2024-2025学年上海市西中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

市西中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题共12题，1—6每题4分，7—12每题5分，共54分）
1．已知，，则________．
2．设复数，则________．
3．不等式的解集为________．
4．已知，则________．
5．在中，，，，则的外接圆半径为________．
6．已知是定义在上的偶函数．且在上单调递增，则满足的实数的范围是________．
7．若各项均为正数的等比数列中，，则，则________．
8．设，，，则下列不等式恒成立的有________．（填不等式序号）
①，②，③
9．在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为________．
10．如图，矩形中，为的中点，，，连接、，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为________．
11．已知圆：，圆：，点，分别是圆、圆上的动点，点为上的动点．则的最小值是________．
12．已知点为曲线上的动点，为坐标原点，当最小时，直线恰好与曲线相切，则实数________．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13．已知函数（，）恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．作圆：上一点处的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
15．下列命题中，错误的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
D．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线
16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数．②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．已知（）
（1）函数的最小正周期是，求，并求此时的解集．
（2）已知，，求函数，的值域．
18．如图，直三棱柱中，，，分别是、的中点．
（1）证明；
（2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．
19．在一次人才招聘会上，有、两家公司分别开出它们的工资标准：公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元，公司允诸第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被、两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人 选择哪家公司，为什么？
（3）在公司工作比在公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由．
20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的面积等于，且椭圆的焦距为点，分别为轴，轴上的定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；
（3）直线与椭圆交于不同的两点、，已知关于轴的对称点为、点关于原点的对称点为，已知、、三点共线，求证：直线过定点．
21．已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.①③； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知圆：，圆：，点，分别是圆、圆上的动点，点为上的动点．则的最小值是________．
【答案】
【解析】如图
,如图作出关于的对称点,
则为,又为,,
当且仅当三点共线时取得等号,
的最小值是.
12．已知点为曲线上的动点，为坐标原点，当最小时，直线恰好与曲线相切，则实数________．
【答案】
【解析】设为曲线上的动点,当最小时，
所在直线与过点的切线垂直，即,可得,
令,该函数在上为增函数,且,,
则所在直线方程为,设与曲线相切于,
则,又,联立解得..故答案为:.
二、选择题
13.C； 14.A； 15.D； 16.D
15.下列命题中，错误的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
D．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线
【答案】D
【解析】由直线与平面相交的性质,知一条直线与两个平行平面中的一个相交，
则必与另一个平面相交，故正确;
由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故正确;
由直线与平面垂直的性质定理,知如果平面不垂直平面,
那么平面内一定不存在直线垂直于平面,故正确;
若直线不平行平面,则当时,在平面内存在与1平行的直线，故不正确.
故选D.
16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数．②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】
【解析】①不成立.可举反例:
②，
前两式作差可得,结合第三式可得：，同理可得：，因此②正确.故选:.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）； （2）A公司
（3）827元
20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的面积等于，且椭圆的焦距为点，分别为轴，轴上的定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；
（3）直线与椭圆交于不同的两点、，已知关于轴的对称点为、点关于原点的对称点为，已知、、三点共线，求证：直线过定点．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由题意知，椭圆的面积知,得,又,
解得，所以椭圆的方程为;
(2)由题意得,直线方程为,
即,设（为参数），
则点到直线的距离为,当,
即,即时,取得最小值,且最小值为,
所以的面积的最小值为此时.
(3)设直线
则,三点共线,得
,直线与椭圆交于两点,
则,
得,，代入中，
当,直线方程为,则重合，不符合题意;
当时,直线,所以直线恒过定点.
21．已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证．
【答案】（1）有极小值,无极大值. （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）函数，当时,,当时,单调递减，当时,单调递增,
故有极小值,无极大值.
(2)由,得,当时,
,,,且为增函数,
时,在单调递增;
时,在单调递减；
当时，在单调递减,
综上,当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递减.
(3)证明:当时,函数是"恒切函数",
且设函数与直线切点,),
,,,,是方程的根,
设，则,
当时,单调递减;当时,单调递增;
,是方程的根，
或,或,故.