2024-2025学年上海浦外附中高三上学期数学月考试卷 （2024.12）（含答案）

浦外附中2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．设全集，若集合，则________．
2．若幂函数的图像经过，则此幂函数的表达式为________．
3．不等式的解集为________．
4．已知是上的奇函数，则的值为________．
5．已知空间向量，，，若，则________．
6．已知，的二项展开式中各项系数和为729，则展开式中项的系数
是________．
7．已知圆锥的侧面积为，且侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为________．
8．袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成________个不同的四位数（用数字回答）．
9．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则________．
10．，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率是________．
11．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为________．
12．已知函数的图像是以直线交于点、，其中，与直线交于两点、，其中，则的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知抛物线，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，则线段的长为（ ）
A． B． C．40 D．20
15．如图所示，是正方体的面对角线上的动点，下列与始终异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
16．已知，集合，，．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于．
A．①为真命题；②为假命题 B．①为假命题；②为真命题
C．①为真命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求与平面所成的角的大小．
18．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若为在方向上的投影向量，且满足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100们顾客的相关数据，如下表所示
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） 30 25 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客点55%．
（1）确定，的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，覅用户第二类人群中应抽取的人数；
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、．
（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；
（2）已知，，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求的坐标；
（3）已知，，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于、两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由．
21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数“相关点”．
（1）若函数存在“相关点”，求的值；
（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值；
（3）设函数的表达式为（常数、、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为,由,得到,
所以或
所以)
又因为存在实数,使函数在上有且仅有2个零点，
所以且,
即且,解得.故答案为:.
12.已知函数的图像是以直线交于点、，其中，与直线交于两点、，其中，则的最小值为________．
【答案】
【解析】当时,,则,所以在上递增,
当时,,则,所以在上递增,
因为函数的图像与直线交于点,
所以,即,所以,即,
所以,同理,
所以
，当且仅当,即时等号成立，
所以的最小值为,故答案为:.
二、选择题
13.A； 14.D； 15.B； 16.A
15．如图所示，是正方体的面对角线上的动点，下列与始终异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于,当是的中点时,与是相交直线;
对于,根据异面直线的定义知，与是异面直线;
对于,当点与重合时,与是平行直线;
对于,当点与重合时,与是相交直线.故选:.
16．已知，集合，，．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于．
A．①为真命题；②为假命题 B．①为假命题；②为真命题
C．①为真命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题
【答案】
【解析】对于①,,集合,
显然该函数为奇函数，所以都是奇函数，
则曲线必关于对称，
即集合表示的平面图形是中心对称图形，①正确;对于②,如图:
阴影部分是由与围成的正方形的一半，故面积为，②错误。故选:.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）1.9分钟 （2）11
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、．
（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；
（2）已知，，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求的坐标；
（3）已知，，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于、两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】(1)由题意可得:,.
(2),椭圆的方程为:点是椭圆上一点,
且位于轴的上方,若，则.若,设,
则,,
联立解得,.
若,设,根据对称性可得.
综上可得点的坐标为.
(3),椭圆的方程为,,
把代入椭圆方程可得，解得.
设直线的方程为:,,设,
联立,化为,,
,假设存在定直线,
使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列,
则,,
代入化为:,
而，
解得.因此存在定直线,使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列.
21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数“相关点”．
（1）若函数存在“相关点”，求的值；
（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值；
（3）设函数的表达式为（常数、、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）1 （3）
【解析】（1）因为在处取得极值（最值）,
由，解得。
(2)记,在处取得极值且,
由得,所以且,所以,
由,得,设，
所以,所以函数在区间上严格单调递增,又,
所以方程有唯一实数根,即,解得,
当时，，,
令，得或(舍去),
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,满足题意，综上所述，的值为1.
(3)由得,所以,
设为函数的"2相关点",
则且,,.
则且,所以且,
解得,由,
设切点为,则切线的斜率,
所以切线方程为,
将点代入整理,设，
则函数在上有三个不同的零点,,
令得或，所以在上单调递减,
在上单调递增,在上单调递减,
,
所以在区间)和上都没有零点，在上恰有一个零点，所以区间和各有一个零点，所以,所以,
所以的取值范围为.