湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷（含答案）

湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的常数项是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中是随机事件的是( )
A. 两个奇数之和为偶数 B. 三条线段围成一个三角形
C. 一年有天 D. 直径所对的圆周角为直角
4.如图，点，，在上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于( )
A. 第二、第三象限 B. 第一、第三象限 C. 第三、第四象限 D. 第二、第四象限
7.已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示单位：，则该铁球的直径为( )
A.
B.
C.
D.
9.农特产品展销推荐会在杨凌举行某农户销售一种商品，每千克成本价为元已知每千克售价不低于成本价，不超过元经调查，当每千克售价为元时，每天的销量为千克，且每千克售价每上涨元，每天的销量就减少千克为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )
A. B. C. D.
10.如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，是上一点，且，连接，点在移动的过程中，的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将抛物线向右平移个单位长度后抛物线的顶点坐标是______．
12.如果一个扇形的圆心角为，半径为，那么该扇形的弧长是______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______．
14.若关于的一元二次方程有一个根为，则 ______．
15.两圆的圆心距，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是______．
16.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的是序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，．
画出关于点成中心对称的；
写出坐标： ______， ______．
19.本小题分
在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？
20.本小题分
如图，一次函数与反比例函数为常数，的图象在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．
21.本小题分
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
22.本小题分
如图：利用一面墙墙的长度不限，用的篱笆围成一个矩形场地设矩形与墙垂直的一边为，矩形的面积为．
若面积，求的长；
能围成面积为的矩形吗？说明理由．
23.本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
判断的形状；
求证：平分．
24.本小题分
如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
求证：是的切线；
判断的形状，并说明理由；
当时，求的长．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值；
若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】相交
16.【答案】
17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，．
18.【答案】
19.【答案】解：设每轮传播中平均一人传播了人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或舍去．
答：每轮传播中平均一人传播了人．
20.【答案】解：把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把代入得，
反比例函数解析式为；
设，
针对于直线，
当时，，则，
当时，，解得，则，
的面积等于，
，
解得或，
点的坐标为或．
21.【答案】
22.【答案】解：矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为，则为，则，
当时，
，
解得，，
答：的长为或．
不能围成的矩形，理由如下：
根据题意可得：，
即，
，
方程无实数解，
故矩形场地的面积不能达到．
23.【答案】解：绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
证明：绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
垂直平分，
平分．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
解：为等腰三角形，
理由：，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
，
即为等腰三角形；
解：由可知，，，
，
，
．
25.【答案】解：抛物线与轴交于点和，与轴交于点，把点，点的坐标代入代入得：
，
解得，
该抛物线的解析式为，
该抛物线的顶点坐标为；
设直线的函数解析式为，把点，点的坐标代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为，
把代入得：，
点的坐标为，
点的横坐标为，
轴，
点的横坐标为，
点的坐标为，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
在轴上存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
把代入得，，
解得，，
，
，
如图，当时，四边形为平行四边形，
，
把代入得，，
解得，，
，
，
，
，
；
如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，，
点的纵坐标为，
把代入得，，
解得，不符合，舍去，
点的横坐标为，
；
如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
同理可得；
综上，点的坐标为或或．
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