2024-2025学年新疆乌鲁木齐四十一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆乌鲁木齐四十一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆：相切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：与圆：恰有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
7.已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，为上一点，，当的周长最小时，的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点不含端点，，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则( )
A. 若，则平面
B.
C. 若且平面过点，则的最小值为
D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为
10.若一个以为圆心，为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A. 直线与圆相切
B. 圆关于直线对称
C. 对，直线与圆都相交
D. 为圆上任意一点，则的最大值为
11.已知点，，动点与，两点连线的斜率分别为，且为常数，下列结论正确的有( )
A. 若，则动点一定在椭圆上
B. 若，则动点一定在双曲线上，且双曲线的焦点在轴
C. 若，则的取值范围是
D. 若，为坐标原点，且直线上存在点使得，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，且，，共面，则______
13.设，若三个不同的点、、都在直线上，则的值为______．
14.将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知等腰梯形，，，，，分别为，的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足．
证明：平面；
设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由．
16.本小题分
在三棱柱中，已知底面正三角形边长为，三棱柱的高为．
建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
设中点为点，中点为点，求出、；
求出．
17.本小题分
若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆．
若圆：是集合的包络圆．
求，满足的关系式；
若，求的取值范围；
若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知的周长为定值，、、，的最大值为．
求动点的轨迹的方程；
为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
19.本小题分
椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图，在椭圆上有一点，、分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线、与的夹角大小相等．
求证：的方程为：；
如图：在的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于、两点，过、分别作的切线交于．
求证：
参考答案
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15.证明：取的靠近点的三等分点，连接，，
因为，即点是的靠近点的三等分点，
所以，，
而，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：在等腰梯形中，因为，分别为，的中点，
所以，，
翻折后，，，
所以就是二面角的平面角，即，
又，、平面，所以平面，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，所以，，
设，
因为，所以，
解得，，即，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，，解得舍负，
故存在，使得与平面所成角的正弦值为，此时．
16.解：以的中点为原点，以为单位长度，建立空间直角坐标系，如下图，由题意知，，
则，，，，，；
设中点为点，中点为点，由题意知，，故；
由题意得：，所以．
17.解：因为圆：是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为，整理得：
即，化简得，
即，满足的关系式为；
由及，
可得圆与直线有公共点，
所以，解得，
所以的取值范围是；
设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即，为与无关的定值，
所以，，故C，此时，
所以的方程为，
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，
设，，
则，
所以，
解得或，
所以，或，．
18.解：设，，
易知，
即，且，
此时，
解则，
由余弦定理得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
所以当取最大值时，取最小值，
所以，
解得，
此时，
则曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，
则动点的轨迹的方程为；
易知，
设直线的方程为，，、，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
即，
所以，
线段的中点为，，
所以线段的中垂线方程为，
同理得线段的中垂线方程为，
因为，两点均在直线上，
所以，，
联立，
解得，
所以，
要求的最大值，
需考虑，
此时，
当且仅当时，即当时，等号成立．
则的最大值为．
19.证明：当切线斜率存在时，
设直线与相切于点，
联立，消去并整理得，
此时，
整理得；
因为点在直线上，
所以，
即，
可得，
整理得，
因为点在椭圆上，
所以，
因为，
所以，
即，
解得．
则切线方程为，
即；
经检验，切线斜率不存在时也符合上式，
故椭圆上在点处的切线方程为；
因为，
所以双曲线，
则双曲线的方程为，
设、，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
则；
(ⅱ)联立，
解得，
因为，
所以，
此时，，，
所以，
由光学性质得到直线、与的夹角大小相等，
所以，
因为，
所以∽
故．
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