2024～2025 学年上学期佛山市普通高中教学质量检测
高二数学
本试卷共 4页,19小题.满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项: 2025 年 1 月
1．答卷前,考生务必要填涂答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,
先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点 A(1, y1 ) , B (2, y 32 )在斜率为 的直线 l 上,则 y2 y1 =
3 3
A. 3 B. C. D. 3
3 3
2
2. 抛物线 x +8y = 0的焦点到准线的距离为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3．已知双曲线的一条渐近线方程是 y = 2x ,虚轴的一个端点坐标为 (0,2) ,则双曲线的标准方程为
y2 x2
2 2 2
2 2 x y x y
2
A. x =1 B. y =1 C. =1 D. =1
4 4 4 16 16 4
4. 下列方程表示的椭圆中,形状最接近于圆的是
x2 y2 2
2 2 2 2
x y2 x y x y
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
3 2 4 3 3 4 4 5
5. 已知数列 an 的通项公式为a = n
2 + kn ,若 an 是递增数列,则实数 k 的取值范围为 n
A． ( , 2 B． 2,+ ) C． ( 3,+ ) D． ( , 3)
6. 甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛,比赛规则是 3局 2胜制.现通过设计模拟实验估算概率,用 1,3,5表
示一局比赛甲获胜,用 2,4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生 20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 254
由此估计甲赢得比赛的概率为
A. 0.6 B. 0.65 C. 0.7 D. 0.75
7. 已知圆O1和圆O2 都和 x 轴正半轴相切,且圆心都在直线 y = x 上,半径之差为4 ,则 O1O2 =
A．4 2 B. 4 3 C. 6 2 D. 6 3
C
8. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架 ABCD, ABEF 的边长都是3 ,
且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M , N 分别在正方形对角线 AC 和 D
M B
BF 上移动,则MN 的最小值为 E
N
3 2 2 3
A． 2 B． 3 C． D． A F
2 3
高二数学试题 第 1 页 共 4 页
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二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,设事件 A =“第一次正面朝上”,事件B =“第二次反面朝上”,则
A. A与B 互斥 B. A与B 相互独立 C. A与B 相等 D. P (A) = P (B)
10.如图, AB 为 O 的直径,C 为 O 上异于 A, B的动点,PA ⊥平面 ABC ,
M 为 PA 的中点,且PA = 3, AB = 7 ,则
A．BC的长等于点B 到直线PC 的距离
B． ACB为二面角 A PC B的平面角
C．当 AC = 3 时, BP 与平面PAC 所成角为30
D．过M 作平面 // 平面 ABC ,则平面 与 PC 交点的轨迹为椭圆
x22 y
2
11.已知抛物线C : y = 2px ( p 0)和椭圆 : + =1(a 1)有相同的焦点 F ,且交于 M , N 两
a2 a2 1
点,C 的准线与 交于P,Q 两点,则
A．存在a 2 ,使 FPQ 为等边三角形
B．存在a 1,使四边形PQNM 为正方形
2
C．任意a 1,点M 总在圆F : (x 1) + y2 =1外
2 2
D．任意a 2,椭圆上任一点总在圆F : (x 1) + y =1外
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.在空间直角坐标系Oxyz 中,平面 的法向量n = (1,2,2) ,点 P (3,4,5)在 内,则原点O到 的距离
为________.
x2 y2
13.已知F1 , F2 分别为双曲线C : =1(a 0,b 0)的左、右焦点,过 F2 作斜率为2 2 的直线与C
a2 b2
的右支交于点P ,若 F1PF2 是以PF2为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为__________.
2 2
14.已知点P (1, 3)关于直线 y = kx 的对称点在圆C : x + ( y 4) = 4上,则 k = .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.( 13 分)
已知 A( 2,4), B (5,5) ,C (6, 2)是圆P 上的三点,D ( 1,5).
(1) 判断 A, B,C, D 四点是否共圆,并说明理由；
(2) 过点D 的直线 l 被圆P 截得的弦长为8 ,求直线 l 的方程.
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16.( 15 分)
如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD是边长为2 的菱形, ABC = , AC BD =O ,
3
DF ⊥平面 ABCD, DF // BE , BE = 2DF = 6 . E
(1) 求证:OF ⊥平面EAC ； F
(2) 求平面 AEF 与平面CEF 夹角的大小.
A D
OB
C
17.( 15 分)
甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下:每投中一球得1分,投不进得 1分.已知甲每次的投篮命中
1
率为 ,前6 次投篮全部命中,各次投篮结果相互独立.
2
(1) 求甲投完第8次球后得分依旧为6 分的概率.
(2) 若甲最多有 10次投篮机会,得分不少于7 分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大,甲选择的投篮
次数应该是多少次？
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18.( 17 分)
2 1
在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线C : y = 4x 的焦点为 F ,直线 l : y = kx +b ,其中 k b ,直线
2
l与C 有且只有一个公共点P ,直线 PF 交C 于另一个点Q .
(1) 当 k = b时,求 PQ 的值；
(2) 求 OPQ面积的取值范围.
19.( 17 分)
已知长为3的线段的两个端点 A 、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且 BP = 2PA.
(1) 求动点P 的轨迹方程；
(2) 记F (1,0),动点P 的轨迹为曲线C ,过点D (4,0)的直线交曲线C 于M 、N 两点,分别过点M 、
F 作 y 轴和 x 轴的垂线交于点Q ,求证直线QN 恒过定点,并求该定点坐标.
高二数学试题 第 4 页 共 4 页
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高二数学 参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D C B A B
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BD AC ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 7 13. 3 14. 2 3
四、解答题:本题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1) A, B,C, D 四点共圆. ………………………………………………………………………1分
5 4 1 5 ( 2)
[法一]依题意, kAB = = , k = = 7 ,则 kAB kBC BC = 1,故 AB⊥ BC. ………2分
5 ( 2) 7 5 6
2+ 6 4 2
所以 AC是圆P 的直径.于是圆心P( , ) ,即P(2,1)； ……………………………………3分
2 2
半径为 AP = ( 2 2)
2 + (4 1)2 = 5 .…………………………………………………………………4分
2 2
故圆P 的方程为 (x 2) + (y 1) = 25. ………………………………………………………………5分
代入D( 1,5) ,则有 ( 1 2)
2 + (5 1)2 = 25.因此点D 在圆P 上,即 A, B,C, D 四点共圆. ………6分
20 2D + 4E + F = 0
2 2
[法二]设圆P 的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 .则 50+5D +5E + F = 0 , ………………2分
40+ 6D 2E + F = 0
解得D = 4, E = 2, F = 20 . ………………………………………………………………………4分
2 2
所以,圆P 的方程为 x + y 4x 2y 20 = 0 …………………………………………………………5分
代入D( 1,5) 圆的方程,1+25+4 10 20 = 0 .
故点D 在圆P 上,即 A, B,C, D 四点共圆. ……………………………………………………………6分
2 2
(2)当直线 l 的斜率不存在时,对于 (x 2) + (y 1) = 25,令 x = 1,得 y = 3或 y = 5 . ………7分
此时弦长 MN = 5 ( 3) = 8,符合题意,故直线 l 的直线方程为 x = 1. ……………………………8分
当直线 l的斜率存在时,设 y 5 = k(x +1) ,即 kx y + k +5 = 0 . ……………………………………9分
2k 1+ k +5 3k + 4
于是圆心P(2,1)到直线的距离为d = = . …………………………………10分
k 2 +1 k 2 +1
2
3k + 4
2 2
设弦长为 MN ,则 MN = 2 r d ,即8 = 2 25 ,…………………………………11分
k 2 +1
7
解得 k = .故直线 l的方程为7x+ 24y 113 = 0 . ……………………………………………12分
24
高二数学试题 第 1 页 共 4 页
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综上所述,直线 l 的方程为 x = 1或7x+ 24y 113 = 0 . ……………………………………………13分
3 2 3 6
16.【解析】(1)在梯形BDFE 中,OE = 3,OF = , EF = ,
2 2
EF 2所以 =OE2 +OF 2 ,则OF ⊥OE ,…………………………………………………………………3分
3 2 22
在 ACF 中,OF = ,OC =1,CF = ,
2 2
CF 2 =OC2 2所以 +OF ,则OF ⊥OC ,…………………………………………………………………6分
因为OE OC =O ,OE,OC 平面EAC ,所以OF ⊥平面EAC .…………………………………7分
(2)以O为原点,建立空间直角坐标系O xyz 如图所示,
z
6
A(0, 1,0) ,C(0,1,0) , E( 3,0, 6) ,F ( 3,0, ) ,……………8分 E
2
F
6
AE = ( 3,1, 6 ) , AF = 3,1, ………………………………9分
2
A
D
O
设平面 AEF 的一个法向量为n = (x, y, z) , x B C y
3x + y + 6z = 0
n AE = 0
所以 ,得 6 ,从而可得n = (1,3 3, 2 2) ,………………………11分
n AF = 0 3x + y + z = 0
2
同理可得平面CEF 的一个法向量为m = (1, 3 3, 2 2) ,…………………………………………13分
m n 1
所以cos m,n = = ,
m n 2
故平面 AEF 与平面CEF 的夹角为60 .………………………………………………………………15分
17.【解析】(1)依题意,记 Ai =“接下来第 i 次投中”, i =1,2,3,4 ………………………………………1分
B =“甲投完第8次球后甲得分为6 分”…………………………………………………………………2分
则 B = A1 A2 A1A ,且 A A 与 A A 互斥,………………………………………………………………3分 2 1 2 1 2
根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
P(B) = P(A1 A2 A1A2) = P(A1 A2)+ P(A1A2) = P(A1)P(A2)+ P(A1)P(A2) ……………………4分
1 1 1 1 1
= + = ………………………………………………………………………………5分
2 2 2 2 2
1
(2)记C =“甲再投一次优秀”,则C = A1,故 P(C) = P(A1) = , …………………………………7分
2
1 1
记 D =“甲再投两次优秀”,则D = A1A2 ,故P(D) = P(A1A2 ) = P(A )P(A ) = ( )
2
1 2 = ………9分
2 4
记 E =“甲再投三次优秀”,则E = A1A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 ,
则 P(E) = P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3)
1 1 1
= P(A1A2 A3)+ P(A1A2 A3)+ P(A1 A2 A3)+ P(A1A2 A3) = ( )
3 +3( )3 = ……………11分
2 2 2
记 F =“甲再投四次优秀”,则F = A1A2 A3A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3A4 A1 A2 A3A4 A1A2 A3A4 ,
P(F) = P(A1A2 A3A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3A4 A1 A2 A3A4 A1A2 A3A4 )
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= P(A1A2 A3A4 )+ P(A1A2 A3 A4 )+ P(A1A2 A3A4 )+ P(A1 A2 A3A4 )+ P(A1A2 A3A4 )
1 4 1 4 5= ( ) + 4( ) = ……………………………………………………………………………13分
2 2 16
故 P(C) = P(E) P(F) P(D) ,………………………………………………………………………14分
因此应该选择投篮7 次或9次. …………………………………………………………………………15分
y2 = 4x 2 2
18.【解析】(1)由 ,得 ky 4y + 4b = 0 ,由 = ( 4) 4k 4b = 0 ,得 kb =1,…………2分
y = kx + b
所以 k = b =1,此时点P 坐标为 (1,2) , …………………………………………………………………4分
注意到点F 坐标为 (1,0) ,所以PF ⊥ x 轴,点Q坐标为 (1, 2) ,故弦长 PQ = 4；…………………7分
(2)直线PF 过点F (1,0),且斜率不为0 ,不妨设直线PF 方程为 x = my +1,
y2 = 4x 2
联立方程, ,得 y 4my 4 = 0,
x = my +1
1 y1 + y2 = 4m
设 P (x , y ),Q(x , y ) ,由 k b ,知 y1 0 且 y2 0 ,所以 , …………………9分 1 1 2 2
2 y1y2 = 4
1 1
OPQ面积 S = S + S , …………………………11分 OPQ OFP OFQ = OF ( y1 + y2 ) = ( y1 y2 )
2 2
2 4 2 1 2
由(1)中 kb =1,得 ky 4y + = 0 ,所以 (ky 2) = 0,可求得点 P 坐标为 , ,
k 2
k k
1 2 1 2 1 k
2
点 P , 在直线PF 上,所以 = m +1,得m = , …………………………………13分 2 2
k k k k 2k
2 2
( y1 y2 ) = ( y + y ) 4y y =16m
2
1 2 1 2 +16
2
2
2 1 k 1
所以 ( y1 y2 ) =16 +16 = 4 k
2 + 2 +16 ,…………………………………………15分
2k k
2
1
由 k b ,且 kb =1,知 k 1,2 k 2,则 1,4 ,
2
k 2
1 9
当 1,4 时, f (k 2 ) = k 2 + 2单调递增,其值域为 0, , k 2 4
2 2 1
所以 ( y1 y2 ) = 4 k + 2 +16 16,25 ,则 y2 1 y2 4,5 ,
k
1 5 5
所以 S OPQ = ( y1 y2 )
2
2, ,故 OPQ面积的取值范围是 2, .……………………………17分
2 2
y2 = 4x 2
[法二]联立 ,可得 ky 4y + 4b = 0 ,依题意可得 =16 16kb = 0 ,则 kb =1.
y = kx + b
4 2 2 1 1 2
且 yP = = ,得 = kxP +b ,故 xP = ,即点P( , ) .………………………………………10分
2k k k k 2 k 2 k
y2 = 4x 2 2
设直线PQ ： x = my +1,联立 ,得 x (4m + 2)x +1= 0 ,则 xPxQ =1,
x = my +1
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1
结合 xP = ,得 xQ = k
2 2
,于是 yQ = 2k ,即点Q(k , 2k) . ……………………………………13分
k 2
1 1 2 1
从而 S OPQ = OF y1 y2 = + 2k = k + , ………………………………………………15分
2 2 k k
1 1 5
因为 kb =1,且 k b ,故 k [1,2],从而 k + [2, ].
2 k 2
5
因此 OPQ 面积的取值范围是[2, ]. ………………………………………………………………17分
2
19.【解析】(1)设P (x, y) , A(a,0) , B (0,b),由 AB = 3 a2,得 +b2 = 9,………………………………2分
由 BP = (x, y b) ,PA = (a x, y) , BP = 2PA, ……………………………………………………3分
3
x = 2(a x) a = x
则 ,得 2 ,……………………………………………………………………………5分
y b = 2y
b = 3y
2 2 2
3 2 x x
所以 x + ( )
2 2
3y = 9 ,即 + y =1,故动点P 的轨迹方程为 + y =1. ……………………7分
2 4 4
x2 + 4y2 = 4
(2)设直线MN : x = my + 4 ,且M (x1, y1) , N (x2 , y2 ) .联立 ,
x = my + 4
2 2 2 2 2
得 (m + 4)y +8my +12 = 0 ,则 = 64m 48(m + 4) 0 ,得m 12 .
8m 12
且 y1 + y2 = , y1y2 = . ……………………………………………………………10分
m2 + 4 m2 + 4
y2 y1 y y由题可得Q(1, y1) ,于是 kQN = ,故直线QN 的方程为 y =
2 1 (x 1) + y1.……………11分
x2 1 x2 1
由对称性可得,若QN 恒过定点,则可猜想定点在 x 轴上. …………………………………………12分
y2 x2 y1 y2 (my2 + 4)y令 y = 0,则 x = = 1
y2 4y1 my1y= 2 . ………………………………14分
y2 y1 y2 y1 y2 y1
8m 12 y + y 2m 3
由 y1 + y2 = , y y = ,得
1 2
1 2 = ,即 my2 2 1y2 = (y1 + y2 ) , m + 4 m + 4 y1y2 3 2
3 5
y2 4y1 + (y1 + y2 ) (y2 y1) 5
于是 x = 2 = 2 = .……………………………………………………16分
y2 y1 y2 y1 2
5
故直线QN 恒过定点 ( ,0) . ……………………………………………………………………………17分
2
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