2025高考数学考二轮复习章节综合-第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模块综合调研卷）（含解析）

2025高考数学考二轮复习章节综合
第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
5．已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
8．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，且，则（ ）
A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1
C．的最小值为4 D．的最小值为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．， ，则 .
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
14．函数的最小值 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知（其中i为虚数单位）.
(1)若为纯虚数，求实数a的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围.
17．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
18．已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集
参考答案与详细解析
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求，再根据补集定义即可求解结论．
【详解】集合，，，
，
故选：D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“”的否定为“”.
故选：B.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D.
【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为，所以，故D错误.
故选：B.
4．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，
则复数的共轭复数.
故选：A.
5．已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】当时，且，所以成立，
当时，得或，即不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
7．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
【答案】D
【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.
故选：D.
8．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13.
【答案】B
【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论．
【详解】，，集合无公共元素，
选项A中，集合为空集，没有真子集，A错；
选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确；
选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错；
选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错．
故选：B．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，得到，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.
【详解】由不等式，可得且，即，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设复数在复平面内对应的向量为，依题意可得四边形为菱形，且，即可求出、，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，
则复数在复平面内对应的向量为，且，
，，
所以四边形为菱形，且，
又，与轴正半轴所成的角为，
所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，
所以，则，所以，故B正确；
因为，所以，故A错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
11．已知，且，则（ ）
A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】AB
【分析】利用基本不等式的知识，结合特殊值法进行排除即可得到正确答案.
【详解】由于，所以，即，解得，即，故A和B均正确，
令，满足题干的式子，但是，故C错误，
将变形可得，所以，
当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AB.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．， ，则 .
【答案】
【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得.
【详解】若，则，解得，
所以；
若，则，解得，
所以；
所以.
故答案为：.
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.
【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
14．函数的最小值 ．
【答案】/
【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.
【详解】由，
故
，
由，故、，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【详解】（1）∵是的必要不充分条件，
∴是A的真子集.
①当时，，
②当时，∴，解得.
∴实数的取值范围为.
（2）由，
则①当时，，
②当时，可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
16．已知（其中i为虚数单位）.
(1)若为纯虚数，求实数a的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用纯虚数的概念结合复数的运算得到求解a的值；
（2）利用复数的模的概念得到求实数a的取值范围.
【详解】（1）由，可得，
因为为纯虚数，所以，解得；
（2）因为，所以，
由，可得，，解得，，
故实数a的取值范围为
17．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则转化对于，即可.
（2）若为真命题，即，不等式成立，则转化为对于，即可.
【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，
则对于，即可.
由于,，则
（2）若为真命题，即，不等式成立，
则对于，即可.
由于，，，解得
p、q有且只有一个是真命题，则或，
解得.
18．已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；
（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为，所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因为，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．
解法二：因为，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
当且仅当时等号成立．
19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性
(2)1
(3)，，，或．
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知b无解，
故．
综上，．
（3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
①当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得．
综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，
分别是，，，
或．
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成