上海市静安区华东模范中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市静安区华东模范中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是 的充分非必要条件， 的充要条件是 ，则 是 的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知函数 = ( )可表示为( )
0 < < 2 2 ≤ < 4 4 ≤ < 6 6 ≤ ≤ 8
1 2 3 4
则下列结论正确的是( )
A. ( (4)) = 3 B. ( )的值域是{1,2,3,4}
C. ( )的值域是[1,4] D. ( )在区间[4,8]上单调递增
3.已知 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，且方程 ( ) = 无实根．现有四个命题
①若 > 0，则不等式 [ ( )] > 对一切 ∈ 成立；
②若 < 0，则必存在实数 0使不等式 [ ( 0)] > 0成立；
③方程 [ ( )] = 一定没有实数根；
④若 + + = 0，则不等式 [ ( )] < 对一切 ∈ 成立．
其中真命题的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
4.若集合 = { | > 1}， = {0,1,2,3}，则 ∩ =______．
5.对任意的 ∈ ，幂函数 = 的图像一定不经过第______象限．
+ 1 ≤ 1
6.函数 ( ) = { ，则 ( (2)) = ______．
+ 3 > 1
1
7.已知( ) = 5, 9 = 2，则log
3 3
20 = ______. (用 ， 表示)
8.不等式 3 + 2 3 > 0的解集为______．
9.若关于 的不等式( 2 4) 2 + ( + 2) 1 ≥ 0的解集不为空集，则实数 的取值范围为______．
( )2 , ≤ 0
10.若函数 ( ) = { 1 的最小值为 (0)，则实数 的取值范围是______．
+ + , > 0

11.已知 > 1， > 1，当 变化时， + (
2 + 12)最小值为4，则 = ______．
第 1 页，共 8 页
12.若对任意 ∈ [1,2]，均有| 2 | + | + | = | 2 + |，则实数 的取值范围为______．
1 1
13.设 ( ) = | + | + |1 |，若存在 ∈ 使得关于 的方程( ( ))2 + ( ) + = 0恰有六个解，则 的

取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
考查关于 的方程 2 (3 ) + 2 + = 0．
(1)若该方程的两个实数根 1， 2满足( 1 + 2) 1 2 = 6，求实数 的值；
(2)若该方程在区间[0,2]上有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围．
15.(本小题8分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
(1)若函数 = [ ( )]的图象过原点，求 ( )的解析式；
2
(2)若 ( ) = ( ) + 是偶函数，在定义域上 ( ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
+1
16.(本小题8分)
已知 > 0，函数 ( ) = 2．
(1)当 > 0时，若对任意 ∈ 都有 ( ) ≤ 1，证明 ≤ 2√ ；
(2)当 > 1时，证明：对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1的充要条件是 1 ≤ ≤ 2√ ；
(3)当0 < ≤ 1时，讨论：对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1的充要条件．
17.(本小题12分)
对于两个实数 ， ，规定 = | |，
(1)证明：关于 的不等式 2 + 3 ≥ 1解集为 ；
(2)若关于 的不等式 1 (2 ) > 1的解集非空，求实数 的取值范围；
2+20
(3)设关于 的不等式 < 的解集为 ，试探究是否存在自然数 ，使得不等式 2 + 2 < 0与
2
1 +2
< 的解集都包含于 ，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的 的所有值．
2 2
18.(本小题12分)
对于函数 ( )，若其定义域内存在非零实数 满足 ( ) = ( )，则称 ( )为“局部奇函数”．
2
(1)已知函数 ( ) = ，判断 ( )是否为“局部奇函数”．
+1
(2)若幂函数 ( ) = ( 1) 3 ( ∈ )使得 ( ) = 2 ( ) + 在[ 1,1]上是“局部奇函数”，求： 的取值
第 2 页，共 8 页
范围．
(3)若整数 使得 ( ) = 4 2 +1 + 2 3是定义在 上的“局部奇函数”，求： 的取值集合．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】{2,3}
5.【答案】四
6.【答案】2
7.【答案】4
8.【答案】(1, +∞)
6
9.【答案】( ∞, 2) ∪ [ ，+∞)
5
10.【答案】[0,2]
11.【答案】2
12.【答案】[ 1,1]
13.【答案】(4√ 2 + 2, +∞)
= (3 )2 4(2 + ) ≥ 0
14.【答案】解：(1)由题意，得{ 1 + 2 = 3 ，
1 2 = 2 +
所以 ≤ 5 2√ 6或 ≥ 5 + 2√ 6，
因为( 1 + 2) 1 2 = 6，所以(3 ) (2 + ) = 6，
解得 = 3或4(舍去)，所以 = 3．
(2)由 2 (3 ) + 2 + = 0， ∈ [0,2]，
2 2
得 3 +2 ( +1) 5( +1)+6 6 = = = + 1 + 5，
+1 +1 +1
6
所以5 = + 1 + ，
+1
令 = + 1(1 ≤ ≤ 3)
6
，则5 = + ，

6
因为函数 = + 在(1, √ 6)上单调递减，在(√ 6, 3)上单调递增，

且 = 1时， = 7； = 3时， = 5； = √ 6时， = 2√ 6，
6
由图像可知，要使方程5 = + 只有一个实数根，

则5 < 5 ≤ 7或5 = 2√ 6，解得 2 ≤ < 0或 = 5 2√ 6，
第 4 页，共 8 页
所以实数 的取值范围为[ 2,0) ∪ {5 2√ 6}．
15.【答案】解：(1)由题设 [ (0)] = 0，而 (0) = ，则 ( ) = 2 + = 0，可得 = 1或 = 0，
当 = 1时， ( ) = 2 1；当 = 0时， ( ) = 2；
2
(2)因为 ( ) = ( ) + 是偶函数，
+1
2 2
所以 ( ) + = ( ) + ，
+1 +1
2 2 4
则 ( ) ( ) = + = ，
1 +1 2 2 1
因为 ( ) = 2 + ，所以 ( ) ( ) = 2 + ( 2 + ) = 0，
4
所以 2 = 0对任意的 ∈ 恒成立，所以 = 0，
2 1
所以 ( ) = 2 + + 2 ≥ ，即 2 + + 2 ≥ 0在 上恒成立，
所以 = 2 4( + 2) ≤ 0，即 2 4 8 ≤ 0，
解得：2 2√ 3 ≤ ≤ 2 + 2√ 3，
所以实数 的取值范围为[2 2√ 3,2 + 2√ 3]．
16.【答案】(1)证明：根据题设，对任意 ∈ ，都有 ( ) ≤ 1．
2 2
又 ( ) = ( )2 + . ∴ ( ) = ≤ 1，
2 4 2 4
∵ > 0， > 0，
∴ ≤ 2√ ．
(2)证明：必要性：对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1 ( ) ≥ 1．
据此可推出 (1) ≥ 1，即 ≥ 1，
∴ ≥ 1．
第 5 页，共 8 页
对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1 ( ) ≤ 1，
1 1 1
因为 > 1，可得0 < < 1，可推出 ( ) ≤ 1，即 1 ≤ 1，
√ √ √
∴ ≤ 2√ ，
∴ 1 ≤ ≤ 2√ ．
充分性：因为 > 1， ≥ 1，对任意 ∈ [0,1]，
可以推出 2 ≥ ( 2) ≥ ≥ 1，即 2 ≥ 1，
因为 > 1， ≤ 2√ 对任意 ∈ [0,1]，
1
可以推出：2√ 2 ≤ ( )2 + 1 ≤ 1，即 2 ≤ 1，
√
∴ 1 ≤ ( ) ≤ 1．
综上，当 > 1时，对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1的充要条件是 1 ≤ ≤ 2√ ．
(3)解：因为 > 0，0 < ≤ 1时，对任意 ∈ [0,1]有 ( ) = 2 ≥ ≥ 1，即 ( ) ≥ 1；
( ) ≤ 1 (1) ≤ 1 ≤ 1，即 ≤ + 1，
又 ≤ + 1 ( ) ≤ ( + 1) 2 ≤ 1，即 ( ) ≤ 1．
所以，当 > 0，0 < ≤ 1时，对任意 ∈ [0,1]，| ( )| ≤ 1的充要条件是 ≤ + 1．
17.【答案】解：(1)证明：不等式 2 + 3 ≥ 1化为| 2| + | 3| ≥ 1，
当 > 3时，( 2) + ( 3) = 2 5 ≥ 1，解得 ≥ 3，又 > 3，所以 > 3；
当2 ≤ ≤ 3时，( 2) + (3 ) = 1，符合题意，则2 ≤ ≤ 3；
当 < 2时， ( 2) ( 3) = 2 + 5 ≥ 1，解得 ≤ 2，又 < 2，所以 < 2；
综上所述： ∈ ，即关于 的不等式 2 + 3 ≥ 1解集为 ．
(2)不等式 1 (2 ) > 1即| 1| | 2 | > 1解集非空，
记 ( ) = | 1| | 2 |，则 ( ) > 1，
| 1| | 2 | ≤ | 1 + 2 | = |2 1|，当( 1)( 2 ) ≥ 0等号成立．
故|2 1| > 1，解得 < 0或 > 1，故实数 的取值范围( ∞, 0) ∪ (1, +∞)．
(3)由 2 + 2 < 0得( + 2) ( 1) < 0，解得 2 < < 1；
1 +2 1 +2
不等式 < 即| | < ，也即|2 1| < + 2，
2 2 2 2
1 1
当 ≥ 时，2 1 < + 2，解得 < 3，故 ≤ < 3；
2 2
1 1 1 1
当 < 时，1 2 < + 2，解得 > ，故 < < ．
2 3 3 2
1
综上所述： < < 3．
3
第 6 页，共 8 页
故( 2,3) ．
2+20 2+20
不等式 < 即| | < ，也即 2 + 2| | 20 < 0，
2 2
当 = 0时，2| | < 20，解得 10 < < 10，满足条件；
当 ≠ 0时，设 ( ) = 2 + 2| | 20，
因为 > 0， ∈ ，所以 ( 2) ≤ 0， (3) ≤ 0，
4 + 2| + 2| 20 ≤ 0
所以{ ，解得 = 1或 = 2．
9 + 2|3 | 20 ≤ 0
当 = 1， ( ) = 2 + 2| 1| 20，
当 ≥ 1， ( ) = 2 + 2( 1) 20 = 2 + 2 22， (1) < 0， (3) < 0，
当 < 1， ( ) = 2 + 2(1 ) 20 = 2 2 18， ( 2) < 0，( 2,3) ∈ 符合题意，
当 = 2， ( ) = 2 2 + 2| 2| 20，
当 ≥ 2， ( ) = 2 2 + 2( 2) 20 = 2 2 + 2 24， (2) < 0， (3) = 0，
当 < 2， ( ) = 2 2 + 2(2 ) 20 = 2 2 2 16， ( 2) < 0，( 2,3) ∈ 符合题意．
综上， = 0或 = 1或 = 2．
2
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = ，
+1
2 +2
则 ( ) = = ，
+1 1
+2 2 2 2+4
则 ( ) + ( ) = + = ，
1 +1 ( +1)( 1)
因为2 2 + 4 ≥ 4恒成立，故不存在 使得( ) + ( ) = 0，即不存在 使得 ( ) = ( )，
所以 ( )不是“局部奇函数”．
(2)因为 ( ) = ( 1) 3 是幂函数，则 1 = 1，所以 = 2，
故 ( ) = ( 1) 3 = ，
所以 ( ) = 2 ( ) + = 2 + ，
则 ( ) = 2 + ，
所以 ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 = 0，
因为 ∈ [ 1,1]，所以2 + 2 + 2 = 0在 ∈ [ 1,1]上有解，
1
则 = (2 + 2 )， ∈ [ 1,1]，
2
1 1因为2 ∈ [ , 2]，所以 = 2 + 在[ 1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增， 2 2
1
所以当 = 0时，函数 = 2 + 取得最小值2， 2
第 7 页，共 8 页
5
又当 = 1和 = 1时， = ，
2
5
所以 ∈ [2, ]，
2
1 1 5
故 = (2 + ) ∈ [ , 1]， 2 2 4
5
所以实数 的取值范围为[ , 1]．
4
(3)由定义可得， ( ) + ( ) = 0，
则4 + 4 2 (2 + 2 ) + 2 2 6 = 0，
所以(2 + 2 )2 2 (2 + 2 ) + 2 2 8 = 0有解，
令 = 2 + 2 ，则 ∈ [2, +∞)，
则方程 2 2 + 2 2 8 = 0在[2, +∞)上有解，
令 ( ) = 2 2 + 2 2 8， ∈ [2, +∞)，
①当 ≥ 2时，则 = 4 2 4(2 2 8) ≥ 0，所以 2√ 2 ≤ ≤ 2√ 2，故2 ≤ ≤ 2√ 2；
< 2, < 2,
②当 < 2时，则{ (2) ≤ 0,，即{1 √ 3 ≤ ≤ 1 + √ 3,
≥ 0, 2√ 2 ≤ ≤ 2√ 2,
故1 √ 3 ≤ < 2．
综上，实数 的取值范围为[1 √ 3, 2√ 2]，
又 为整数，则 = 0，1，2，
即 的取值集合为{0,1,2}．
第 8 页，共 8 页