2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
茶水温度
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上的值域为
C. 函数是奇函数
D. 函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到
11.已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是( )
A. 若，则 B. 函数的最小正周期是
C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为______．
13.集合的真子集的个数是______．
14.已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求，的值．
若正实数，满足，求的最小值．
16.本小题分
化简：；
已知，求的值；
已知，求的值．
17.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记．
Ⅰ将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
Ⅱ求的最大值，及此时的角．
18.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当，．
求的值；
求函数的解析式，并画出的草图；
设函数，若有个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
求函数的值域；
若函数，，那么是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：关于的不等式的解集为
，是方程的两根，
则，解得，；
由得正实数，满足，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为．
16.解：原式；
，
，
，
，，
；
．
17.解：Ⅰ依题意，在中，，
所以，，
在中，，，则，
因此，
所以
，
所以面积表示为角的函数是；
Ⅱ由Ⅰ知，当时，，
所以当，即时，，
所以当时，．
18.解：因为函数是上的偶函数，
所以，即．
又因为当，，
则，
所以；
当时，，
又因为为上的偶函数，
所以，
所以，
故；
画出函数的图象，如图所示：
函数有个零点，
即与的图象有个交点．
由图象可得，
实数的取值范围为．
19.解：函数的定义域为，
，
因为函数为偶函数，
所以，即，
得；
，
设，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，，即，时，等号成立，
所以函数的值域为；
，
，，
令，
所以设，，
函数的对称轴，
当，即时，在上单调递增，
，
所以，得，成立，
当时，即时，在上单调递减，
，
所以，得，舍去，
当时，即，函数的最小值为，
所以，得，舍去，
综上可知，．
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