湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省武汉市常青联合体 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算sin600°的值为( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
lg(2 1)
2.函数 ( ) = 2 的定义域为( ) 1
1
A. ( , +∞) B. (1, +∞)
2
1 1
C. ( 1, ) ∪ (1, +∞) D. ( , 1) ∪ (1, +∞)
2 2

3.为了得到函数 = sin(2 )的图象，只需将函数 = 2 的图象上所有的点( )
3

A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
6 3 6 3
4.设 = log0.26， = log0.36， = log0.46，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
1
5.函数 ( ) = 2 + 5的零点 0 ∈ [ 1, ]， ∈
，则 =( )
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
√ 3
6.已知 为锐角，且cos( + ) = ，则tan( ) =( )
6 3 3
√ 2 √ 2
A. B. √ 2 C. √ 2 D.
2 2
7.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆
材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为 ，墙壁
截面 为矩形，且劣弧 的长等于半径 长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截
面面积是( )
A. 1
1
B. 2
2
1
C. 2 2
2
1
D. 1 2
2
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8.若函数 ( )是定义在 上的奇函数，对任意 ∈ ，都有 (1 ) = (1 + )，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2
1，若函数 ( ) = ( ) log ( + 2)( > 0且 ≠ 1)在( 1,7)上恰有4个不同的零点，则实数 的取值范围是
( )
1 1 1 1
A. (0, ) ∪ (7, +∞) B. (0, ) ∪ (9, +∞) C. (0, ) ∪ (7, +∞) D. (0, ) ∪ (9, +∞)
7 7 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知2 3 + 3 = 0，则下列等式一定正确的是( )
A. (2 )2 = 2 B. = C. = 2 D. log2 = log8
10.下列不等式成立的是( )

A. sin( ) > sin( ) B. 400° > cos( 50°)
8 10
7 8
C. 3 > 2 D. sin( ) > sin( )
8 7

11.关于函数 ( ) = 3 (2 ) + 1( ∈ )的下述四个结论，正确的有( )
3

A. 若 ( 1) = ( 2) = 1，则 1 2 = ( ∈ ) 2
2
B. = ( )的图象关于点( , 1)对称
3

C. 函数 = ( )在[0, ]上单调递增
2

D. = ( ))的图象向右平移 个单位长度后所得的图象关于 轴对称
12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 , ≤ 2,
12.已知函数 ( ) = { 则 ( (7))的值为______．
3(2 + ), > 2,

13.函数 = + sin2 在 ∈ ( , ]的值域______．
6 2
1
14.已知函数 ( ) = 1 ，若不等式 ( ) + (
2 ) > 1对 ∈ (1,2)恒成立，则实数 的取值范围是
+1 2
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2
(1)已知 = 2，求 ；
sin +3
7
(2)已知 + = ，0 < < ，求 ．
5 4
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16.(本小题12分)

函数 ( ) = cos( + )(0 < < )的部分图像如图所示．
2
(1)求 及图中 0的值，并求函数 ( )的最小正周期；
(2)若 ( )在区间[0, ]上只有一个最小值点，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) =
2
是奇函数．
+1
(1)求实数 的值；
(2)判断并用定义法证明函数 ( )的单调性；
(3)若 ( ) = ( ) ，且当 ≥ 0时， ( ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) ( ) = 0，且 ( ) = 2(2 + 1) + ， ( ) = ( ) + ．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若不等式 (4 2 + 1) > ( 3)恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ( ) = 2 2 + 1，若对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，求实数 的取值范
围．
19.(本小题12分)
列奥纳多 达 芬奇( , 1452 1519)是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬

链线的函数表达式 ( ) = ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 =

+
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 = ．
2 2
(1)证明： 2 2 = 1；
(2)求不等式： (2 1) + ( 2) < 0的解集；
(3)函数 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
5
13.【答案】[1, ]
4
5
14.【答案】[ , +∞)
2
15.【答案】解：(1)因为 = 2，
2 2 1 2×2 1 3
可得 = = = ；
sin +3 tan +3 2+3 5
7
(2)因为 + = ，
5
49 24
两边平方，可得1 + 2 = ，解得2 = ，
25 25

因为0 < < ，
4
1
所以 = √ ( )2 = √ 1 2 = ．
5

16.【答案】解：(1)函数 ( ) = cos( + )(0 < < )，
2
1
由图象可知，当 = 0时， (0) = ，
2
1
∴ cos = ，
2

又∵ 0 < < ，
2

∴ = ，
3
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∴ ( ) = cos( + )，
3
1 1
将( 0, )代入，得cos( 0 + ) = ， 2 3 2
5
∴ 0 + = + 2 或 0 + = + 2 ， ∈ ， 3 3 3 3
4
∴ 0 = 2 或 0 = + 2 ， ∈ ， 3
2
∵ = = 2，∴ 0 < 0 < 2，
4
∴ 0 = ． 3
4 2
(2) ∵ = . ∴ 00 = ， 3 2 3
2 2 5
由 ( )的图象可知，在[0, +∞)上的第一个最小值点为 ，第二个最小值点为 + = ，
3 3 2 3
2 5
又∵ ( )在区间[0, ]上只有一个最小值点，∴ ≤ < ，
3 3
2 5
即实数 的取值范围为[ , ).
3 3
2 2 1 2 2
17.【答案】解：(1)由题意，可得 ( ) = ( ) = = ，
2 +1 2 +1 1+2 2 +1
则1 2 = 2 1 + 2 = (1 + 2 )，所以 = 1．
(2) ( )单调递增，证明如下：
2 1 2
由(1)知， ( ) = = 1 ， 2 +1 2 +1
2 2 2 2
令 1 > 2，则 ( 1) ( 2) = 1 (1 ) = 2 1+1 2 2+1 2 2+1 2 1+1
2(2 1 2 2)
= ，而2 1 2 2 > 0，2 1 + 1 > 0，2 2 + 1 > 0， (2 1+1)(2 2+1)
所以 ( 1) ( 2) > 0 ( 1) > ( 2)，故 ( )单调递增．
(3)由题意可知，当 ≥ 0时， ≤ ( )恒成立，
2
而 ( ) = 1 ∈ [0,1)，所以 ≤ 0， 2 +1
故实数 的取值范围为( ∞, 0]．
18.【答案】解：(1)由题意知， 2(2 + 1) 2(2
+ 1) = 0，
2 +1
即2 = 2(2 + 1) 2(2
+ 1) = 2 = ， 2 +1
1
所以 = ，
2
1
故 ( ) = 2(2 + 1) ． 2
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(2)由(1)知， ( ) = ( ) + = (2
1
2 + 1) + ， 2
所以 ( )在 上单调递增，
所以不等式 (4 2 + 1) > ( 3)恒成立等价于4 2 + 1 > 3，
4 +4
即 < 恒成立，
2
4 +4 2+4 4
设 = 2 ，则 > 0， = = + ≥ 4，当且仅当 = 2，即 = 1时取等号， 2
所以 < 4，
所以实数 的取值范围是( ∞, 4)．
(3)因为对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，
所以 ( )在[0,3]上的最小值不小于 ( )在[1,3]上的最小值，
1
因为 ( ) = (2 2 + 1) + 在[0,3]上单调递增， 2
所以当 ∈ [0,3]时， ( ) = (0) = 1，
( ) = 2 2 + 1的对称轴为 = ， ∈ [1,3]，
当 ≤ 1时， ( )在[1,3]上单调递增，
1
所以 ( ) = (1) = 2 2 ≤ 1，解得 ≥ ， 2
1
所以 ≤ ≤ 1，
2
当1 < < 3时， ( )在[1, )上单调递减，在[ , 3]上单调递增，
( ) = ( ) = 1
2 ≤ 1，解得 ∈ ，
所以1 < < 3，
当 ≥ 3时， ( )在[1,3]上单调递减，
3
所以 ( ) = (3) = 10 6 ≤ 1，解得 ≥ ， 2
所以 ≥ 3，
1
综上可知，实数 的取值范围是[ , +∞)．
2
+
19.【答案】解：(1)证明： 2 2 = ( )2 ( )2
2 2
2 + 2 +2 2 + 2 2
= = 1；
4 4

(2)因为 ( ) = = , ∈ 恒成立，
2
所以 = 为奇函数，
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易知 = 在 上严格递增， = 在 上严格递减，

所以 = = 是 上的严格增函数，
2
所以 (2 1) + ( 2) < 0，
即 (2 1) < ( 2) = (2 )，
所以2 1 < 2 ，
解得 < 1，
则 (2 1) + ( 2) < 0的解集为( ∞, 1)；
(3)因为 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
所以 ( 2 + 2 ) ( ) 3 = 0在 ∈ [0, 2]有2个实数根，
( )+3
即 =
2 + 2
在 ∈ [0, 2]有2个实数根，
令( ) + 3 = ，
易知 = ( ) + 3在[0, 2]上单调递增，
9
所以 ∈ [3, ]，
2
( )+3
此时 = ，
2 + 2
即1
2 6 +11 11
= = + 6，

11 9
设 ( ) = + 6，函数定义域为[3, ]，
2
9
易知函数 ( )在[3, √ 11)上单调递减，在(√ 11, ]上单调递增，
2
2 9 17
又 (3) = , (√ 11) = 2√ 11 6, ( ) = ，
3 2 18
1 2 11 1
当2√ 11 6 < ≤ 时，函数 ( ) = + 6与直线 = 有两个交点，
3
即函数 ( )的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
所以3 √ 11+3≤ < ．
2 4
则实数 的取值范围为 3 √ 11+3[ , )．
2 4
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