2024-2025学年湖北省武汉市常青联合体高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市常青联合体高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点，，则( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
7.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作九章算术中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.若函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.关于函数的下述四个结论，正确的有( )
A. 若，则
B. 的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则的值为______．
13.函数在的值域______．
14.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求；
已知，，求．
16.本小题分
函数的部分图像如图所示．
求及图中的值，并求函数的最小正周期；
若在区间上只有一个最小值点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数是奇函数．
求实数的值；
判断并用定义法证明函数的单调性；
若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知定义在上的函数满足，且，．
求的解析式；
若不等式恒成立，求实数的取值范围；
设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
列奥纳多达芬奇是意大利文艺复兴三杰之一他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
证明：；
求不等式：的解集；
函数的图象在区间上与轴有个交点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
可得；
因为，
两边平方，可得，解得，
因为，
所以．
16.解：函数，
由图象可知，当时，，
，
又，
，
，
将代入，得，
或，，
或，，
，，
．
，
由的图象可知，在上的第一个最小值点为，第二个最小值点为，
又在区间上只有一个最小值点，，
即实数的取值范围为
17.解：由题意，可得，
则，所以．
单调递增，证明如下：
由知，，
令，则
，而，，，
所以，故单调递增．
由题意可知，当时，恒成立，
而，所以，
故实数的取值范围为．
18.解：由题意知，，
即，
所以，
故．
由知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是．
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
所以，解得，
所以，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是．
19.解：证明：
；
因为恒成立，
所以为奇函数，
易知在上严格递增，在上严格递减，
所以是上的严格增函数，
所以，
即，
所以，
解得，
则的解集为；
因为的图象在区间上与轴有个交点，
所以在有个实数根，
即在有个实数根，
令，
易知在上单调递增，
所以，
此时，
即，
设，函数定义域为，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
当时，函数与直线有两个交点，
即函数的图象在区间上与轴有个交点，
所以．
则实数的取值范围为．
第1页，共1页