2024-2025学年湖北省武汉市常青联合体高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
4.设,,,则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点,,则( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角,且,则( )
A. B. C. D.
7.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作九章算术中的一个问题,现有一个“圆材埋壁”模型,其截面如图所示若圆柱材料的截面圆的半径长为,圆心为,墙壁截面为矩形,且劣弧的长等于半径长的倍,则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.若函数是定义在上的奇函数,对任意,都有,且当时,,若函数且在上恰有个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知,则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.关于函数的下述四个结论,正确的有( )
A. 若,则
B. 的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数则的值为______.
13.函数在的值域______.
14.已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知,求;
已知,,求.
16.本小题分
函数的部分图像如图所示.
求及图中的值,并求函数的最小正周期;
若在区间上只有一个最小值点,求实数的取值范围.
17.本小题分
已知函数是奇函数.
求实数的值;
判断并用定义法证明函数的单调性;
若,且当时,恒成立,求实数的取值范围.
18.本小题分
已知定义在上的函数满足,且,.
求的解析式;
若不等式恒成立,求实数的取值范围;
设,若对任意的,存在,使得,求实数的取值范围.
19.本小题分
列奥纳多达芬奇是意大利文艺复兴三杰之一他曾提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”,后人给出了悬链线的函数表达式,其中为悬链线系数,称为双曲余弦函数,其函数表达式为,相反地,双曲正弦函数的函数表达式为.
证明:;
求不等式:的解集;
函数的图象在区间上与轴有个交点,求实数的取值范围.
参考答案
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13.
14.
15.解:因为,
可得;
因为,
两边平方,可得,解得,
因为,
所以.
16.解:函数,
由图象可知,当时,,
,
又,
,
,
将代入,得,
或,,
或,,
,,
.
,
由的图象可知,在上的第一个最小值点为,第二个最小值点为,
又在区间上只有一个最小值点,,
即实数的取值范围为
17.解:由题意,可得,
则,所以.
单调递增,证明如下:
由知,,
令,则
,而,,,
所以,故单调递增.
由题意可知,当时,恒成立,
而,所以,
故实数的取值范围为.
18.解:由题意知,,
即,
所以,
故.
由知,,
所以在上单调递增,
所以不等式恒成立等价于,
即恒成立,
设,则,,当且仅当,即时取等号,
所以,
所以实数的取值范围是.
因为对任意的,存在,使得,
所以在上的最小值不小于在上的最小值,
因为在上单调递增,
所以当时,,
的对称轴为,,
当时,在上单调递增,
所以,解得,
所以,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
,解得,
所以,
当时,在上单调递减,
所以,解得,
所以,
综上可知,实数的取值范围是.
19.解:证明:
;
因为恒成立,
所以为奇函数,
易知在上严格递增,在上严格递减,
所以是上的严格增函数,
所以,
即,
所以,
解得,
则的解集为;
因为的图象在区间上与轴有个交点,
所以在有个实数根,
即在有个实数根,
令,
易知在上单调递增,
所以,
此时,
即,
设,函数定义域为,
易知函数在上单调递减,在上单调递增,
又,
当时,函数与直线有两个交点,
即函数的图象在区间上与轴有个交点,
所以.
则实数的取值范围为.
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