2024-2025学年江西省抚州市南丰一中高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省抚州市南丰一中高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
4.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角的对边分别为若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数为偶函数，且最小正周期为
B. 若，，则往方向上的投影长为
C. 是抛物线上一点，，则的最小值为
D. 已知两直线：与：，则“”是“，互相平行”的充分不必要条件
10.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是( )
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 三棱锥的体积是
D. 与平面所成的角的正弦值是
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的正弦值为______．
13.的展开式中的系数为______用数字作答．
14.已知函数，，，函数的图象在点处和点处的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，点在线段上．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ若，的面积为，求的值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面为梯形，已知，，，是以为斜边的等腰直角三角形．
证明：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
17.本小题分
设函数．
当时，求曲线在处的切线方程．
讨论函数在区间上零点的个数．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，双曲线：的一条渐近线的斜率为，，且的一个焦点到其渐近线距离为．
求的方程；
若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于，求证：为定值．
19.本小题分
已知数列满足．
求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
记，求证：对任意；
设，若不等式对于任意的恒成立，求正整数的最大值．
参考答案
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15.解：，，
．
，
，
在中，由正弦定理得，，
，．
设，则，
，的面积为，
，
，
．
在中，由余弦定理有，
，在中，由正弦定理有，
，．
16.证明：
设点为的中点，连接、，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
因为，所以，因为，，所以，
在中，，可知，且，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
在中，，所以，即，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，又因为，，，平面，
所以平面．
解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系，
由题意得：，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
得，不妨设，则，
同理可得平面的一个法向量为，
所以．
由图可知，所求的二面角平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
17.解：因为，所以，
则，，
所以，切线方程为，
即．
由知，，．
当时，，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点．
当时，，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点．
当时，在区间上小于零，在区间上大于零，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
而．
当，即时，在区间上有两个零点．
当，即时，在区间上有一个零点．
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点．
18.解：已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，双曲线：的一条渐近线的斜率为，
则，
又，
则，
又的焦点到渐近线的距离为，
则，
所以，
即双曲线方程为．
证明：令，由题意，
因为在上，
所以，
得，
即，
则过与其中一条斜率为的渐近线平行的直线：，
联立，
可得，
即，
解得，
即，
同理可得，
，
证毕．
19.解：证明：，
可得，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，
则，；
证明：当时，，
所以，
又，所以，综上可得，；
，
不等式，即，
设，
，
所以，即当增大时，也增大，
所以只需即可．因为，
所以，即，
所以正整数的最大值为．
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