四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题（含答案）

1
绵阳中学2024级高一上期选拔测试（数学）
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 设，则对任意实数，“”是“”的（）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知函数，则的图象可能是（）
A. B.
C. D.
4. 设集合，且，函数（且），则（）
A. 为增函数 B. 为减函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（）
A. B. C. D.
8. 存在函数满足对于任意都有（）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 下列说法正确的有（）
A. 的最小值为2 B. 最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为2
10. ，则（）
A.
B.
C.
D.
11. 已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（）
A. 若周期为2，则为奇函数 B. 为奇函数
C. 若周期为4，则为偶函数 D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卷中的横线上.
12. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______.
13. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_________．
14. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C.
（1）求；
（2）若，则实数a的取值范围.
16. 已知
（1）化简；
（2）若，求的值：
（3）若为第三象限角，且，求的值.
17. 已知函数是定义在上奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式对恒成立，求实数得取值范围.
18. 已知函数，为常数.
（1）证明：的图象关于直线对称.
（2）设上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
19. 已知函数，函数
（1）证明函数的奇偶性，并求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明；
（3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围.
绵阳中学2024级高一上期选拔测试（数学）
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卷中的横线上.
12.【答案】
13.【答案】
14. 【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解】
【分析】（1）根据根式的意义求集合A，根据求集合B，进而求并集；
（2）分、和三种情况解不等式求集合C，再结合即可得结果.
【小问1详解】
因为，解得或，即；
又因为，当且仅当时，等号成立，则，
可得，即；
所以.
【小问2详解】
对于不等式，令，可得或，
当时，则，可知不成立，不合题意；
当时，则，可知不成立，不合题意；
当时，则，若，则；
综上所述：实数a的取值范围为.
16.
【解】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解；
（2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
所以.
【小问3详解】
因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以.
17.
【解】
【分析】（1）根据奇函数性质求参数值；
（2）根据已知可得，应用单调性定义判断单调性，再由单调性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求参数范围.
【小问1详解】
因为为奇函数，
所以，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，又，所以.
任取且，
则，
所以，，故，
则为上的减函数.
所以恒成立等价于恒成立，
令，则，因为，所以，
所以，解得或，
所以的取值范围为或.
18.
【解】
【分析】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明；
（2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明.
【小问1详解】
因为
，
因为，
所以图象关于直线对称.
【小问2详解】
（ⅰ）令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递减，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，解得，
即的取值范围为.
（ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
因为，
所以，所以，
由于，，所以，
则，即，
又在上单调递减，所以，即.
19.
【解】
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解.
【小问1详解】
由于函数的定义域为且，关于原点对称；
又，故为奇函数；
则；
【小问2详解】
函数在上单调递减，证明如下：
当时，，
设
由于且，
故，则，
因此，
故函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为，且在上单调递减，为单调递增函数，
所以在上单调递减，
所以在上的值域为，
，即
整理得：
即在内有两不等实根，
令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根，
整理得：，令，则，
故题设等价于函数与在有两个不同的交点，
由对勾函数性质知函数上递减，在上递增，且时，，如图，
所以函数在上值域为.
，即.