2024-2025学年黑龙江省牡丹江市地区共同体高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江市地区共同体高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是( )
A. B. C. D.
3.若，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点，，则下列命题中，正确的命题是( )
A.
B. 的最大面积为
C. 存在点，使得
D. 的周长最大值是
11.已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. 当为奇数时， D. 当为偶数时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为给出下列结论：
；
是奇数；
；
．
则所有正确结论的序号是______．
14.已知，是椭圆：上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知是抛物线：的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
求的方程；
过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为为坐标原点，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为和的等边三角形，平面，设平面平面，点，分别在直线和直线上，且满足，．
证明：平面；
若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积．
18.本小题分
在数列中，已知，．
证明：数列为等比数列；
记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；
是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
求的标准方程；
证明：；
若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
参考答案
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15.解：因为数列满足，且，
当时，可得，
即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为．
由于，且，
则，
即，
设，
则，
两式相减得：，
所以，
所以．
16.解：因为轴，，
所以，
此时，
解得，
则的方程为；
由知，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为，
由韦达定理得，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
解得，
故直线的方程为或．
17.解：证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
因为，所以，又，，，平面，
所以平面；
取中点，连接，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，
，
所以，
由，得，
由知，所以，
解得，所以三棱台的体积．
18.证明：数列中，已知，．
所以，
整理得，
故，
所以数列为等比数列；
解：由得：，
所以，
所以，
故．
令，
则，
解得，
所以的最小正值为．
解：假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
整理得，
由于，
得到，，
所以为奇数，而和均为偶数，
故式不能成立，、
即不存在正整数、、且，使得，，成等差数列．
19.解：设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比，
所以，整理得，
所以的标准方程为．
由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为且不为，
直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点和点在曲线上，故，
所以，
同理可得，所以；
直线斜率存在时，则可设方程为，、，
联立，
则，即，，
所以
，
同理，所以，
综上，．
由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于或小于，
且曲线的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设、，
则，
，
故，
因为是中点，所以即，
同理可得，
所以到两渐近线的距离分别为，
，
到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为．
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