2024-2025学年北京市西城区高三上学期期末考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区高三上学期期末考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B.
C. D.
2.设为虚数单位，，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，值域为且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
5.过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是( )
A. B. C. D.
6.在中，则“”是“是直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足( )
A. B. C. D.
8.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率单位：可表示为，其中为起始光功率单位：，为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离单位：已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半若当距离由变到时，光功率由变到，则( )
A. B. C. D.
9.若实数满足，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且设动点的轨迹为曲线，则( )
A. 是平行四边形，且周长为
B. 是平行四边形，且周长为
C. 是等腰梯形，且周长为
D. 是等腰梯形，且周长为
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.设抛物线的准线方程为 ．
12.在中，若，，，则 ．
13.若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是 ，且此时常数项等于 用数字作答
14.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示设，，则扇面图中扇环部分的面积是 ， ．
15.已知无穷数列满足给出下列四个结论：
存在，使得集合中有无穷多个元素；
存在，使得集合中有有限个元素；
对于任意的，集合中至多有一个元素；
当时，集合．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，．
求证：平面；
若，求二面角的大小．
17.已知函数，从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递减，求实数的最大值．
条件：；
条件：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；
条件：函数的一个零点为．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课现从全校高一学生中分层随机抽样出名男生和名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：
男生 女生
选择 不选择 选择 不选择
排球
篮球
足球
乒乓球
假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率．
假设全校共有名高一学生，直接判断下列结论的正误．
结论：根据样本数据估计全校有名高一学生有选择足球课的意愿；
结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为；
若从该校全体高一男生中随机抽取人，全体高一女生中随机抽取人，记这人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；
记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为写出与的大小关系结论不要求证明
19.已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为．
求椭圆的方程；
过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为若四边形为正方形，求的值．
20.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处切线的方程；
当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
若函数有两个零点，且，求的取值范围．
21.已知数列为个数的一个排列，其中，且若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质．
当时，判断数列和数列是否具有性质；
若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；
在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，．
参考答案
1.
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13.答案不唯一
答案不唯一
14.

15.
16.如图，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
因为且，为的中点，则且，
所以，且，则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面．
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，，
设平面的法向量为，则
取，可得，
设平面的法向量为，则
取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的大小为．

17.若选择条件，
由，得，即，，则，
又函数的一个零点为，则，
则不能确定，所以函数不唯一，所以不能选择条件．
选择条件，
由，得，即，，则，
因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期，
因为，则，
所以．
选择条件，
因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期，
因为，则，
因为函数的一个零点为，即，
所以，则，
又，则，
所以．
因为函数的单调递减区间为，
所以，
则，
所以是的一个单调递减区间，
若函数在区间上单调递减，
则，
所以实数的最大值为．

18.结论A正确，结论不正确．
一男生选择排球课的概率估计为 ，
高一女生选择排球课的概率估计为 ．
随机变量 的所有可能取值为，，，．
则，
，

所以的分布列为：


故．
．

19.已知，，，
则的面积，解得．
因为离心率，，所以．
又因为，，，所以．
所以椭圆的方程为．
将直线与椭圆联立得．
根据韦达定理，，．
计算，
从而得到线段中点坐标为
然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为，
根据点斜式可得垂直平分线方程为，
进而得到点
最后根据四边形为正方形时：
则
展开得
进一步化简为
将，代入得，，
整理得，解得．

20.已知当时，，对求导得．
计算，将代入得．
计算，将代入得．
根据点斜式方程，所以切线方程为，即．
当时，，其定义域为．
因为曲线总在直线的下方等价于，即．
设函数，对求导得．
令，即，解得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，由于，
则，即，所以曲线总在直线的下方．
，
分情况讨论．
当，即时此时的导数．
根据的单调性，在上，单调递增；
在上，单调递减所以．
对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意
当，即时因为，根据的单调性，
在上，，单调递增；在上，，单调递减知，
因为有两个零点，且满足，得，．
又因为此时，所以．
由于，即，移项得到．
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以
当，即时根据的单调性，
在上，，单调递增；在上，，单调递减，知．
因为有两个零点，且满足，得，．
所以．
由于，即，移项得到．
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以
综上，的取值范围为．

21.当时，若数列具有性质，
则集合中至少有一个元素，使得
验证可得，不存在，使得，所以数列不具有性质．
对于数列，集合中存在元素时，
满足，所以数列具有性质
因为数列和均为等差数列，且，，
所以数列，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，
所以当为偶数时，在集合中不存在元素使得，
故对于所有的偶数，数列不具有性质
所有由的排列组成的数列共有个，
其中不具有性质的排列要求与不相邻，与不相邻，，与不相邻，
故，所以，
，
因为，
所以，
所以对于任意，．

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