2024一2025学年度上学期期末考试高三试题
数
学
考试时间：120分钟
满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1.复数z满足(3i+2)z=i+1,则z的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D,第四象限
2.已知集合A={x+y=2}和集合B={x2-x-2<0},则CAnB=()
A{x<-迈，或巨B.{x<-巨，或2≤x<2
C2D.{-2≤x<2
3.甲、乙、丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一
个人，从甲开始踢，则键子第三次传递给甲的概率为(
A子
B克
c
D若
4.学校运动会十名护旗手身高（单位：cm)分别为175,178,177,174,176,175,179,180,178，
176,则十名护旗手身高的80%分位数为(
A.177.5
B.178
C.178.5
D.179
5若xe(3罗)an2a
2cosc,则ana的值是(
3-4sina
B.、3
3
c-9
D号
6函数树={
58则压数心o)的点个数
A.3
B.4
C.5
D.6
高三数学-1
7.椭圆号+卡=(>Q,b>0)的两条互相睡直的切线的交点P的轨迹是圆+了=a+,这
y
a2
个圆叫做椭圆的蒙日圆、则斜率为2的辅圆等+亏=1的切线被它的蒙日圆截得的弦长大小为
)
A.
B.25
5
5
C.35
D.475
5
8.直三棱柱ABC-A,B,C中，∠A,B,C,=60°，侧棱长为2，该三棱柱的体积为123，则三棱柱
ABC-A,B,C,外接球的表面积的最小值为()
A.16m
B.36m
C.20m
D.32T
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知平面向量a,b满足1a=1,1b=2,则下列说法正确的有()
A若都a,)=若，则a在b上的投影数量为号
B.当4a-31b时，则(a,b）=霄
C.若(a,b）e(0,T),la-b1的范围为(1,3)
D.当(a,b)e(牙，T)时，Ia-b的最大值为3
10.已知焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0).过焦点F的直线1交抛物线C于两点M、N,
过M、N两点分别作抛物线的切线交于点Q,已知当MN⊥x轴时，MN=2.则下列结论正确
的有()
A.抛物线的方程是y2=2x
B若直线l的倾斜角为牙，则△QMN的面积是22
C.FM+4FN的最小值为号
D.若F
是则直线MN的低斜角的余弦值为±号
11.已知数列{a.}满足a+1+(-1)a.=2n-1,neN,则下列说法正确的有(
A.若a,=1,则a5=a,=1
B.a,+a=8n-1,n∈N
C.数列{a}的前40项和为840
D,若a,=1,则数列{a-}的前n项和为4n2-2n,neN
高三数学-22024 — 2025 学年度上学期期末考试高三试题参考答案
数 学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.AC 10.ABC 11.ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
45
12. 13.2 2 + 1 14. ∞，0 ∪ 0,1
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15解：（1）证明∵ADC和 BDC为两个完全相同的三角板
∴拼接前有 CD⊥AD和 CD⊥BD
折后不变，即 CD⊥PD和 CD⊥BD
又 PD∩BD=D，PD 面 PBD，BD 面 PBD
∴CD⊥面 PBD……………………………………………………………………..4分
（2）由①可知 CD⊥PD和 CD⊥BD
∴二面角 P-CD-B的平面角为∠PDB, 即∠PDB =60
又∵PD=BD∴ ΔPDB为等边三角形，CD⊥面 PBD
CD 面 BCD,面 BCD⊥面 PBD,面 BCD∩面 PBD=BD,
在平面 中,过 D作 DQ⊥BD,以 D为坐标原点，以 为 x轴正方向，以 为 y轴正方向，
以 为 z轴正方向，建立空间直角坐标系.……………………………5分
1 0 3， ，
令 PD＝DB＝DC＝2，则 C(0，2，0)，B(2，0，0)，P(1，0， 3)，H 2 2
则 = (－2,2,0)， ＝( 1,0, 3)， ＝( 3 , 0, 3 )
2 2
因为点 是线段 上的四等分点且靠近点 ，
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
所以 = 3 = 3 , 3 , 0 3，所以 = = 0, , 3 ………………7分
4 2 2 2 2
设平面 的法向量为 n＝(x，y，z)
= 0， －2x＋2y＝0，
则 即
= 0， －x＋ 3z＝0，
令 x＝ 3，则 y＝ 3，z＝1，n＝( 3，3，1). ………………………………9分
设直线 GH与平面 PBC所成角为θ，
|n·H→G| 0× 3+ 3 × 3+ 3 2 2 ×1则 sin θ＝|cos 7〈n， 〉|＝ ＝ =
|n||H→G| 3 2 2 72 3 2 20 + 2 + 2 × 3 + 3 +12
……………………………11分
因为且 2 + 2 = 1， 42为锐角，所以 = ，又因为 = ，所以 = 6.
7 6
所以，直线 GH与平面 PBC 6所成角的正切值为 .…………………………………13分
6
16.解:（1）∵ > ∴ > ， > 0
2
∴ = 5， = 1 5 = 2 5………………………2分
5 5 5
= + = +
= 2 5 + 5 …………………………………4分
5 5
= 又 = 3 ，∴ = 3 5
5 5
∴ 3 5 = 2 5 + 5 ，∴ = ，∴ = .…………………………7分
5 5 5 4
（2）方法一：
在△ 中， = + =
5 2 2 5 2 10
= × × =
5 2 5 2 10
= 3 5 = 3 10. ………………………………………………………………10分
5 10
∴ = + = + = 3 10 × 2 + 10 × 2 = 2 5………12分
10 2 10 2 5
1△ = × =
1 × 3 × 5 × 5 = 3.
2 2 5 2
又因为 为△ 的重心， 1到边 AC 的距离为 到 AC 的距离的 倍，
3
∴ = 1 1△ △ = . ……………………………………………15分3 2
方法二（酌情赋分） ： = + =
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
5 2 2 5 2 10
= × × =
5 2 5 2 10
2
在△ 中，由余弦定理得：32 = 2 + 5 2 × 5 ×
即： 2 + 2 4 = 0，解得： = 2.
10 2 3 10 2 2 5
= + = + = × + × =
10 2 10 2 5
延长 ，交 于 ，在△ 中，
2
2 3 2 3 2 5 5 5 5 2 5∴ = + 5 2 × × 5 × = ， ∴ = ， ∴ = × =
2 2 5 4 2 2 3 3
3 5
由正弦定理得： 2 = 2 ，∴ ∠ = 3
∠ 5
∴ △ =
1 × 5 × 5 × 3 = 1.
2 3 5 2
17.解：（1） = ' 1 1 ' 1 + 2
' = ' 1 1 ' 1 + 2 ……………………1分
令 = 1，有 ' 1 = ' 1 0 ' 1 + 2. 求得 ' 1 = 2.……………………2分
令 = 1，有 ' 1 = ' 1 2 ' 1 2, ' 1 2 = 6.
求得 ' 1 = 6 2…….….……….………….………………………..……………..4分
（2） ' 1 = 2， ' 1 = 6 2
有 = 6 +1 2 + 2
' = 6 +1 2 + 2 ………………………………………………………………5分
令 = ' ， ' = 6 +1 + 2 > 0
所以 ' 在 上单调递增.
6
' 2 = 6 < 0， ' 1 = 2 > 0
故 ∈ 2, 1 使 ' = 0
∈ ∞, 时， ' < 0， 单调递减；
∈ , + ∞ 时， ' > 0， 单调递增.….….……….………….…………………7分
所以 +1 = = 6 2 + 2
又当 ∈ 2, 1 时，
6 +1 > 0， 2 + 2 > 0
所以， > 0，
故 > 0 恒成立. 在 上无零点.….….……….………….……………………….9分
（3）令 = 1 > 1
' = 1 > 0 时， > 0
所以 在 1,0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，所以 ≥ 0 = 0
故有 ≥ + 1…………………….○1 ….….……….………….……………11分
令 = + 1 + 2 ， > 1
1 + 1
' = 1 =
+ 2 + 2
> 1时， ' > 0
在 1, + ∞ 上单调递增, > 1 = 0
故有 + 1 > + 2 …………………………○2
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
由○1 ，○2 可得 > + 2 ….….……….………….………………………..……13分
6 +1 > 6 + 2
又 > 1时， 2 + 2 ≥ 1恒成立
所以 6 +1 2 + 2 > 6 + 2 1
即 > 6 + 2 1.….….……….………….………………………..………15分
18.（1） 同学参赛得分 所有取值为 0,4,8,12.
1
( = 0) =
4
3 2 1 3
( = 4) = × 2 4 =
4 36 20
3 1 2 9
( = 8) = × 2 4
4 3
=
6 20
3 0 3 3
( = 12) = × 2 4 =
4 36 20
所以 的分布列为
0 4 8 12
1 3 9 3
4 20 20 20
….….……….………….……………………………………………………..……………..4分
( ) = 3 × 3 × 4 × 4 = 6 , ( ) = 2 × 3 × 3 × 4 = 4.….….……….………….……6分
4 6 3 6
（2）①设乙选手在三次测试中得分为 ，则 所有取值为 0,4,8,12.
2 8
( = 0) = 03( )3 =3 27
( = 4) = 1
1
( )1
2 2 4
3 ( ) =3 3 9
( = 8) = 2
1
( )2
2 1 2
3 ( ) =3 3 9
( = 12) = 3
1 3 1
3( ) =3 27
的分布列为
0 4 8 12
4 2
8 1
27 9 9 27
………….………………………..……………………………………10分
②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为
则 所有取值为 0,4,8,12,14,18,22,24,28,32.
在甲选手已通过测试的条件下概率如下：
0 2 3 8 ( = 0) = 3( )3 = 27
1 1 2 ( = 4) = ( )1( )2
1 1
3 × 02( )23 3 2 = 9
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
1 2 1 1
( = 8) = 2 23( ) ( )1 × 02( )2 =3 3 2 18
1 1
( = 12) = 3( )3 × 0( )2
1
3 3 2
=
2 108
1 2 1 1 2
( = 14) = 1 1 23( ) ( ) × 12( )1( )1 =3 3 2 2 9
1
( = 18) = 2( )2
2 1 1 1 1 1( ) × ( ) ( )1
1
3 2 =3 3 2 2 9
1 1 1 1
( = 22) = 3( )33 × 1 12( ) ( )1 =3 2 2 54
1 2 1 1
( = 24) = 1( )13 ( )2 × 2( )2 =3 3 2 2 9
1 2 1 1
( = 28) = 23( )2( )1 × 2 23 3 2
( ) =
2 18
( = 32) = 3
1 3 1 1
3( ) × 2 23 2
( ) =
2 108
的分布列为
0 4 8 12 14 18 22 24 28 32
8 1 1 1 2 1 1 1 1 1
27 9 18 108 9 9 54 9 18 108
….….……….………….………………………..……………………………………15分
8 1 1 1 2 1 1 1
( ) = 0 × + 4 × + 8 × + 12 × + 14 × + 18 × + 22 × + 24 ×
27 9 18 108 9 9 54 9
1 1 298
+28 × + 32 × =
18 108 27
3 3 298 149
因为甲选手通过测试的概率为 ,所以总得分的期望为 × = .….….………………17分
4 4 27 18
②方法二（酌情赋分）：总得分设为 ，因为乙选手和丙选手得分分别服从二项分布，
( ) = 3 × 3 × 1则 × 4+ 3 × (1 8 ) × 2 × 1 × 10 = 149.
4 3 4 27 2 18
2
19.（1 ）因为椭圆 ： + 21 = 1，所以椭圆的左右两个焦点坐标为 1 5, 0 ， 2 5, 06
所以双曲线 的焦点坐标也是 1 5, 0 ， 2 5, 0 ，所以双曲线 中， 2 = 5
2 2
设双曲线 的方程是：
2
5 2
= 1
2 4
将点 2, 2 代入得： 2 2 = 1， 4 11 2 + 10 = 1， 5
化简得： 2 1 2 10 = 0，
解得： 2 = 1 或 2 = 10.
又因为 2 < 2，所以 2 = 10（舍）
2
所以双曲线 的标准方程是： 2 = 1.….….……….………….…………..4分
4
（2） 当直线 1, 2中有一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
直线 与 轴重合，不符合题意；
, 2 2 1 1当直线 1 2中有一条直线的斜率为 或 ，另一条直线的斜率为 或 时，2 2
直线 1, 2与渐近线无交点，不符合题意；
所以直线 1, 2均存在且不和渐近线平行. ….….……….………….………………6分
设 l1的方程为： = + ， 1, 1 ， 2, 2 ，
双曲线 的渐近线方程为： = 2 和 = 2
= + =
由 = 2 ，得 1 2 =
1 2 2
，所以 2 ，所以
, .
= 1 2 1 2
1 2
2
同理： , . ….….……….………….………………8分
1+2 1+2
2
, 4 . , 4 所以 2 2 同理： 2 2 ….….…………10分1 4 1 4 4 4
= 4
4 2
因为 、 、 三点共线，所以 ,
4 1 12 +1
1 4 2 1 4 2
， = ,
1 4 2 2 4 1 4 2 2
，
4
12 2 4
所以 +1 4 4 1 =
1 4 2 2 2
= 2 ，化简得： ；1 4 4 1 4 1 4 2 2 4 3
因为 = 2 ，所以
2
= ；….….…………….………………………..……………..13分3
4
因为 = = 2 3
= +2 = +2 3 +2 3 1所以 4 = +1 =
1
+1 +1 2 2 2 +1 2 2 +1 2 +1 ….….……….……15分 3
所以 = 3 1
1 3 1 1 3 1 1 3 1 1
2 1×2 2×22
+ + + +
2 2×22 3×23 2 3×23 4×24 2 2 +1 2 +1
3 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 + 2 3 + 3 + + 2 1 × 2 2 × 2 2 × 2 3 × 2 3 × 2 4 × 24 2 + 1 2 +1
3 1 1 3 3
= +1 = 2 2 + 1 2 4 + 1 2 +2
3 3
所以 = 4 +1 2 +2….….……….………….………………………..……………17分
{#{QQABLYSAggiIABIAABgCQQ0QCEIQkAGAAagOBBAcsAAAyANABAA=}#}
