2024-2025学年上海敬业中学高二上学期数学月考试卷 2024.12）（含答案）

敬业中学2024学年第一学期高二年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题满分36分）
1.若正四棱柱的底面边长为3,侧棱长为4,则此正四棱柱的体积为___________.
2.已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,且直线与平面平行，则实数_________.
3.已知数列的前项和.则数列_________.
4.若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1,则球的表面积为_________.
5.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有种_________。
6.若将一颗质地均匀的骰子，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为6的概率是.
7.二项展开式中的常数项为_________.
8.若正四棱柱的底面边长为，体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_________.
9.已知事件互斥,它们都不发生的概率为,且,则_________.
10.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为_________.
11.如图所示为一个半圆柱,已知为半圆弧上一点,若,,直线与所成角的正切值为,则点到平面的距离是_________.
12.已知正方体的棱棱为分别为棱的中点,为体对对线所在直线上一动点,则绕直线旋转转成的几何体体积的最值为_________.
二、选择题（本大题满分12分）
13.6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种
A.240种 B.360种 C.480种 D.540种
14.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为"等腰四棱锥"，四条侧棱称为它的腰。以下4个命题中，假命题的是（ ）
A.等腰四棱锥的腰与底面所成的对都相等
B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的为面对都相等或互补
C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
15.若一个三棱锥中,有一条棱棱为,其余棱棱均为1,则其体积取得最大值时的值为( )
A.3 B. C. D.1
16.已知数列,若存在数列满足对任意正整数,都有,则称数列是的交错数列.有下列两个命题：(1)对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；(2)对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列。下列结论正确的是（ ）
A.(1)与(2)都是真命题; B.(1)为真命题，(2)为假命题;
C.(1)为假命题，(2)为真命题; D.(1)与(2)都是假命题。
三、解答题（本大题满分52分）
17.(本题满分8分)本题共2个小题,第1小题满分4分，第2小题满分4分.
连续抛掷3枚硬币，观察朝上的内。
(1)写出这这随机试验的样本空间;
(2)写出"恰有两枚正内向上"这这事件相应的样本空间的子集并求出这这事件的概率.
18.(本题满分8分)本题共2个小题,第1小题满分4分，第2小题满分4分.
已知等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，公比为2，且。
(1)求数列与的通项公式；
(2)设数列满足,求数列的前项和.
19.(本题满分10分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分.
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为
上一点,.
(1)证明：平面平面;
(2)设,圆锥的侧面积为,求三棱锥的体积.
20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知数列,对于任意的，都有，则称数列为"凹数列"。
(1)已知数列的前项和分别为,且,试判断数列,数列是否为"凹数列"，并说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为"凹数列"，求的取值范围.
21.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分.
如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形.
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点,使与平面成角 若存在,确定的位置;若不存在，请说明理由。
参考答案
一、填空题（本大题满分48分）
1.若正四棱柱的底面边长为3,侧棱长为4,则此正四棱柱的体积为_________.
【答案】36
2.已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,且直线与平面平行，则实数_________.
【答案】2
3.已知数列的前项和.则数列的通项公式为_________.
【答案】
4.若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1,则球的表面积为_________.
【答案】
5.现有高一学生9人,高二学生12人,高三学生7人,自发组织参加数学课外活动小组,从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有种_________.
【答案】255
6.若将一颗质地均匀的骰子,先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是_________.
【答案】
7.二项展开式中的常数项为_________.
【答案】5005
8.若正四棱柱的底面边长为,体积为,则它的侧面与底面所成的二面角的
大小_________.
【答案】
9.已知事件互斥,它们都不发生的概率为,且,则_________.
【答案】
10.已知公差不为0的等差数列的前项和为,若,若有最最值,则最最值为_________.
【解析】-12
11.如图所示为一个半圆柱,已知为半圆弧上一点,若,,直线与所成成的正切值为,则点到平面的距离是_________.
【答案】
12.已知正方体的棱棱为分别为棱的中点,为体对成线所在直线上一动点,则绕直线旋转所成的几何体体积的最最值为______.
【答案】
二、选择题（本大题满分16分）
13.6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种
A.240种 B.360种 C.480种 D.540种
【答案】A
14.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为"等腰四棱锥"，四条侧棱称为它的腰.以下4
个命题中，假命题的是（ ）
A.等腰四棱它的腰与底面所成的棱都相等
B.等腰四棱它的侧面与底面所成的二面棱都相等或互补
C.等腰四棱它的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱它的各顶点必在同一球面上
【答案】B
15.若一个三棱它中,有一条棱棱为，其余棱棱均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ）
A.3 B. C. D.1
【答案】B
16.已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列。有下列两个命题：(1)对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；(2)对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列。下列结论正确的是（ ）
A.(1)与(2)都是真命题; B.(1)为真命题，(2)为假命题;
C.(1)为假命题，(2)为真命题; D.(1)与(2)都是假命题.
【解析】对于(1)：因为数列均为等差数列，
设,则,
若,可知当时,恒成立，不满的交错数列;
若，可知的符号不变，不满的交错数列;
若,可知当时,恒成立,不满的交错数列;
综上所述：对任意等差数列均不是的交错数列，故(1)正确;
对于(2):因为数列为等比数列，设，等比数列的公比为
不妨假设，此时等比数列的公比为
当为奇数,则;当为偶数，则;
满足是的交错数列，若等比数列的公比为，根据对称结构，
上述结论依然成立，同理若，根据对称结构，上述结论依然成立；
综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，
使得是的交错数列，故(2)正确；故选：A.
三、解答题（本大题满分56分）
17.(本题满分8分)本题共2个小题,第1小题满分4分，第2小题满分4分.
连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面。
(1)写出这一随机试验的样本空间;
(2)写出"恰有两枚正内向上"这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率.
【解析】（1）解表示正内与反内，则抛掷3枚硬币的样本空间
（2）由（1）可知"恰有两枚正内向上"这一事件相应的样本空间的子集为
18.（本题满分8分）已知等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，公比为2,且。
(1)求数列与的通项公式；
(2)设数列满足,求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为,所以,
所以;因为,所以
（2）结合（1）可得：
19.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点,.
(1)证明:平面平面;
(2)设,圆锥的侧面积为,求三棱锥的体积.
【解析】(1)连接为圆锥顶点,为底面圆心,平面,
在平,,是圆内接正三角形,
,,
即平面分平面
平面平面
(2)设圆锥的母线为,底面半径为,圆锥的侧面积为,，解得，在等腰直角三角形中,
在中,
三棱锥的体积为
20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知数列，对于任意的，都有，则称数列为"凹数列"。
（1）已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为"凹数列"，并说明理由;
（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为"凹数列"，求的取值范围.
【解析】（1）由于为等差数列，
所以为等比数列，，任意的，都有,故,
所以数列是为"凹数列",任意的,都有,故，
所以数列不是为""数列"，
(2)因为等差数列的公差为,所以
因为数列是凹数列，所以对任意恒成立，
即，
所以,即
因为解得.所以的取值范围为
21.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分.
如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形.
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点,使与平面成角？若存在,确定的位置;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明:取中点,连接,如图所示:是正三角形,
为中点,,为中点,,
平面平面,平面,得证.
(2)作交于点，连接;因为与全等;所以.
所以为二面角所对应的平面角；
因为是全等的直角三角形,,所以
又因为,所以
所以二面角的大小为
(3)由(1)知平面,平面平面平面,
,以为原点,方向为轴,方向为轴,
过作垂直于平面的线为轴建立如图所示直角坐标系。
是线段上一点，设，因为
所以，又因为
令,则
由(2)可知,平面的法向量为与平面成角,
解得,又因为,所以
所以当时,与平面成角