重庆外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校）2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

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重庆外国语学校
2024-2025学年度（上）高2025届12月半月考
数学试题
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数满足（i为虚数单位），则的虚部是（）
Ai B. 1 C. D.
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
4. 已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
5. 已知平面向量，则的最小值是（）
A. 1 B. 2 C. D. 3
6. 在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
7. 在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（）
A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分．
9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（）
A. 事件“为偶数”的概率为
B. 事件“ab为偶数”的概率为
C. 设，则X的数学期望为
D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
10. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（）
A. 直线l恒过定点
B. 若圆C关于直线l对称，则
C. 若直线l与圆C相切，则
D. 当时，取y轴上一点，则的最小值为
11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（）
A. 平面截该正方体的截面面积为
B. 若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C. 若为的中点，则三棱锥的体积为1
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设等比数列的前项和为，若，则________.
13. 如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
14. 已知，则的最小值为__________．
四、解答题：共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，，求的值．
16. 如图所示，在四棱锥中，，，．
（1）若平面，证明：平面；
（2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长．
17. 已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值．
18. 已知函数．
（1）证明：为奇函数；
（2）求的导函数的最小值；
（3）若恰有三个零点，求的取值范围．
19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：．
（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．
附：，其中．
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
重庆外国语学校
2024-2025学年度（上）高2025届12月半月考
数学试题
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分．
9.
【答案】ABD
故选：ABD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】2
四、解答题：共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解】
【分析】（1）根据关系求得，结合等比数列的定义写出通项公式；
（2）由题设得，累乘法求通项公式，再应用裂项相消求和即可.
【小问1详解】
若，则，
若，则，故，
所以，
所以是首项为9，公比为3的等比数列，则.
【小问2详解】
由题设，故，
时，，显然也满足，
所以，
综上，.
16.
【解】
【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列方程，即可得求答案.
【小问1详解】
证明：∵，，，即，
∴，即，
∵平面，平面，
∴，
∴，又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
∵底面，底面，
∴，，又，
以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
令，则，
，则，
，
设平面的法向量为，
∴，
令，则，
∴，
设平面的法向量为，
∴，
令，则，
∴，
∵二面角的正弦值为，则余弦值为，
又二面角为锐角，∴，
解得，所以.
17.
【解】
【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线的斜率之积为3，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
【小问2详解】
设直线
联立整理得
则
所以．
因为，所以，
所以
即
化简得，故．
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离．
因为，所以，所以，
即点到直线的距离的最大值是．
18.
【解】
【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可；
（2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值；
（3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围.
【小问1详解】
由题设，令，
所以，
又定义域为R，所以为奇函数，得证.
【小问2详解】
由题设，
当且仅当，即时取等号，
所以的导函数的最小值为.
【小问3详解】
令，用代换，则，
对于，有，
易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然，
只需保证在和上各有一个零点即可，
令，则，即与在和上各有一个交点，
由，且，即为奇函数，
令，则，显然上，上，
综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示，
又与都过原点，且原点处的切线斜率为，
结合图象知：当时，与在和上各有一个交点，
所以.
19.
【解】
【分析】（1）根据题设写出列联表，应用卡方公式得，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案；
（2）根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到，并化简，即可证；
（3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到，进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小.
【小问1详解】
由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，
甲获胜场数 乙获胜场数
5局3胜
7局4胜
所以，若，
当时，根据小概率值的独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响．
当时，根据小概率值的独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响．
【小问2详解】
由题意，
，
，
综上，，得证.
【小问3详解】
考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，
设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况：
第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，
则，得，
若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况，
甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；
甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为，
所以，
若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得，
所以，
则
，
由，所以，得.