(共66张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
2025
领航高考风向标
通览主干知识
1.同角三角函数的基本关系、诱导公式
2.三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.三角函数的图象与性质
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的三大性质
求单调区间时,必须保证ω>0
微点拨 其他两类函数的三大性质类似,代入公式可解,注意公式的不同之处.对y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,不能为偶函数.
5.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
(3)辅助角公式
(4)降幂公式与升幂公式
6.正弦定理、余弦定理、面积公式
(1)正弦定理、余弦定理
(2)三角形面积公式
链高考1.(2023全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α +cos β=0,故乙不一定成立.若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
微点拨 各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
链高考2.(2024北京,12)已知α∈ ,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为 .
微点拨 无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看“ωx+φ”的变化.
D
链高考4.(2024新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x- )的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
链高考5.(多选题)(2024新高考Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin
下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
A
链高考7.(2024北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min= ,则ω=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
B
链高考9.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,
即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
链高考10.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β= +1,则sin(α+β)= .
链高考11.(2024全国甲,文13)函数f(x)=sin x- cos x在[0,π]上的最大值是 .
2
链高考12.(2024全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2= ac,则sin A+sin C=( )
C
链高考13.(2023北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=( )
B
解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,
考点一 三角函数图象的变换
例1(1)(多选题)(2024河北石家庄模拟)要得到函数y=sin(2x+ )的图象,可将函数y=sin x的图象( )
A.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
2倍
B.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
BC
A.1 B.2 C.3 D.4
C
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
(3)(2024湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移 个单位长度,再横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得的图象与y=sin x图象重合,则( )
A
D
A
考点二 三角函数的图象与解析式
D
(2)(2024天津一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
B
[对点训练2](1)(2024内蒙古呼和浩特一模)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,
-π<φ<π)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A
C
考点三 三角函数的性质
D
B
[对点训练3](1)(2024北京西城一模)关于函数f(x)=sin x+cos 2x,给出下列三个命题:
①f(x)是周期函数;
②曲线y=f(x)关于直线x= 对称;
③f(x)在区间[0,2π)上恰有3个零点.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
解析 对于①,因为f(x)=sin x+cos 2x,所以f(x+2π)=sin(x+2π)+cos 2(x+2π) =sin x+cos 2x=f(x),故T=2π,所以①正确;
对于②,因为f(π-x)=sin(π-x)+cos 2(π-x)=sin x+cos 2x=f(x),
ABC
本 课 结 束(共32张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
2025
考点一 三角恒等变换
B
A
B
A
解析 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β =cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
D
考点二 正弦、余弦定理及其应用(多考向探究预测)
考向1正弦、余弦定理与面积公式
例2(1)(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且C= ,则B=( )
C
(1)解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C.
C
考向2解三角形中的最值与范围问题
例3(1)(2024黑龙江二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则 的取值范围为( )
B
解析 因为c-b=2bcos A,则由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,
则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B).
A
(3)(2024河南开封期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
2asin A-bsin B=3csin C,若S表示△ABC的面积,则 的最大值为( )
D
[对点训练2](1)(2024安徽合肥模拟)已知△ABC角A,B,C的对边分别为a,b,c满足 ,则角B的最大值为( )
A
AB
ABC
考点三 解三角形的实际应用
例4 (2024湖南岳阳二模)如图,小明为了测量某高楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶
A的仰角为30°,则楼高AB为 米.
[对点训练3]
(2024北京海淀模拟)一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一直线上,并与航线成30°角.
轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东15°方向,则此时轮船到灯塔B之间的距离CB为 米.
本 课 结 束
