第一章 三角形的证明（含答案）

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第一章 三角形的证明
一、单选题
1．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．1， ，
C．3，5，5 D． ， ，
2．下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10
3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，3，4 B．1，1， C．13，14，15 D．3，4，5
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（　　）
A．38° B．52° C．76° D．104°
5．如图，，则的度数等于
A． B． C． D．
6．一木杆在离地面3米处拆新，木杆顶端落在离木杆底端4米的水平地画处。那么木杆折断之前的高度是（　　）米。
A．8 B．7 C．5 D．4
7．有六根木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（　　）
A．4，5，8 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12
8．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．AB2＝BC2+AC2
9．如图， 中， 的垂直平分线 交 于 ，如果 ， ，那么 的周长是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
二、填空题
11．如图，中，，，垂足为D．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
12．如图，，平分，，则　 　度．
13．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为12，则长度的最小值为 　 　 ．
14．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为　 　．
15．在直角坐标系中，O为原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有　 　个．
16．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有　 　.(填上所有正确结论的序号)
三、计算题
17．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
18．已知：如图，是直角，是锐角，是的平分线，是的平分线．
（1）如果，那么是多少度？
（2）当锐角的大小发生改变时，的大小是否发生改变？说明理由．
19．综合运用
（1）如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式．
（3）如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标．
四、解答题
20．综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．
特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，且E为AB的中点，求∠B的度数．
22．在四边形中，，，，若在四边形的周长为，求的长度．
23．定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①　如图1，，，则______；
②　当，时，则______；
③　当，时，则______；
④　根据以上经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，三条射线先后到达刻度线，其中先到达刻度线的两条直线在到达刻度线后立即向反方向原速返回，第三条射线到达180°刻度线时旋转停止，在这个运动过程中，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
5．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；同位角的概念
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
10．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质
12．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的性质
13．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
15．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质
16．【答案】①②③④
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
17．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】角的运算；角平分线的性质
19．【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为或
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
20．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】角的运算；角平分线的性质
21．【答案】．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
22．【答案】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
23．【答案】（1）①40；②95；③95；④
（2）t的值为或12或或或18
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
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