梅州市高二第一学期期末联考(2025.1)
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
C
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9
10
11
BD
ACD
AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2
13.-4
14.1275
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分)
解：(1)设a,b,分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意，数列{a,}是首项为64，公比为1+50%=3的等比数列，
.1分
2
{地}是首项为100，公差为m的等差数列，
……2分
于是第3年投入的电力型公交车的数量4=64
3
=144,
…….3分
第3年投入的混合动力型公交车的数量b,=100+(3-1)m=100+21.
..,4分
(2)由(1)得，{a}的前n项和4=
641-(
13
=128-1
…..5分
私}的前n项和B.=100n+m-少m
2
….6分
所以经过年后，该市被更换的公交车总数为
S0=A+a=18-片10n+m
…….8分
(3)若计划5年内完成全部更换，则S(5)≥2000，
…….9分
于是得128-川+1005+5a≥20。
….10分
即10ml≥656，解得m≥65.6，
......12分
而m∈N,于是得m的最小值为66.
…………….13分
16.(本小题满分15分)
解：(1)设所求圆的圆心坐标为(x。,y)
3r-北1=0
因为圆C与y轴相切于点T(0,2),
圆心C在直线y=2上，
.....1分
=2
所以y。=2,
…….2分
而圆心C在直线3x-y-1=0上，
0
即有：3。-2-1=0，
……3分
从而x。=1,
….4分
且圆C的半径r=k=1,
.5分
故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=1.
………6分
(2)设所求圆的圆心为(x,y)
因为圆C的半径为2，且被x轴截得的弦长等于2√5，
可得好+(5=22，
….8分
解得：y。=1或y。=-1,
…….10分
且3x。-。-1=0,
………….11分
2
解得
。=3或{
x=0
。=1(%--1
……….13分
故所求圆C的方程为(x-子+(0-)2=4或x2+0+12=4.
…15分5.在平面直角坐标系xO中，已知定点Q(3,0,点P在抛物线C了=4r上运动，则1PQ的
最小值为
A.2V2
B.3
C.23
D.2V5
P
6.如图2，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,四
边形ABCD是正方形，AB=3,PA=4,点M为PC的中
点，BN=}D,则MW=
A.2
B.2V5
3
2
C.
D.5
图2
2
7.线段AB的长度为3，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB上靠近点A
的三等分点的轨迹方程为
A.x2+y2=9
B.
9
C.
4
4+y2=1
D.
8.已知曲线C的方程为x2-y+y2=4,则曲线C上的点的纵坐标的最大值为
A.2
B.
32
C.25
D.45
3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.圆C:x2+y2-1与圆C2:x2+0心-a2=9有且只有一个公共点，则a的值可能是
A.1
B.2
C.3
D.4
10.已知a,=1+1
十+，关于数列{@，下列命题中正确的是
n+1'n+2
A.a=2
B.a+-a=
1
2n+22n+1
c4,分恒碳立
D.数列{an是递增数列
高二数学试卷第2页共6页
11.己知正三棱柱ABC-A1BC中，AB=AA1=2,点P为侧面BCCB1
上的一点，B严=1BC+uBB(0≤≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正
确的有
A.当H-时，直线AP与平面BCB,所成角的最大值为6心
B.当1+u=1时，AP列的最小值为2
B
C当丽-万时，动点P的轨迹长为行
图3
D.当直线AP与AB所成角为45时，动点P的轨迹为双曲线的一部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知直线1：(k-1)x+y-1=0,2:x-2y+1=0,若4∥2，则实数k=
13.已知x,y满足x2+y2-6x+2y+9=0,则二的最小值是
14.将自然数0,1,2,3,4..按照如图4排列，我们将
10
1,3,6,10.称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”
14
17
16
是」
图4
15
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时
还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若
干时间更换2000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和
混合动力型车.今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆：计划以后电
力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆.
(1)求第3年该市投入的电力型公交车、混合动力型车分别是多少辆（注：3年后该市燃
油型公交车未被全部更换)：
(2)设经过n年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市n年后被更换的公交车总数S):
(3)若该市计划5年内完成全部更换，求m的最小值.
高二数学试卷第3页共6页
