2024-2025学年上海市静安区华东模范中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市静安区华东模范中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知函数可表示为( )
则下列结论正确的是( )
A. B. 的值域是
C. 的值域是 D. 在区间上单调递增
3.已知，且方程无实根．现有四个命题
若，则不等式对一切成立；
若，则必存在实数使不等式成立；
方程一定没有实数根；
若，则不等式对一切成立．
其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
4.若集合，，则______．
5.对任意的，幂函数的图像一定不经过第______象限．
6.函数，则 ______．
7.已知，则 ______用，表示
8.不等式的解集为______．
9.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为______．
10.若函数的最小值为，则实数的取值范围是______．
11.已知，，当变化时，最小值为，则 ______．
12.若对任意，均有，则实数的取值范围为______．
13.设，若存在使得关于的方程恰有六个解，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
考查关于的方程．
若该方程的两个实数根，满足，求实数的值；
若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围．
15.本小题分
已知函数．
若函数的图象过原点，求的解析式；
若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，函数．
当时，若对任意都有，证明；
当时，证明：对任意，的充要条件是；
当时，讨论：对任意，的充要条件．
17.本小题分
对于两个实数，，规定，
证明：关于的不等式解集为；
若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值．
18.本小题分
对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”．
已知函数，判断是否为“局部奇函数”．
若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求：的取值范围．
若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求：的取值集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.四
6.
7.
8.
9.，
10.
11.
12.
13.
14.解：由题意，得，
所以或，
因为，所以，
解得或舍去，所以．
由，，
得，
所以，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，时，，
由图像可知，要使方程只有一个实数根，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．

15.解：由题设，而，则，可得或，
当时，；当时，；
因为是偶函数，
所以，
则，
因为，所以，
所以对任意的恒成立，所以，
所以，即在上恒成立，
所以，即，
解得：，
所以实数的取值范围为．
16.证明：根据题设，对任意，都有．
又，
，，
．
证明：必要性：对任意，．
据此可推出，即，
．
对任意，，
因为，可得，可推出，即，
，
．
充分性：因为，，对任意，
可以推出，即，
因为，对任意，
可以推出：，即，
．
综上，当时，对任意，的充要条件是．
解：因为，时，对任意有，即；
，即，
又，即．
所以，当，时，对任意，的充要条件是．
17.解：证明：不等式化为，
当时，，解得，又，所以；
当时，，符合题意，则；
当时，，解得，又，所以；
综上所述：，即关于的不等式解集为．
不等式即解集非空，
记，则，
，当等号成立．
故，解得或，故实数的取值范围．
由得，解得；
不等式即，也即，
当时，，解得，故；
当时，，解得，故．
综上所述：．
故．
不等式即，也即，
当时，，解得，满足条件；
当时，设，
因为，，所以，，
所以，解得或．
当，，
当，，，，
当，，，符合题意，
当，，
当，，，，
当，，，符合题意．
综上，或或．
18.解：因为，
则，
则，
因为恒成立，故不存在使得，即不存在使得，
所以不是“局部奇函数”．
因为是幂函数，则，所以，
故，
所以，
则，
所以，
因为，所以在上有解，
则，，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
又当和时，，
所以，
故，
所以实数的取值范围为．
由定义可得，，
则，
所以有解，
令，则，
则方程在上有解，
令，，
当时，则，所以，故；
当时，则，即
故．
综上，实数的取值范围为，
又为整数，则，，，
即的取值集合为．
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