2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省老窖天府中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知、、、均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若且，则
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中单位：万辆为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值若该市年底的新能源汽车保有量是万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为万辆，那么年底该市新能源汽车的保有量约为结果四舍五入保留整数，参考数据：，
A. 万辆 B. 万辆 C. 万辆 D. 万辆
8.若函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于幂函数说法正确的是( )
A. 图像必过点 B. 可能是非奇非偶函数
C. 都是单调函数 D. 图像不会位于第四象限
10.若，，且，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最小值
11.定义域为的函数满足，，且时，，则( )
A. 为奇函数 B. 在单调递增
C. D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则 ______．
13.“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为______．
14.已知函数的定义域为，对任意实数，，都有，且当时，若，对任意，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的方程有实根，集合．
求的取值集合；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
解关于的不等式；
若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围；
若对任意的，恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示求函数的解析式；
将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
18.本小题分
在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量单位：百万个与培养时间单位：小时的组数据如下表所示．
当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式；
若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过时，称该函数模型为“理想函数模型”已知当培养时间为小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为百万个，你认为中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由参考数据：
请用中的“理想函数模型”估计小时后，该类细菌在培养皿中的数量．
19.本小题分
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”．
判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值；
若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：方程有实根，
若，该方程无解；
若，则，解得或，
综上，，．
若，则，
当时，，符合题意；
当时，，
，或，，
综上，的取值范围是．
16.解：由整理得，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
方程有两个小于的不等实根，
所以，解得，
故的取值范围为．
对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
时，不等式为恒成立，此时；
当时，，
因为，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
综上，的范围为．
17.解：由图可知，，
因为，
所以，，
又，
所以，，
解得 ，，
又因为，所以，，
所以；
将向右平移个单位，
得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，
即实数的取值范围为；
由对称性可知，
所以，
即有，所以，
所以．
18.解：当时，，
由图表数据可得，，，
联立上式，解方程可得，，，
则；
当时，，
由图表数据可得，，，
联立上式，解方程可得，，，
则；
考虑，由，可得，而，
可得模型是“理想函数模型”；
考虑，由，可得，
而，所以模型不是“理想函数模型”；
由可得时，百万个．
19.解：不是，理由如下：
取，则，
由，可得，
此时无解，
所以不是区间上的“阶自伴函数”；
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
又因为在上单调递减，
当时，，当时，，
因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且，
所以，
所以，即，
解得；
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
因为，所以，
所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的，
又，开口向上，对称轴，且，，
当时，在上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
综上所述，的取值范围为．
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