2024-2025学年上海市静安区华东模范中学高一(上)期末数学试卷(含答案)

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名称 2024-2025学年上海市静安区华东模范中学高一(上)期末数学试卷(含答案)
格式 docx
文件大小 53.6KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-22 22:27:54

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文档简介

2024-2025学年上海市静安区华东模范中学高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共3小题,每小题4分,共12分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知是的充分非必要条件,的充要条件是,则是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知函数可表示为( )
则下列结论正确的是( )
A. B. 的值域是
C. 的值域是 D. 在区间上单调递增
3.已知,且方程无实根.现有四个命题
若,则不等式对一切成立;
若,则必存在实数使不等式成立;
方程一定没有实数根;
若,则不等式对一切成立.
其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题:本题共10小题,每小题4分,共40分。
4.若集合,,则______.
5.对任意的,幂函数的图像一定不经过第______象限.
6.函数,则 ______.
7.已知,则 ______用,表示
8.不等式的解集为______.
9.若关于的不等式的解集不为空集,则实数的取值范围为______.
10.若函数的最小值为,则实数的取值范围是______.
11.已知,,当变化时,最小值为,则 ______.
12.若对任意,均有,则实数的取值范围为______.
13.设,若存在使得关于的方程恰有六个解,则的取值范围是______.
三、解答题:本题共5小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
14.本小题分
考查关于的方程.
若该方程的两个实数根,满足,求实数的值;
若该方程在区间上有且仅有一个实数根,求实数的取值范围.
15.本小题分
已知函数.
若函数的图象过原点,求的解析式;
若是偶函数,在定义域上恒成立,求实数的取值范围.
16.本小题分
已知,函数.
当时,若对任意都有,证明;
当时,证明:对任意,的充要条件是;
当时,讨论:对任意,的充要条件.
17.本小题分
对于两个实数,,规定,
证明:关于的不等式解集为;
若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围;
设关于的不等式的解集为,试探究是否存在自然数,使得不等式与的解集都包含于,若不存在,请说明理由,若存在,请求出满足条件的的所有值.
18.本小题分
对于函数,若其定义域内存在非零实数满足,则称为“局部奇函数”.
已知函数,判断是否为“局部奇函数”.
若幂函数使得在上是“局部奇函数”,求:的取值范围.
若整数使得是定义在上的“局部奇函数”,求:的取值集合.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.四
6.
7.
8.
9.,
10.
11.
12.
13.
14.解:由题意,得,
所以或,
因为,所以,
解得或舍去,所以.
由,,
得,
所以,
令,则,
因为函数在上单调递减,在上单调递增,
且时,;时,时,,
由图像可知,要使方程只有一个实数根,
则或,解得或,
所以实数的取值范围为.

15.解:由题设,而,则,可得或,
当时,;当时,;
因为是偶函数,
所以,
则,
因为,所以,
所以对任意的恒成立,所以,
所以,即在上恒成立,
所以,即,
解得:,
所以实数的取值范围为.
16.证明:根据题设,对任意,都有.
又,
,,

证明:必要性:对任意,.
据此可推出,即,

对任意,,
因为,可得,可推出,即,


充分性:因为,,对任意,
可以推出,即,
因为,对任意,
可以推出:,即,

综上,当时,对任意,的充要条件是.
解:因为,时,对任意有,即;
,即,
又,即.
所以,当,时,对任意,的充要条件是.
17.解:证明:不等式化为,
当时,,解得,又,所以;
当时,,符合题意,则;
当时,,解得,又,所以;
综上所述:,即关于的不等式解集为.
不等式即解集非空,
记,则,
,当等号成立.
故,解得或,故实数的取值范围.
由得,解得;
不等式即,也即,
当时,,解得,故;
当时,,解得,故.
综上所述:.
故.
不等式即,也即,
当时,,解得,满足条件;
当时,设,
因为,,所以,,
所以,解得或.
当,,
当,,,,
当,,,符合题意,
当,,
当,,,,
当,,,符合题意.
综上,或或.
18.解:因为,
则,
则,
因为恒成立,故不存在使得,即不存在使得,
所以不是“局部奇函数”.
因为是幂函数,则,所以,
故,
所以,
则,
所以,
因为,所以在上有解,
则,,
因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,函数取得最小值,
又当和时,,
所以,
故,
所以实数的取值范围为.
由定义可得,,
则,
所以有解,
令,则,
则方程在上有解,
令,,
当时,则,所以,故;
当时,则,即
故.
综上,实数的取值范围为,
又为整数,则,,,
即的取值集合为.
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