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浙江省2025年中考数学模拟卷（四）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“（50±0.1）kg、（50±0.2）kg、（50±0.3）kg”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
【分析】根据有理数的减法，用最多的减去最少的，可得答案．
【解答】解0.3﹣（﹣0.3）＝0.3+0.3＝0.6（kg）．
故选：B．
【点评】本题考查了这正数和负数，有理数的减法运算时解题关键．
2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．a3 a2＝a5
C．（2x3）2＝4x5 D．a6÷a3＝a2
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故此选项符合题意；
C、（2x3）2＝4x6，故此选项不符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．3
C． D．
【分析】根据二次根式的性质可判断A；根据二次根式的加减法则可判断B、C、D．
【解答】解：A．，故不正确，不符合题意；
B．，故不正确，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本根据题考查了二次根式的性质以及二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
【分析】四边形ABCD是平行四边形，DE＝2EC，得BA∥DC，BA＝DC＝3EC，则，可证明△ABF∽△DEF，得，则S△ABFS△DEF＝9，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝2EC，
∴BA∥DC，BA＝DC＝2EC+EC＝3EC，
∴，
∵BA∥DE，
∴△ABF∽△DEF，
∴，
∵S△DEF＝4，
∴S△ABFS△DEF4＝9，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABF∽△DEF是解题的关键．
6．我校“足球社团”有30名成员，如表是社团成员的年龄分布统计表，统计表不小心被撕掉一块，下列判断正确的是（ ）
年龄/岁 11 12 13 14 15
频数/名 5 12 2
A．平均数不受两个数据的影响
B．方差不会受两个数据的影响
C．众数和中位数不受两个数据的影响
D．众数和方差不受两个数据的影响
【分析】由频数分布表可知年龄13岁和年龄14岁的两组的频数和为11，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15，16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为：30﹣5﹣12﹣2＝11，12岁人数有12人，
该组数据的众数为12岁，
中位数为：（12+12）÷2＝12，
所以众数和中位数不受两个数据的影响．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和中位数，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OB的长为半径，圆心角∠O＝120°的扇面．若OA＝6m，OB＝4m，则阴影部分的面积为（ ）
A．12πm2 B． C．8m2 D．
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝12π
π（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，AB经过原点O，连接BD，若BD⊥x轴，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【分析】点D的横坐标为m，D（m，），所以B（m，），A（﹣m，），点A向右平移2m个单位长度，向上平移（）个单位长度，所以点B通过同样的平移得到点C，则C（3m，），又点C在反比例函数y的图象上，得出等式就可以得出k的值．
【解答】解：如图，设点D的横坐标为m，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴D（m，），
∵BD⊥x轴，
∴BD∥y轴，
∴B（m，），
∵OA＝OB，
∴点A和点B关于点O对称，
∴A（﹣m，），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵点A向右平移2m个单位长度，向上平移（）个单位长度，
∴C（3m，），
∵点C在反比例函数y上，
∴3m（）＝k，解得k＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合，结合反比例函数上点的特征及几何图形的性质，设出点D的坐标，表达出点C的坐标是解题关键．
9．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由完美点的概念可得：ax2﹣3x+c＝x，即ax2﹣4x+c＝0，由只有一个完美点可得根的判别式Δ＝16﹣4ac＝0，得方程根为2，从而求得a＝1，c＝4，所以函数y＝ax2﹣3x+cx2﹣3x，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣3x+c＝x，即ax2﹣4x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16．
又方程根为x2，
∴a＝1，c＝4．
∴函数y＝ax2﹣3x+cx2﹣3x，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（，），
与y轴交点为（0，），根据对称规律，
点（3，）也是该二次函数图象上的点．
在x左侧，y随x的增大而减小；在x右侧，y随x的增大而增大；且当0≤x≤m时，函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的最小值为，最大值为，则m≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CDAB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACDtanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出，得出y，求出y2，得出FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CDAB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CECD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACDtanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
∴△CEG∽△FEC，
∴，
∴y，
∴y2，
∴FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴x2﹣4，
∴4＝x2，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．因式分解：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）b+b2＝ （a﹣2b）2 ．
【分析】把a﹣b看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）b+b2＝（a﹣b﹣b）2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一个三角板的斜边上，且EF∥BC，则∠1的度数为 75° ．
【分析】根据EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，进而得出∠1＝∠FDC+∠C即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠F＝30°，
∴∠1＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据EF∥BC得出∠FDC的度数和三角形外角性质分析．
13．某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级2班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3：2：5的比例计算总成绩，则八年级2班的总成绩为 88 ．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：八年级2班的总成绩为：88（分），
故答案为：88．
【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
15．如图，在直角坐标系中，点B（﹣7，0），C（7，0），AB﹣AC＝2，则△ABC的内切圆圆心M的横坐标为 1 ．
【分析】设⊙M与BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，连接MD，由切线长定理得AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，则AB﹣AC＝AE+BE﹣（AF+CF）＝BE﹣CF＝BD﹣CD＝2，所以CD＝BD﹣2，由B（﹣7，0），C（7，0），得BD+CD＝14，则BD+（BD﹣2）＝14，求得BD＝8，则D（1，0），所以点M的横坐标为1，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙M与BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，连接MD，则BC⊥MD，
∴AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，
∴AB﹣AC＝AE+BE﹣（AF+CF）＝BE﹣CF＝BD﹣CD，
∵AB﹣AC＝2，
∴BD﹣CD＝2，
∴CD＝BD﹣2，
∵B（﹣7，0），C（7，0），
∴BD+CD＝BC＝7﹣（﹣7）＝14，
∴BD+（BD﹣2）＝14，
∴BD＝8，
∴xD＝﹣7+8＝1，
∴D（1，0），
∵MD⊥x轴，
∴点M的横坐标为1，
故答案为：1．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、图形与坐标等知识，推导出AB﹣AC＝BE﹣CF＝BD﹣CD＝2是解题的关键．
16．如图，边长为8的正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形．小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CO上，则DE＝ ．
【分析】过点G作GM⊥AD，根据正方形的性质及直角三角形的两个锐角互余，易证△DHE∽△MEG，然后根据相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：过点G作GM⊥AD，交AD于点M，
∴∠EMG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∵正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，
∴∠DEH+∠MEG＝90°，
∵∠DEH+∠DHE＝90°，
∴∠MEG＝∠DHE，
∴△DHE∽△MEG，
∴，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴MG＝8，
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程：x2﹣4x﹣8＝0；
（2）解不等式：．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝12，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先去分母，再去括号、移项，然后合并得到不等式的解集．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣4x＝8，
x2﹣4x+4＝12，
（x﹣2）2＝12，
x﹣2＝±2，
所以x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）去分母得4（x+1）﹣12＜3（x﹣1），
去括号得4x+4﹣12＜3x﹣3，
移项得4x﹣3x＜﹣3﹣4+12，
合并得x＜5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了一元一次不等式．
18．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
【分析】（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）由题意得：QN＝7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF＝53°，然后利用线段的和差关系求出QG＝3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，
在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5m，
∴PF＝PM sin37°≈53（m），
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4（m），
∴点P到地面的高度约为4m；
（2）由题意得：QN＝7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3m，
∴∠MPF＝90°﹣∠PMF＝53°，FM4（m），
∴FM＝GN＝4m，
∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3（m），
在Rt△PQG中，tan∠QPG，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM＝∠QPG+∠MPG＝90°，
∴∠QPM的度数约为90°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
（1）小滨解法的依据是 ② （填序号）；小江解法的依据是 ④ （填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．
（2）已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
【分析】（1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可；
（2）先化简题中代数式，再将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）小滨解法的依据是分式的基本性质；
小江解法的依据是乘法对加法的分配律，
故答案为：②、④．
（2）原式
，
当时，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有 60 人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为 500 人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次抽取调查的学生人数；根据用样本估计总体，用2000乘以样本中C类的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）分别求出A类的人数、扇形统计图中C的百分比，补全两个统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择不是同一类的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽取调查学生共有18÷30%＝60（人）．
估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为2000500（人）．
故答案为：60；500．
（2）A类的人数为60×35%＝21（人）．
扇形统计图中C的百分比为15÷60×100%＝25%．
补全两个统计图如图所示．
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴两人恰好选择不是同一类的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21．如图所示，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点C（﹣2，0），若△AOC的面积为4．
（1）分别求出k1和k2的值；
（2）求B点坐标；
（3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集： x＜﹣2或0＜x＜8 ．
【分析】（1）根据点C坐标及△AOC的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题．
（2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题．
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点C坐标为（﹣2，0），
∴OC＝2．
∵AC⊥x轴，且△AOC的面积为4，
∴，
∴AC＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
将点A坐标代入y＝k1x+3得，；
将点A坐标代入y得，k2＝8．
（2）由（1）知，
一次函数解析式为y，反比例函数解析式为y，
则，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
经检验x1＝﹣2，x2＝8是原方程的解．
当x＝8时，y1，
所以点B的坐标为（8，﹣1）．
（3）由函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜8时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜8．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜8．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
22．如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，点F为CD边上的动点．
（1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，点D恰好落在BC边的中点G处，
①求DE的长；
②求tan∠GFC的值．
（2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，连接BM与AF，BM与AF交于点N，连接DN，设DF＝x（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式；当点F从点D沿DC方向运动到点C时，直接写出点N运动路径的长．
【分析】（1）①连接AC，AG，证出△ABC为等边三角形，BC＝AB＝4，由折叠的性质及勾股定理可得出答案；
②过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，设FG＝FD＝m，则FC＝2﹣m，FHm，利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（2）延长DN交AB于点K，连接AC交DK于点P，连接BP交CD的延长线交于点Q，利用相似三角形的判定与性质得到AK＝BKAB＝1，；过点D作DL⊥AB交BA延长线于L，利用勾股定理求得线段KD，代入化简运算即可得到y关于x的函数表达式；利用相似三角形的判定与性质得到DQ＝CD，即点F与点C重合时，点N与点P重合，则点N运动路径的长为线段DP，利用解答即可得出结论．
【解答】解：（1）①连接AC，AG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BG＝GC，
∴AG⊥BC，BG＝GC＝1．
∴AG．
∵AD∥BC，
∴AG⊥AD．
由题意得：ED＝EG．
设EG＝ED＝x，则AE＝2﹣x，
在Rt△AEG中，∠GAE＝90°，
∴AG2+AE2＝EG2．
∴，
∴x．
∴DE；
②过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BCH＝∠B＝60°．
∴∠CGH＝30°，
∴CHCG，GH．
由题意得：FD＝FG，
设FG＝FD＝m，则FC＝2﹣m，FHm，
在Rt△FHG中，∠GHF＝90°，
∴GH2+FH2＝FG2，
∴，
∴m．
∴FH，
∴tan∠GFC；
（2）延长DN交AB于点K，连接AC交DK于点P，连接BP交CD的延长线交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CP，
∴△AKN∽△FDN，△BKN∽△MDN，
∴，，
∴．
∵DM＝DF，
∴AK＝BKAB＝1．
∴．
过点D作DL⊥AB交BA延长线于L，
在Rt△ALD中，
∵∠ALD＝90°，∠LAD＝60°，AD＝2，
∴ALAD＝1，DL．
∴KL＝AL+AK＝2．
∴KD，
∵DF＝x（x＞0），DN＝y，
∴，
∴y．
∵AB//CP，
∴△AKP∽△CDP，△BKP∽△QDP，
∴，，
∴，
∴DQ＝2BK＝AB，
∴DQ＝CD，
∵点F从点D沿DC方向运动到点C，
∴点F在点C处时，点N与点D重合，点F在点C处时，点N与点P重合，
∴点N运动路径的长为线段DP的长．
∵，
∴，
∴DP．
∴点N运动路径的长为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解题的关键．
23．
设计喷水方案
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米
素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度．
任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围．
【分析】任务1．易得左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）以及点A的坐标（﹣10，0）．用顶点式表示出所求的抛物线解析式，把点A的坐标代入即可求得二次函数的二次项系数，即可求得抛物线的解析式；
任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）．可设甲喷水头形成的抛物线解析式为：yx2+m．根据任务1中的抛物线解析式可得点M的坐标，进而可得FM的长度，根据GMFM，可得GM的长度，即可求得点G的坐标，代入所设的抛物线解析式，即可求得m的值，也就求出了OP的最高高度；
任务3．乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）．用顶点式表示出乙喷水头喷出的抛物线的解析式，把点P的坐标代入可得h的值，进而根据OP喷出的水柱高度不低于5m，取顶点的纵坐标不低于5可得m的一个范围，进而根据水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．取点M的坐标代入所求的抛物线解析式可得m的值，即可求得m的取值范围，也就求得了喷水装置OP高度的变化范围．
【解答】解：任务1．如图以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系．
∵A、B之间的距离为20米，
∴点A的坐标为（﹣10，0）．
∵水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，
∴左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）．
∴设左侧抛物线的解析式为：y＝a（x+7）2+5．
∴a（﹣10+7）2+5＝0．
解得：a．
∴左边抛物线的函数表达式为：y（x+7）2+5．
任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）．
∵甲喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同．
∴甲喷水头形成的抛物线解析式为：yx2+m．
由任务1得：左边抛物线的函数表达式为：y（x+7）2+5．
当y＝1.8时，1.8（x+7）2+5．
解得：x1＝﹣9.4（不合题意，舍去），x2＝﹣4.6．
∴点M的横坐标为：﹣4.6．
∵CD为12m，
∴OC＝6m．
∴FM＝6﹣|﹣4.6|＝1.4．
∵GMFM，
∴GM＝0.4．
∴点G的横坐标是﹣4.6+0.4＝﹣4.2．
∴点G的坐标是（﹣4.2，1.8）．
∴1.8（﹣4.2）2+m．
解得：m．
∴OP的最高高度为米．
任务3．如图，建立平面直角坐标系．以y轴左侧的抛物线为例．
设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）．
∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8 m，
∴乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）．
∵乙喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同．
∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y（x﹣h）2+m+0.8．
把点P的坐标代入得：m（0﹣h）2+m+0.8．
解得：h＝﹣1.2或h＝1.2（不合题意，舍去）．
∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y（x+1.2）2+m+0.8．
∵OP喷出的水柱高度不低于5m，
∴最高点（h，m+0.8）的纵坐标不低于5m．
∴m+0.8≥5．
解得：m．
∵水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．
∴取点M的坐标（﹣4.6，1.8）代入y（x+1.2）2+m+0.8．
1.8（﹣4.6+1.2）2+m+0.8．
解得：m．
∴m．
∴m．
∴喷水装置OP高度的变化范围为：OP．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的形状相同，且开口方向相同，则二次函数的二次项的系数相同．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），点F在边CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）如图2，连接BD与AE交于点G，连接CG交BF于点H．
①求证：∠HBC＝∠HCB；
②当CH＝2GH时，求的值；
（3）如图3，若E是BC的中点，以点B为圆心，BM为半径作⊙B，P是⊙B上的一个动点，连接DP交AE于点N，则的最大值为 2 ．
【分析】（1）证明△ABE≌△BCF，得到∠BAE＝∠CBF，推导出∠AMB＝90°，即可解题；
（2）①再证明△ABG≌△CBG，得∠BAG＝∠BCG，由（1）得∠BAE＝∠ABF，证明出∠HBC＝∠HCB；
②作CN⊥BF于N，利用△BCN≌△ABM，得出BM＝CN，AM＝BN，设GM为单位1，设ME＝x，AM＝BN＝y，利用△BME∽△BNC表示出y，再由BE：AD＝GE：AG列出方程，解答即可；
（3）过点P作PQ∥AE，交DA的延长线于Q，连接BP，延长BF、AD交于点W，分析出当点P与⊙B相切时，满足题意，设BE为单位1，求出DQ、DA，再计算解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠CBF+∠ABM＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∵∠BAE＝∠CBF，
∴∠HBC＝∠HCB；
②解：作CN⊥BF于N，如图2，
∵AE⊥BF，
∴CN∥AE，CH：GH＝CN：GM＝2：1，
∵∠CBN＝∠BAM，∠BNC＝∠AMB＝90°，AB＝BC，
∴△BCN≌△ABM（AAS），
∴BM＝CN，AM＝BN，
设GM为单位1，则BM＝CN＝2，
设ME＝x，AM＝BN＝y，
∵ME∥CN，
∴△BME∽△BNC，
∴BM：BN＝ME：CN，即2：y＝x：2，
∴y，
∴BE：BC＝x：2，
∵BC＝AD，
∴BE：AD＝x：2，
∵AD∥BE，
∴BE：AD＝GE：AG，
即，
∴x，
∴；
（3）解：如图3，过点P作PQ∥AE，交DA的延长线于Q，连接BP，延长BF、AD交于点W，
∵PQ∥AE，
∴DP：DN＝DQ：DA，
∵DA为定值，
∴当DQ最大时，DQ：DA的值最大，
即DP：DN的值最大，
∴当PQ与AE距离最大时，即当点P与⊙B相切时，满足题意，
∴BP⊥PQ，
∵AH⊥BM，
∴P、B、M共线，
设BE为单位1，
∴AB＝BC＝2，
∴AE＝BF，
∵△BEM∽△ABE，
∴AE：BE＝AB：BM，
∴BMBP，
∵△BCF≌△DWF（ASA），
∴FW＝BF，DW＝BC＝2
∴WP，
∵△QWP∽△BCF，
∴WQ：BF＝WP：BC，
∴QW＝6，
∴DQ＝4，
∵AD＝2，
∴DQ：DA＝2：1，
∴2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，圆的相关概念性质的应用、图形的全等及相似的应用是本题的解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学模拟卷（四）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“（50±0.1）kg、（50±0.2）kg、（50±0.3）kg”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．a3 a2＝a5
C．（2x3）2＝4x5 D．a6÷a3＝a2
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．3
C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
6．我校“足球社团”有30名成员，如表是社团成员的年龄分布统计表，统计表不小心被撕掉一块，下列判断正确的是（ ）
年龄/岁 11 12 13 14 15
频数/名 5 12 2
A．平均数不受两个数据的影响
B．方差不会受两个数据的影响
C．众数和中位数不受两个数据的影响
D．众数和方差不受两个数据的影响
7．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OB的长为半径，圆心角∠O＝120°的扇面．若OA＝6m，OB＝4m，则阴影部分的面积为（ ）
A．12πm2 B． C．8m2 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，AB经过原点O，连接BD，若BD⊥x轴，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
9．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．因式分解：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）b+b2＝ ．
12．一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一个三角板的斜边上，且EF∥BC，则∠1的度数为 ．
13．某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级2班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3：2：5的比例计算总成绩，则八年级2班的总成绩为 ．
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
15．如图，在直角坐标系中，点B（﹣7，0），C（7，0），AB﹣AC＝2，则△ABC的内切圆圆心M的横坐标为 ．
16．如图，边长为8的正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形．小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CO上，则DE＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程：x2﹣4x﹣8＝0；
（2）解不等式：．
18．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
19．化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
（1）小滨解法的依据是 （填序号）；小江解法的依据是 （填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．
（2）已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
20．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有 人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为 人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．
21．如图所示，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点C（﹣2，0），若△AOC的面积为4．
（1）分别求出k1和k2的值；
（2）求B点坐标；
（3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集： ．
22．如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，点F为CD边上的动点．
（1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，点D恰好落在BC边的中点G处，
①求DE的长；
②求tan∠GFC的值．
（2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，连接BM与AF，BM与AF交于点N，连接DN，设DF＝x（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式；当点F从点D沿DC方向运动到点C时，直接写出点N运动路径的长．
23．
设计喷水方案
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米
素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度．
任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），点F在边CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）如图2，连接BD与AE交于点G，连接CG交BF于点H．
①求证：∠HBC＝∠HCB；
②当CH＝2GH时，求的值；
（3）如图3，若E是BC的中点，以点B为圆心，BM为半径作⊙B，P是⊙B上的一个动点，连接DP交AE于点N，则的最大值为 ．
