宁波市2024学第一学期期末九校联考高三数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则
A.2B.iC.D.
【答案】
【解析】.
故选择:
2.已知全集,集合,则
A.B.C.(0,2)D.
【答案】
【解析】,所以,或.
故选择:
3.已知向量,则是的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若,则,解得或3,所以是充分不必要条件.
故选择:
4.的展开式中,的系数为
A.-5B.5C.15D.35
【答案】
【解析】,所以的系数为-5.
故选择:
5.圆台的上下底面半径分别为1和3,圆台的母线与下底面所成角为,则圆台的体积为
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,
所以.
故选择:
6.下列不等式正确的为
A.B.C.D.
【答案】
【解析】选项,,选项错误;
选项,,选项错误;
选项,,所以,选项正确;
选项,,选项错误.
故选择:
7.如图,直线与函数交点的横坐标分别为,,若,则
A.B.C.D.1
【答案】
【解析】由,及图象可知函数的图象关于直线和点对称,
则由五点对应法可得,解得,所以.故选择:
8.在平面直角坐标系中,若点到直线的距离不小于2,则的取值范围为
A.B.C.或D.或
【答案】
【解析】点在圆上,点到直线的距离不小于2,因此只需的最小值不小于2,
,解得.
故选择:
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演,其中7个人唱歌,8个人跳舞,共有多少种选择方式,下列各式表述正确的为A.B.C.D.【答案】【解析】选项表示先从40人中挑出15人参加表演,再从挑出的15人中选取7个人唱歌,剩下8个人跳舞,满足题意,故正确；选项表示先从40人中挑出7个人唱歌,再从剩下的33人中选取8个人跳舞,满足题意,故正确;
选项表示先从40人中挑出8个人跳舞,再从剩下的32人中选取7个人唱歌,满足题意,故正确;选项:第一步应从40人中选出,故错误.故选择:10.如图,圆锥的底面圆直径为为底面圆上的动点,则
A.当直线与所成角为时,直线与所成角为
B.当直线与所成角为时,直线与所成角为
C.直线与所成角的最小值为
D.直线与所成角的最大值为
【答案】
【解析】设,以为坐标原点,分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,相关点和向量的坐标如下:,,,,,当直线与直线所成角为时,,解得,此时,直线与直线所成角为,故错误,正确;而,当,
,故正确,当和重合时,直线与所成角为最大,故错误;故选择:
11.已知函数,数列满足,前项和为.则
A.函数的对称中心为(1,1)
B.函数为奇函数
C.不等式的解集为
D.若,则的最小值为
【答案】
【解析】因为,所以关于(1,1)对称,故正确;
为奇函数,则关于(-1,1)对称,矛盾,故错误;
关于单调递增,因为,
所以,
所以
,所以,故正确;
因为,
所以,所以,
所以,
当时取等,故正确.
故选择:
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知数据的平均数为3,方差为1,则数据的平均数与方差的和为_____.
【答案】19
【解析】由题可知,,所以
所以.
故答案为:19
13.过点的直线与抛物线交于两点,且,则_____.
【答案】
【解析】设直线为,,,联立,消去,得
当时,,故,
又,则,所以,
所以直线过定点(0,2p),由题可知.
故答案为:
14.已知函数有两个极值点,当时,的取值范围是_____.
【答案】
【解析】可得,故由是两个极值点,有,
则,令,
②-①得:,
于是,根据,可求得,
即；
再由,可得当,即.
故答案为:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球,甲箱中有5个白球和3个黑球,乙箱中有4个白球和3个黑球.
(1)若从甲箱中任取2个小球,求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个小球,求从乙箱中取出的球是白球的概率.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)从甲箱中任取2个小球的事件数为,
这2个球是同色的事件数为,所以这2个小球同色的概率为.
(2)设事件为“从乙箱中任取1个小球,取出的这个小球是白球”,事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”,事件为“从甲箱中取出的2个小球是1个白球1个黑球”,事件为“从甲箱中取出的2个都是黑球”,则事件彼此互斥.
所以
所以从乙箱中取出的小球是白球的概率为.
16.(15分)已知函数.数列的首项.以后各项按如下方式取定:记曲线在处的切线为,若,则记与轴交点的横坐标是.
(1)证明:数列为等比数列；
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)由,得,
曲线在处的切线方程为,
令,则,
所以,所以,由,得.
数列是以1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由上式得,
①
①-②,得,
所以.
17.(15分)如图,三棱锥中,.异面直线和所成角的余弦值为,点是线段上的一个动点.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角的正弦值为,求.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)法一:(几何法)如图,取中点,由,得,作,连,
因为与所成角的余弦值为,所以,
由于,
若,不可能成立,舍去.
故,由余弦定理得,
又因为,所以,所以,因为,,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.
法二:(基底法)如图,取中点,由,
得,二面角的平面角为,
由题意,得,
设.
则,
,得,
解得或(舍去),
所以,此时,平面平面.
(2)以分别为轴正方向,建立空间直角坐标系(如图).
则,,,,设,,
所以,所以得,
因为,
设平面的法向量,
则令,得,
故平面的一个法向量为,
又,
同理可求得平面的一个法向量为,
设二面角的平面角为,所以,得或(舍),.
18.(17分)如图,双曲线的左右焦点分别为,双曲线与有相同的渐近线和焦距.过上一点作的两条切线,切点分别为在轴上方,连接交于点.
(注:过曲线外一点作曲线的两条切线,则两切点所在直线方程为)
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:直线与切于点,且;
(3)当点在第三象限,且时,求的值.
【答案】(1)；(2)见解析;(3).
【解析】(1)的渐近线方程为,的渐近线方程为,
所以,得,所以双曲线的方程为.
(2)已知,且满足,设切点,
根据题意得,直线方程为.
直线与联立,得,化简得
所以直线与切于点.所以.
直线与联立,得,即,得,
所以,所以.
(3)法一:因为,则,
直线与直线联立,
得,即.
将点代入,得,
化简得,由得,,
所以.
法二:因为,点与点关于原点对称,所以,
因为,所以,因为,所以,
所以,
所以.
19.证明:;
(2)当时,利用所给图形证明(1)中等式；
(3)如图,的外接圆半径为的一个外角的角平分线交外接圆于点,过作于点,利用(1)中等式,证明:.
题(2)图
题(3)图
【答案】见解析.
【解析】(1)
,
两式相加,得.
(2)线段的中点的坐标为.
过作垂直于轴,交轴于,
所以.
在Rt中,,
在Rt中,,
则,即..(3)设,则,所以,
在中,由正弦定理,得,
在中,由正弦定理,得,
所以,
由(1)式,得.宁波市2024学第一学期期末九校联考高三数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则
A.2B.iC.D.
2.已知全集,集合,则
A.B.C.(0,2)D.
3.已知向量,则是的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.的展开式中,的系数为
A.-5B.5C.15D.35
5.圆台的上下底面半径分别为1和3,圆台的母线与下底面所成角为,则圆台的体积为
A.B.C.D.
6.下列不等式正确的为
A.B.C.D.
7.如图,直线与函数交点的横坐标分别为,,若,则
A.B.C.D.1
8.在平面直角坐标系中,若点到直线的距离不小于2,则的取值范围为
A.B.C.或D.或
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演,其中7个人唱歌,8个人跳舞,共有多少种选择方式,下列各式表述正确的为
A.B.C.D.
10.如图,圆锥的底面圆直径为为底面圆上的动点,则
A.当直线与所成角为时,直线与所成角为
B.当直线与所成角为时,直线与所成角为
C.直线与所成角的最小值为
D.直线与所成角的最大值为
11.已知函数,数列满足,前项和为.则
A.函数的对称中心为(1,1)
B.函数为奇函数
C.不等式的解集为
D.若,则的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知数据的平均数为3,方差为1,则数据的平均数与方差的和为_____.
13.过点的直线与抛物线交于两点,且,则_____.
14.已知函数有两个极值点,当时,的取值范围是_____.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球,甲箱中有5个白球和3个黑球,乙箱中有4个白球和3个黑球.
(1)若从甲箱中任取2个小球,求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个小球,求从乙箱中取出的球是白球的概率.
16.(15分)已知函数.数列的首项.以后各项按如下方式取定:记曲线在处的切线为,若,则记与轴交点的横坐标是.
(1)证明:数列为等比数列；
(2)设,求数列的前项和.
17.(15分)如图,三棱锥中,.异面直线和所成角的余弦值为,点是线段上的一个动点.
(1)证明:平面平面；
(2)若二面角的正弦值为,求.
19.证明:;
(2)当时,利用所给图形证明(1)中等式；
(3)如图,的外接圆半径为1,,的一个外角的角平分线交外接圆于点,过作于点,利用(1)中等式,证明:.
题(2)图
题(3)图
18.(17分)如图,双曲线的左右焦点分别为,双曲线:与有相同的渐近线和焦距.过上一点作的两条切线,切点分别为在轴上方,连接交于点.(注:过曲线外一点作曲线的两条切线,则两切点所在直线方程为)
(1)求双曲线的方程；
(2)证明:直线与切于点,且;
(3)当点在第三象限,且时,求的值.
