求出 、 、 的值；
若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，点 到点 (2,0)的距离与到直线 = 1的距离之比为√ 2，记 的轨迹为曲线 ，直
线 1交 右支于 ， 两点，直线 2交 右支于 ， 两点， 1// 2．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： = ；
(3)若直线 1过点(2,0)，直线 2过点(8,0)，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，垂
足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 + 1 = 0
13.【答案】①②④
2√ 21
14.【答案】
7
15.【答案】解：(1)因为数列{ }满足 1 = 2，且 +1 = 2 ，
当 ≥ 2时，可得 = 1 + ( 2 1)+ ( 2 1) + ( 1) = 2 + (2+ 2
2 + + 2 1)，
(1 2 )
即 = 1 + = 2
，
1 2
当 = 1时， 1 = 2适合上式，
所以数列{ }的通项公式为 = 2
, ∈ ．
(2)由于 = + 1，且 = 2
, ∈ ，
则 1 = 1 + 2 + + = 1 × 2 +2 × 2
2 + + 2 + ，
即 1 2 = (1 × 2 + 2× 2 + + 2 )+ ，
设 = 1 × 2
1 +2 × 22 + + 2 ，
则2 = 1 × 2
2 + 2 × 23 + + 2 +1，
1 2 3 +1 2(1 2
)
两式相减得： = 2 + 2 + 2 + + 2 2 = 2
+1 = (1 ) 2 +1 2，
1 2
所以 = ( 1) 2 +1 +2，
所以 = ( 1) 2
+1 + 2+ , ∈ ．
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16.【答案】解：(1)因为 ⊥ 轴，| | = 2，
所以 = 2，

此时| | = + = 2 + = 3， 2 2
解得 = 2，
则 的方程为 2 = 4 ；
(2)由(1)知 (1,0)，
不妨设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
{
2 = 4
联立 ，消去 并整理得 2 2 (2 2 + 4) + 2 = 0，
= ( 1)
因为 ≠ 0，
2
2 +4
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 1，

2 2
2 +4 4(1+ )
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ (1 +
2)[( 1 +
2
2) 4 1 2] = √ (1 +
2)[( )22 4× 1] = 2 ，

| |
因为点 到直线 的距离为 = ，
√ 2 1+
2 √ 2
1 1 4(1+ ) | | 2 1+
所以 △ = | | = × 2 × = = √ 5， 2 2 √ 2 | | 1+
解得 = ±2，
故直线 的方程为2 2 = 0或 2 + 2 = 0．
17.【答案】解：(1)证明：由三棱台 1 1 1知， 1 1//平面 ，
因为 1 1 平面 1 1，且平面 1 1 ∩平面 = ，所以 1 1// ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，又 ⊥ 1， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1；
(2)取 中点 ，连接 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 1所在直线为 轴，
过点 做 轴垂直于 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为 ，
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则 (3,3√ 3,0), 1(2,2√ 3, ), = (6,0,0), 1 = ( 1, √ 3, )，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
{ = 0
6 = 0
则 ，即{ ，令 = √ 3， 1 = 0 √ 3 + = 0
可得平面 1 1的一个法向量 = (0, , √ 3)，
易得平面 的一个法向量 = (0,0,1)，
设 与平面 夹角为 ，
= √ 3, | | = √ 3 + 2 , | | = 1，
√ 3
所以cos < , >= =| | | | 2 ， √ 3+ ×1
√ 6 √ 3
由 = ，得 = ，
3 3
√ 3 √ 3
由(1)知 // ，所以 = |cos , | = = ，
√ 2 3 3+ ×1
1
解得 = √ 6，所以三棱台的体积 = ( + ′ +√ ′) = 19√ 2． 3
18.【答案】证明：(1)数列{ }中，已知 1 = 2， +1 = 2 +1( ∈ )．
2
所以 +1 = ， +1
1 1 1 1
整理得 = × + ，
+1 2 2
1 1 1 1
故 1 = ( 1)，( 1 ≠ 0)
+1 2 1
1
所以数列{ 1}为等比数列；

1 1 1 1
解：(2)由(1)得： 1 = × ( ) 1 = ( ) ，
2 2 2
2
所以 = ， 2 1
2 +1 2 2
所以 = +1 = = ， 2 (2 1)(2 +1 1) 2 1 2 +1 1
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2 2 2 2 2 2 2
故 = ( )+ ( )+. . . +( ) = 2 ． 2 1 22 1 22 1 23 1 2 1 2 +1 1 2 +1 1
2
令2 +1 > 1.999， 2 1
则2 +1 > 2001，
解得 > log22001 1 ≈ 9.97，
所以 的最小正值为10．
解：(3)假设存在正整数 、 、 满足题意，则2 = + ，
2 2 2 2
即
2
= + ， 1 2 1 2 1
整理得2 +1(2 1)(2 1) = (2 1)(2 1) + 2 (2 1)(2 1)，
由于 < < ，
得到 ≥ 2， + 1 ≥ 2，
所以(2 1)(2 1)为奇数，而2 +1(2 1)(2 1)和2 (2 1)(2 1)均为偶数，
故(1)式不能成立，、
即不存在正整数 、 、 且 < < ，使得 ， ， 成等差数列．
19.【答案】解：(1)设点 ( , )，因为点 到点 (2,0)的距离与到直线 = 1的距离之比为√ 2，
√ 2
所以 ( 2) +
2 2 2
= √ 2，整理得 = 1，
| 1| 2 2
2 2
所以 的标准方程为 = 1．
2 2
(2)由题意可知直线 1和直线 2斜率若存在则均不为0且不为±1，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 1方程为 = ( > 1)， ( , 1)，
则 ( , 1)且由点 和点 在曲线 上，故
2 21 = 2，
所以 = 2 21 = 2，
同理可得 = 2，所以 = ；
②直线 斜率存在时，则可设方程为 = + ( ≠ 0,1)， ( 1, 1)、 ( 2 , 2)，
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2 2
= 1
联立{ 2 2 (1 2) 2 2 2 2 = 0，
= +
2 2 2
则 = ( 2 )2 4(1 2)( 2 2) = 4 2 8 2 + 8 > 0，即 1 2 > ， 1 + 2 = 2 且 2 >
2 1 1
2 2
+2 +2
0, 1 2 = 2 且 2 > 0，
1 1
所以 = 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = (1+
2) 1 2 + ( 1 + 2)+
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 +2 2 +2+ +2 2 2( +1)= (1 + )( 22)+ 2 + = 2 + 2 + 2 = 2 ，
1 1 1 1 1 1
2
同理
2( +1)
= ，所以 = 2 ，
1
综上， = ．
(3)由题意可知直线 1和直线 2斜率若存在则斜率大于 或小于 1，
且曲线 的渐近线方程为 ± = 0，
故可分别设直线 1和直线 2的方程为 = + 2和 = +8，且0 ≤
2 < 1，
= +2
联立{ 2 2 得(
2 1) 2 + 4 +2 = 0，设 ( 1, 1)、 ( = 1 2
, 2)，
2 2
则 = (4 )2 4( 2 1) × 2 = 8 2 +8 > 0，
4 2
1 + 2 = 2 , 1 1 2 = ， 2 1
4 4
故 1 + 2 = 1 +2 + 2 + 2 = ( 1 + 2) + 4 = ( )+ 4 = 2 1 2 ， 1
1+ + 2 2 因为 是 中点，所以 ( 2 , 1 2)即 ( , )，
2 2 2 1 2 1
8 8
同理可得 ( , )，
2 1 2 1
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2 2 2( 1)
| + | | |
所以 到两渐近线的距离分别为 =
2 1 2 1 2= 1
√ 2
1 = ， √ 2 √ 2 | +1|
2 2 2( +1)
| 2 1 2
| | |
= 1 =
2 1 √ 2 ，
2 =√ 2 √ 2 | 1|
8 8 8( 1)
| + | | |
到两渐近线的距离分别为 2| | = 1
2 1 =
2 1 4√ 2= ，
√ 2 √ 2 | +1|
8 8 8( +1)
| 2 2 | | 2 | 4√ 2
| | = 1 1 = 1 = ，
√ 2 √ 2 | 1|
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
1 1
则四边形 面积为 = 矩形 △ △ = | || | | | | | 2 1 2 2
1 1
= | || | | | 1 | | 2 2 2
4 √ 2 4√ 2 1 4√ 2 √ 2 1 4√ 2 √ 2 24
= × × × × × = ，
| +1| | 1| 2 | 1| | +1| 2 | +1| | 1| | 2 1|
因为0 ≤ 2 < 1，所以| 2 1| ∈ (0,1]，
√ 2
所以 = ∈ [24,+∞)， | 1|
所以四边形 面积的取值范围为[24.+∞)．
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