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浙江省2025年中考数学模拟卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（ ）
A．﹣2024 B． C． D．2024
2．我国神舟十九号载人飞船身高58.4米，捆绑了四个2.25米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约480000千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功．其中480000用科学记数法表示为（ ）
A．48×104 B．4.8×104 C．4.8×105 D．0.48×106
3．如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
4．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，连接AE、AC，则∠CAE的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，M是AB的中点，连接DM，MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC＝CD；③MC平分∠DCB；④若DM＝3，CM＝4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y的图象有交点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．k1k2＜0 B．k1k2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1+k2＞0
9．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3 B．2，9 C．4，18 D．4，27
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论，正确的有（ ）个．
①抛物线与x轴一定有两个交点；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
④一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c有一个根x＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：x2+2x+1＝ ．
13．如图，点C、D分别在⊙O的半径OA、OB的延长线上，且OA＝6，AC＝4，CD平行于AB，并与AB相交于MN两点．若tan∠C，则CN的长为 ．
14．定义新运算：，若a （﹣b）＝3，则的值是 ．
15．如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是 米（结果保留根号）．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的对称轴为直线x＝t，该二次函数图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），若对于1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1．
（1）求（﹣2）※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）探索a※（b+c）+1与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
18．某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）抽取学生的总人数为 ，并补全频数分布直方图；
（2）如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数；
（3）根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议．
19．如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m．
（1）求女孩的影子BD的长．
（2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14）
20．如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求k与m的值．
（2）当OD＝1时，
①求线段BC的长；
②点P为反比例函数图象上一动点，若△PBC面积为，直接写出P点坐标： ．
21．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
23．在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究．
【特例分析】
（1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值为 ，∠MCN的度数为 ；
【变形探究】
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离．
24．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，直径AD交BC于点E，且AC＝CE．
（1）如图1，求证：∠ACB＝2∠ABC；
（2）如图2，过点A作AF⊥CE于点F，求证：BE＝2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在OD上截取OG＝OE，连接CG，点H在上，连接GH，其中∠CGH＝∠AGC，当BE＝3EF，且DG＝4时，求线段GH的长．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学模拟卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（ ）
A．﹣2024 B． C． D．2024
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：∵a与﹣2024互为相反数，
∴a+（﹣2024）＝0，
∴a＝2024．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．我国神舟十九号载人飞船身高58.4米，捆绑了四个2.25米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约480000千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功．其中480000用科学记数法表示为（ ）
A．48×104 B．4.8×104 C．4.8×105 D．0.48×106
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：480000＝4.8×105，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
【分析】让阴影部分的面积除以总面积得到相应的概率，比较即可．
【解答】解：虽然两圆面积不同，但是阴影部分均占，
故指针指向黑色部分的概率相同．
故选：D．
【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
4．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x”，可得出这箱苹果共（5x+12）个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于x的一元一次不等式组，此题得解．
【解答】解：∵每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x，
∴这箱苹果共（5x+12）个．
∵每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
∴0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，连接AE、AC，则∠CAE的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，由等边三角形的性质得出CD＝DE＝CE，∠CDE＝60°，从而求出∠DAE的度数，于是可求出∠CAE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE＝CE，∠CDE＝60°，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA15°，
∴∠CAE＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握这两个图形的性质是解题的关键．
6．已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．
【解答】解：∵是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a，
∴a1，
解得：a＝1，即a．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
7．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，M是AB的中点，连接DM，MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC＝CD；③MC平分∠DCB；④若DM＝3，CM＝4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝2AD＝2BC，∠A+∠B＝180°，则AD+BC＝CD，故②正确，由等腰三角形的性质可得∠ADM＝∠AMD，∠BMC＝∠BCM，可得∠AMD+∠BMC＝90°，则DM⊥CM，故①正确；由平行线的性质可得∠DCM＝∠BMC＝∠BCM，则MC平分∠DCB，故③正确，由三角形的面积公式可求S ABCD＝12，故④错误，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝2AD，
∴AD＝BC，AB＝2AD＝2BC，∠A+∠B＝180°，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM，
∴AD＝AM＝BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BMC＝∠BCM，AD+BC＝CD，故②正确，
∴∠AMD+∠BMC＝90°，
∴DM⊥CM，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠DCM＝∠BMC，
∴∠DCM＝∠BCM，
∴MC平分∠DCB，故③正确，
∵DM＝3，CM＝4，DM⊥CM，
∴S△DMC＝6，
∴S ABCD＝12，故④错误，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y的图象有交点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．k1k2＜0 B．k1k2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1+k2＞0
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y的图象有公共点，
∴k1、k2同号，
∴k1k2＞0．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
9．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3 B．2，9 C．4，18 D．4，27
【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×2﹣2＝4，方差为：32×3＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握若数据x1，x2，……，xn的平均数是，方差为s2，则新数据ax1+b，ax2+b，……，axn+b的平均数为ab，方差为a2s2．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论，正确的有（ ）个．
①抛物线与x轴一定有两个交点；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
④一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c有一个根x＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断①；根据二次函数的增减性判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的部分对应的x的取值范围判断③；若④成立，则a+b+c＝2，判断现有条件能否得出这一结论即可．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
令y＝0，得ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵a≠c，
∴Δ＝（a﹣c）2＞0，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴一定有两个交点，
故①正确；
∵a﹣b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）点，
∵ax2+bx+c＝0两根之积为，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴若，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵不能比较﹣1与的大小，
∴不能得出结论②，
故②错误；
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的部分对应的x的取值范围为﹣1＜x＜2，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2，
故③正确；
若一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c有一个根x＝1，
则a（1﹣2）2+b＝2﹣c，即a+b+c＝2，
现有条件不得能出a+b+c＝2，
故④错误；
综上可知，正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练应用数形结合思想．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥9 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣9≥0，
∴x≥9．
故答案为：x≥9．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．分解因式：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2．
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；
（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
13．如图，点C、D分别在⊙O的半径OA、OB的延长线上，且OA＝6，AC＝4，CD平行于AB，并与AB相交于MN两点．若tan∠C，则CN的长为 44 ．
【分析】过O作OF⊥CD于F，交AB于E，连接OM，根据解直角三角形和勾股定理求出OE、AE，根据相似得出比例式，求出CF、OF，根据勾股定理求出FM，即可求出答案．
【解答】解：过O作OF⊥CD于F，交AB于E，连接OM，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，∠OAB＝∠C，
∵tan∠C，
∴tan∠OAB，
设OE＝x，AE＝2x，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：62＝x2+（2x）2，
解得：x，
则OE，AE，
∵AB∥CD，
∴△OAE∽△OCF，
∴，
∴，
∴CF＝4，OF＝2
在Rt△OMF中，由勾股定理得：MF4，
∵OF⊥CD，OF过O，
∴NF＝MF＝4，
∴CN＝CF+NF＝44，
故答案为：44．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，题目是一道比较好的题目，但是有一定的难度．
14．定义新运算：，若a （﹣b）＝3，则的值是 ．
【分析】根据，a （﹣b）＝3，可以得到ab和b﹣a的关系，然后将所求式子变形，再计算即可．
【解答】解：∵，a （﹣b）＝3，
∴3，
∴3，
∴3ab＝b﹣a，
∴
，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是 （250250） 米（结果保留根号）．
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，证△PAN是等腰直角三角形，得NA＝PA＝x米，再由锐角三角函数定义得MAx米，然后由MA+NA＝MN，求出x＝250250，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
则∠PAM＝∠PAN＝90°，
设PA＝x米，
由题意可知，∠MPA＝60°，∠NPA＝45°，
∴△PAN是等腰直角三角形，
∴NA＝PA＝x米，
∵tan∠MPAtan60°，
∴MAPAx（米），
∵MA+NA＝MN＝500，
∴x+x＝500，
解得：x＝250250，
即监测点P到限速公路MN的距离是（250250）米，
故答案为：（250250）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的对称轴为直线x＝t，该二次函数图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），若对于1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t的取值范围是 t≥2.5 ．
【分析】a＜0，根据离对称轴越近的点的纵坐标越大，1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，所以|3﹣t|≤|t﹣2|，解不等式，可求t的取值范围．
【解答】解：a＜0，1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，
∴|t﹣3|≤|t﹣2|，
①当t≥3时，
∴t﹣3≤t﹣2，
∴当t≥3时，|t﹣3|≤|t﹣2|，始终有y1＜y2．
②当2≤t＜3时，
∴3﹣t≤t﹣2
∴t≥2.5，
∴当2.5≤t＜3时，|t﹣3|≤|t﹣2|，始终有y1＜y2，
③当t＜2时，
∴3﹣t≤2﹣t，
∴3＜2，
∴|t﹣3|≤|t﹣2|不成立．
所以a＜0，1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t≥2.5．
故答案为：t≥2.5．
【点评】本题考查了二次函数的增减性．关键是掌握a＜0，图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1．
（1）求（﹣2）※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）探索a※（b+c）+1与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
【分析】（1）将x＝2、y＝4代入x*y＝xy+1计算即可；
（2）将x＝14、y＝﹣2代入x*y＝xy+1计算即可；
（3）先计算出a*（b+c）＝ab+ac+1，a*b+a*c＝ab+ac+2，继而得出答案．
【解答】解：（1）（﹣2）※4＝（﹣2）×4+1＝﹣8+1＝﹣7；
（2）（1※4）※（﹣2）
＝（1×4+1）※（﹣2）
＝5※（﹣2）
＝5×（﹣2）+1
＝﹣10+1
＝﹣9；
（3）a*（b+c）+1＝a*b+a*c，
∵a*（b+c）
＝a（b+c）+1
＝ab+ac+1，
a*b+a*c
＝ab+1+ac+1
＝ab+ac+2，
∴a*（b+c）+1＝a*b+a*c．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
18．某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）抽取学生的总人数为 50人 ，并补全频数分布直方图；
（2）如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数；
（3）根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议．
【分析】（1）用8分的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出7分的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）根据统计图，提出建议即可．
【解答】解：（1）抽取学生的总人数为20÷40%＝50（人）；
∴7分的人数为：50﹣4﹣20﹣12﹣6＝8，补全条形图如图：
故答案为：50人；
（2）（人）；
∴根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数为432人；
（3）由统计图可知，8分段的人数最多，建议学校加强初一学生“1000米跑步”的练习，提升学生的成绩（合理即可）．
【点评】本题考查条形图与扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
19．如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m．
（1）求女孩的影子BD的长．
（2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14）
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案．
（2）根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC⊥AD，AO⊥AD，
∴BC∥AO，
∴△BDC∽△ADO，
∴，
∴，
∴BD＝1，
答：女孩的影子BD的长为1米；
（2）∵女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），
∴人影扫过的图形的面积62π﹣52π＝11π．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
20．如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求k与m的值．
（2）当OD＝1时，
①求线段BC的长；
②点P为反比例函数图象上一动点，若△PBC面积为，直接写出P点坐标： 或 ．
【分析】（1）将A（﹣1，4），分别代入，y＝﹣2x+m，计算求解可得k，m，进而可得函数表达式；
（2）①由题意知，B，C的纵坐标为1．将y＝1代入，y＝﹣2x+2，求B，C的横坐标，然后求线段长度即可；②设，则，计算求解，然后作答即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，4）代入得，，
解得，k＝﹣4，
将A（﹣1，4）代入y＝﹣2x+m得，4＝﹣2×（﹣1）+m，
解得，m＝2，
∴反比例函数为，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）①∵BC⊥y于点D，
∴BC∥x轴．
∵OD＝1，
∴B，C的纵坐标为1．
将y＝1代入得，，
解得，x＝﹣4，
∴B（﹣4，1）；
将y＝1代入y＝﹣2x+2得，1＝﹣2x+2，
解得，，
∴，
∴；
②解：设，
∵，
∴，
解得，a＝﹣8或，
∴P点坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
【分析】（1）由AB∥CD，得∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，而DE＝FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD＝AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形；
（2）由BC＝6CE＝12，得CE＝2，由平行四边形的性质得AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，所以AC＝4，由勾股定理求得AB4，则BF＝AB﹣AF＝2．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，
在△ECD和△EAF中，
，
∴△ECD≌△EAF（AAS），
∴CD＝AF，
∵CD∥AF，CD＝AF，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵BC＝6CE＝12，
∴CE＝2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，
∴AC＝2AE＝4，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∴AB4，
∴BF＝AB﹣AF＝422，
∴BF的长是2．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ECD≌△EAF是解题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣2≤x1≤t+1，x2＝1﹣t，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣2≤x1≤t+1，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y1的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2，
∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7；
②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，
∵对于x1，x2，都有y1＜y2，
∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，
∴或，
Ⅰ、当时，
∵x2﹣x1＞0，
∴x2＞x1，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴1﹣t≥t+1，
∴t≤0，
∵x2+x2t＞0，
∴x2+x1＞2t，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴﹣1＜x2+x1＜2，
∴2t≤﹣1，
∴t，
即t；
Ⅱ、当时，
由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴1﹣t≤t﹣2，
∴t，
由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴﹣1＜x2+x1＜2，
∴2t≥2，
∴t≥1，
即t；
即满足条件的t的取值范围为t或t．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23．在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究．
【特例分析】
（1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值为 1 ，∠MCN的度数为 60° ；
【变形探究】
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，求得∠BAM＝120°，根据旋转的性质得到MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，推出△BMN是等边三角形，得到BM＝BN，∠MBN＝60°，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，求得∠BAM＝90°，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝90°，求得∠MBN＝∠MNB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠MAB＝∠BCN，；求得∠MCN＝45°；
（3）过A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BHAB＝4，求得BC＝8，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝120°，求得∠MBN＝∠MNB＝30°，根据相似三角形的性质得到，∠BAM＝∠BCN＝60°，过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，设AMx，CN＝3x，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAM＝120°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MCN＝120°﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°；
∴1，
故答案为：1，60°；
（2）变化，，∠MCN＝45°；
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAM＝90°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝90°，
∴∠MBN＝∠MNB＝45°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵，
∴△ABM∽△CBN，
∴∠MAB＝∠BCN，；
∴∠MCN＝45°；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BHAB＝4，
∴BC＝8，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝120°，
∴∠MBN＝∠MNB＝30°，
∵BM＝7，
同理得BN＝7，
∴∠MBN＝∠ABC∠BMN＝∠BAC，
∴∠MBA＝∠CBN，
∴△MBN∽△ABC，
∴，
∴△ABM∽△CBN，
∴，∠BAM＝∠BCN＝60°，
过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，
设AMx，CN＝3x，
∵∠MAB＝60°，
∴AFx，FMAMxx，
∴BF＝8x，
∵BF2+FM2＝BM2，
∴（8x）2+（x）2＝72，
解得x或x，
∴CN＝3或5，
∵∠ACB＝30°，∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝30°，
当CN＝3时，EN，
当CN＝5时，EN，
∴点N到AC的距离为或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，直径AD交BC于点E，且AC＝CE．
（1）如图1，求证：∠ACB＝2∠ABC；
（2）如图2，过点A作AF⊥CE于点F，求证：BE＝2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在OD上截取OG＝OE，连接CG，点H在上，连接GH，其中∠CGH＝∠AGC，当BE＝3EF，且DG＝4时，求线段GH的长．
【分析】（1）连接DC，OC，证明△OAC∽△CAE，∠ACE＝∠AOC，∠AOC＝2∠ABC，即∠ACB＝2∠ABC；
（2）在FB上截取FM＝FC，由∠ACB＝2∠B，得∠AMC＝2∠B，AM＝BM＝AC，证明BE＝CM，即可证明出结论；
（3）作ON⊥BC于N，作CR⊥AE于R，连接OH，证明△CRG为等腰直角三角形，得出∠CGR＝45°，∠AGH＝90°，再利用勾股定理求出GH即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接DC，OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴△OAC∽△CAE，
∴∠ACE＝∠AOC，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOC＝2∠ODC，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∴∠ACB＝2∠ABC；
（2）证明：如图2，在FB上截取FM＝FC，
∵AF⊥BC，
∴AM＝AC，
∴∠AMC＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AMC＝2∠B，
∵∠AMB＝∠B+BAM，
∴∠B＝∠BAM，
∴AM＝BM，
∴BM＝AC，
∵CA＝CE，
∴AM＝CE，
∴BM+ME＝CE+ME，即BE＝CM，
∵CM＝2CF，
∴BE＝2CF；
（3）解：如图，作ON⊥BC于N，作CR⊥AE于R，连接OH，
设CF＝3x，则BE＝6x，
∵BE＝3EF，
∴EF＝2x，
∴CE＝5x，
∴BC＝11x，
∴CA＝CE＝5x，
∴AF4x，
∴AN2x，
∵CR⊥AE，
∴ER＝ARx，
∵ON⊥BC，
∴NC＝NBx，
∴NEx，
∵ON∥AF，
∴△AEF∽△ONE，
∴EF：AF＝NE：ON，
∴ON＝x，
∴OEx＝OG，
∴RG＝2x，
由△AEC的等面积得EC AF＝AE CR，
∴CR＝2x，
∴CR＝RG，
∴△CRG为等腰直角三角形，
∴∠CGR＝45°，
∵∠CGH＝∠AGC，
∴∠AGH＝90°，
∵OA＝OD，OE＝OG，
∴AE＝DG＝4，
即2x＝4，
∴x，
∴OG＝OEx＝1，
∴OA＝5＝OH，
∴GH2．
【点评】本题考查了圆的综合，掌握圆的相关概念、三角形相似、勾股定理等知识点的应用及正确的辅助线是本题的解题关键．
