四川省成都市锦江区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷（一诊）（含答案）

四川省成都市锦江区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷（一诊）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的几何体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.若是一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，菱形的边长，对角线，则菱形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请估计这个口袋中红球的数量最有可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
8.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别为，，以原点为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为：，点，，的对应点分别为，，，则点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若，则______．
10.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ______．
11.已知反比例函数的图象经过，两点，若点的坐标为，则点的坐标可能是______写一个即可．
12.如图，在正方形的对角线上取点使，连接，过点作交于点，则的大小为______．
13.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，交于点，则的长为______．
14.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
15.如图，在菱形中，，连接，点是线段上一点，过点作，，垂足分别为点，若，则的值为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，点在轴的负半轴上，连接若，的面积为，则的值为______．
17.如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ______；若，均为正整数，则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为______．
18.如图，在四边形中，，，对角线平分过点作于点，平分交于点，交于点若，，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
解方程：．
20.本小题分
随着气温日渐走低，成都的银杏也渐渐褪去青绿，悄然变黄为鼓励同学们利用课余时间走进成都街头巷尾，发现银杏之美丽，感受自然之神奇，某校随机对该校部分学生进行了“你心中的最美银杏打卡点”问卷调查问卷设置了四个选项：文殊院；青羊宫；百花潭公园；电子科技大学通过调查得到下列不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题：
求本次调查中接受调查的学生人数；
补全条形统计图；
在选择的四名学生中，有名男生，名女生现随机抽取其中名同学担任“银杏使者”，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名同学都为女生的概率．
21.本小题分
如图，三根木杆，，竖直立于地平面，点，，在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为米，即米，木杆，的影子分别为，．
在图、图两个示意图中，反映阳光下情形的是图______，反映灯光下情形的是图______；填图形序号
请在图中画出表示木杆的影长的线段；
已知木杆长为米，木杆长为米，木杆长为米，在图中测得木杆，的影长米，求木杆的影长．
22.本小题分
如图，在 中，，分别为，的中点，连接，，且．
求证：四边形是菱形；
如图，连接交于点，交于点，且，连接，．
求证：；
若，求的长．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点，交直线于，两点．
若，，求反比例函数的表达式；
试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；
如图，取线段的中点，连接，若，求所在直线的表达式．
24.本小题分
“骑行安全最重要，安全头盔要戴好”年月日起，新修订的成都市非机动车管理条例正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范据了解，某经销商以元个的价格购入一批头盔，按元个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为元个若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
市场调研表明：当头盔售价为元个时，每月能够售出个，当售价每降元时，则月销量能增加个若要使月销售利润为元，则头盔的售价应为多少元？
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，，．
如图，设点坐标为，若，，且．
求的值；
若的面积为，求点的坐标；
如图，延长交反比例函数的图象于点，连接，点为上一点，连接并延长交于点若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点始终在该直线下方，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
如图，在中，为边上一点，交于，延长，相交于点，．
求证：；
连接，若是以为腰的等腰三角形，，求的值；
如图，在中，，，，为直线下方一点，点关于直线的对称点恰好在的延长线上，连接，，若，求的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】或
18.【答案】
19.【答案】解：原式
提取公因式得，
或，
，．
20.【答案】解：本次调查中接受调查的学生人数为人．
选择的人数为人．
补全条形统计图如图所示．
列表如下：
男 女 女 女
男 男，女 男，女 男，女
女 女，男 女，女 女，女
女 女，男 女，女 女，女
女 女，男 女，女 女，女
共有种等可能的结果，其中抽到的名同学都为女生的结果有种，
抽到的名同学都为女生的概率为．
21.【答案】
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形；
证明：，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
；
解：，
∽，
，
，
，
设，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
舍去负值，
．
23.【答案】解：当，时，，．
根据线段平移的性质，．
点坐标为．
由反比例函数表达式得．
反比例函数的表达式为．
如图，过点作轴的垂线交轴于点．
轴．
由平行线分线段成比例得：．
，，，．
．
点在反比例函数的图象上，同理可得点的坐标为．
．
．
．
．
，．
四边形是平行四边形．
．
．
故的值为定值．
设直线的函数表达式为，把、两点坐标代入得：
，解得．
直线的表达式为．
由于反比例函数表达式为，与直线函数表达式联立得：
．
整理得．
．
，．
点的坐标为也是线段的中点．
根据线段平移的性质可得点坐标为，则．
同理，由两点坐标根据待定系数法求得的解析式为：．
过点作轴，垂足为，过点作与延长线交于点，再过点作轴，垂足为．
，
．
在和中，，
．
∽．
．
，
点在直线上，
，
代入和得：，
整理得：．
又，则，代入上式得．
．
直线的解析式为．
24.【答案】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得或舍去，
每次降价的百分率为；
设头盔的售价应为元，
根据题意得：，
整理得，
解得或，
头盔的售价应为元或元．
25.【答案】解：，且，
，，
点坐标为，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，
，
，
，即，
整理可得：，
解得负值舍去，
点的坐标为；
连接，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，
点坐标为，
点坐标为，
反比例函数表达式为，
设点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
点始终在直线的下方，
的最小值为．
26.【答案】证明：，
，
又，
，
∽，
，
，
，
；
解：，
设，，
在中，由勾股定理可得，
当时，
，
，
，
，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
；
当时，
同理可得，
，
，
，
∽，
；
综上所述，的值为或；
如图，点关于直线的对称点恰好在的延长线上，
连接，延长交于点，过点作交延长线于点，连接，
点关于直线的对称点恰好在的延长线上，
，，
，
∽，
，
，，
，
设，，
，，
在和中，
，，
∽，
，
，
，
，
，
设，，则，，
，
在中，由勾股定理可得：，
整理可得：，
解得负值舍去，
，
在中，由勾股定理可得，
即．
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