试卷类型：A
高一年级考试
数学试题
2025.01
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合U={-2,-1,0,1,3),A={-1,0,1},则CuA=
A.{-2,-1,0,1}
B.{-2,1,3}
C.{0,1,3)
D.-2,3}
2.命题“Vx∈R,sinx+1≥0”的否定是
A.3x∈R,sinx+1<0
B.Vx∈R,sinx+1<0
C.3x∈R,sinx+1≥0
D.Hx∈R,sinx+1≤0
3.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
A.f(x)=sinx
B.f(x)=2
C.f(x)=
D.f(x)
4函数f(e)=2:-}4在0，+如)上的零点所在的区间为
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.3,4)
5.函数f(x)=(x+二)cosx的部分图象大致是
。
高一数学试题A卷第1页（共4页)
6.设a=28,b=lg4,c=1n4,则a,b,c的大小顺序为
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.c>a>b
7.已知x,y>0且x+y-2xy=0,则2x+y的最小值为
A.3-2V2
B.3-2V2
C.3+2V2
D.3+22
2
2
「2x
8.已知函数f(x)={x-1’
1
的值域为R,则实数a的取值范围是
2-log2(a2-3a+3),x≥1
A.(-∞，1]
B.[1,2]
C.[2,+∞)
D.(-,1]U[2,+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列选项中正确的是
A.若Va>vVb,则a>b
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C若a>b>0d>c>0,则经>号
D.若10.已知函数f(x)=V3sinx+cosx,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的2倍，纵
坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下列选项正确的是
A函数g(x)的图象关于(-20)对称
B.函数g(x)的图象与直线y=2的交点间的最小距离为2T
C两数g)在红-石号1止的最大值为2
D函数彩 )在[-智，-]止单调递增
1.已知函数f(x)=s,则下列选项正确的是
x2+1
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的零点为(k+2,0)keZ)
C.x∈[2k,2k+2](keN,都有f(x+2k)≤f(x)
D.f(x)在(2k,2k+1)(k∈N)上单调递减
高一数学试题A卷第2页（共4页）高 一 年 级 考 试
数学(A)试题参考答案及评分标准 2025.01
一、单项选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D A C C B B D D
二、多项选择题：
题 号 9 10 11
答 案 ACD ACD AC
三、填空题：
12. ( -∞, 14 ) (
1
4 ,
1
2 ] 13. -
3
2 14. 0
四、解答题：
15.（13分）
解：A = { x | 2x < 4 } = { x | x < 2 } ……………………………………………………… 2分
（1）a = -2时，B = { x | x2 + 4x + 3 < 0 }
= { x | -3 < x < -1 } ……………………………………………… 4分
∴ A B = { x | x < 2 } ………………………………………………………… 6分
（2）B = { x | x2 - 2ax + a2 - 1 < 0 }
= { x | ( x - a )2 < 1 }
= { x | a - 1 < x < a + 1 } …………………………………………………… 8分
∵“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件
∴ B A……………………………………………………………………… 10分
∴ a + 1 ≤ 2 ………………………………………………………………… 12分
∴ a ≤ 1 ……………………………………………………………………… 13分
16.（15分）
∵ tan α 1解：（1） 2 = 2
α 1
tan = 2 tan 2 = 2 ×α 21 =
4
3 ………………………………………………… 2分1 - tan2 α2 1 - 4
4 cos (α - π ) - cos α 4 sin α - cos α
又∵ 3 cos α + s2in (π + = …………………………………… 4分α ) 3 cos α - sin α
高一数学试题（A）参考答案 第 1 页 （共5页）
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}
= 4 tan α - 13 - tan ………………………………………………… 5分α
= 135 …………………………………………………………… 6分
1 tan = sin α 4（2）由（）知 α cos =α 3
又 sin2α + cos2α = 1,α ∈ (0, π2 )
∴ sin α = 45，cos
3
α = 5 …………………………………………………………… 8分
∵ α, β均为锐角
∴α - β ∈ ( - π π2 , 2 )………………………………………………………………… 9分
又∵ sin (α - β ) = 513
∴ cos ( 12α - β ) = 13 ……………………………………………………………… 11分
∴ cos β = cos [ α - (α - β ) ]
= cos α cos (α - β ) + sin α sin (α - β ) ………………………………… 13分
= 3 12 4 55 × 13 + 5 × 13
= 5665 …………………………………………………………………… 15分
17.（15分）
解：（1）当 x > 0时，-x < 0，
f ( - -3x 3xx ) = - - 1 = + 1 …………………………………………………… 2分x x
∵ f ( x )为奇函数
∴ ( -3xf x ) = -f ( -x ) = + 1 ………………………………………………… 4分x
ì 3x
- 1 ,x ≤ 0∴ f ( x ) = xí -3 ……………………………………………………… 5分 x ,x > 0
x + 1
（2）任取 x1 , x2 ∈ [ 0, + ∞ )，且 x1 < x2
f ( x1 ) - ( -3xf x ) = 12 + 1 -
-3x2 = 3( x2 - x1 )
x1 x2 + 1 ( x1 + 1 )( + 1 ) ……………………… 7分x2
∵ 0 ≤ x1 < x2
高一数学试题（A）参考答案 第 2 页 （共5页）
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}
∴ x2 - x1 > 0, x1 + 1 > 0 , x2 + 1 > 0
∴ 3( x2 - x1 )( + 1 )( + 1 ) > 0 ……………………………………………………… 8分x1 x2
∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0
∴ f ( x1 ) > f ( x2 )
∴ f ( x )在 [ 0, + ∞ )上单调递减 ……………………………………………… 9分
（3）∵ f (m - 3x2 ) + f (2x2 - 4x - 3 ) ≥ 0恒成立
∴ f (m - 3x2 ) ≥ -f (2x2 - 4x - 3 )恒成立
又∵ f ( x )为奇函数
∴ f (m - 3x2 ) ≥ f ( -2x2 + 4x + 3 )恒成立 ………………………………… 11分
由（2）知 f ( x )在 [ 0, + ∞ )上单调递减，且 f ( x )为奇函数
∴ f ( x )在R上单调递减 …………………………………………………… 12分
∴ m - 3x2 ≤ -2x2 + 4x + 3恒成立
∴ m ≤x2 + 4x + 3恒成立 ………………………………………………… 13分
令h ( x ) = x2 + 4x + 3 = ( x + 2 )2 - 1
当 x = -2时，h ( x )取得最小值-1 …………………………………………… 14分
∴ m ≤ -1…………………………………………………………………… 15分
18.（17分）
解：（1）设扇形空地MON所在圆半径为 r，扇形孤长为 l
ì 20π
2r + l = 40 + 3
由题意知 í
1 = 200π rl
2 3
ì r = 20 ì = 10π
解得 í = 20π
r
或 í 3 ………………………………………………… 3分
l
3 l = 40
ì = 10π r 40 12
当 í 3 时，圆心角∠MON = 10 = π > π，不符合题意 …………… 4分
l = 40 3 π
r = 20 20ì π
π
当 í = 20π时，圆心角∠MON = 3 l 3 20
= 3，符合题意
∴ π扇形空地MON的半径为20米，圆心角为 3 …………………………… 5分
高一数学试题（A）参考答案 第 3 页 （共5页）
{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}
π
（2）（i）由（1）知，∠MON = 3，则α ∈ (0,
π
6 )
在Rt△COE中，OE = 20 cos α,CE = 20 sin α，则BF = 20 sin α……………… 6分
π BF
在Rt△BOF中，∠BOF = 6 ,OF = π = 20 3 sin αtan 6
∴ EF = OE - OF = 20 cos α - 20 3 sin α ………………………………… 8分
∴ S = 2BF·EF = 40 sin α (20 cos α - 20 3 sin α )
= 800 sin α cos α - 800 3 sin2α
= 400 sin 2α - 400 3 (1 - cos 2α )
= 400 sin 2α + 400 3 cos 2α - 400 3 ……………………………… 11分
= 800 sin (2 πα + 3 ) - 400 3 ………………………………………… 13分
π π π 2π
（ii）由（i）知，当α ∈ (0, 6 ),2α + 3 ∈ ( 3 , 3 ) …………………………… 14分
当2α + π3 =
π
2 时，即α =
π
12时，Smax = 800 - 400 3 …………………… 16分
∴当α = π12时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为800 - 400 3平方米
……………………………………………………………………………… 17分
19.（17分）
解：（1）∵ f ( x )为奇函数，且定义域为R
∴ f ( -x ) = -f ( x )
∴ aex + e-x = -ae-x - ex………………………………………………………… 2分
∴(a + 1 )(ex + e-x ) = 0
∴ a = -1 ……………………………………………………………………… 4分
（2）∵ f ( x ) ≥ a + 1恒成立
∴ ae-x + ex ≥ a + 1恒成立
∴ a (ex - 1 ) ≤ ex (ex - 1 )恒成立 ……………………………………………… 6分
又∵ x ∈ (0, + ∞ )
∴ ex - 1 > 0
∴ a ≤ ex恒成立 ……………………………………………………………… 7分
又∵ ex > 1
∴ a ≤ 1………………………………………………………………………… 8分
（3）∵ g ( x ) = ex (aex - 1 ) = ae2x - ex……………………………………………… 9分
设h ( x ) = g ( -x ) + g ( x ) = ae2x - ex + ae-2x - e-x
= a (e2x + e-2x ) - (ex + e-x )…………………………………………… 10分
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{#{QQABaYKp4gKYgASACR5qUQUAC0iQsIKiJWgERRCYOAQCSRFIFIA=}#}
令 t = ex + e-x,则t ≥ 2 ex·e-x = 2，当且仅当 x = 0取到等号
∴ e2x + e-2x = t2 - 2
设m ( t ) = at2 - t - 2a且 t ∈ [ 2, + ∞ ) ……………………………………… 11分
令m ( t ) = 0 = t，得a = 1
t2 - 2 t - 2
t
令φ ( t ) = 1 ，t ∈ [ 2, + ∞ )
t - 2
t
又∵ φ ( 1t ) = 2 在 [ 2, + ∞ )上单调递减
t -
t
∴ φ ( t ) ∈ (0,1 ] ……………………………………………………………… 12分
当 a > 1或 a ≤ 0时，y = φ ( t )与y = a无交点，m ( t )无零点，h ( x )无零点，方程无根
…………………………………………………………………………………… 13分
当a = 1时，t2 - t - 2 = 0
∴ t = 2或 t = -1（舍）
∵ t = ex + e-x = 2只有 x = 0一个解
∴ h ( x )只有一个零点，方程有一个根 ……………………………………… 14分
0 < < 1 ( ) ∈ [ 2, + ∞ ) = 1 + 1 + 8a2当 a 时，m t 在 t 上有零点 t 2 > 2a
先证 t = ex + e-x在 [ 0, + ∞ )上单调递增
任取 x1,x2 ∈ [ 0, + ∞ )且 x1 < x2，
t - t =ex1 + e-x x -x1 2 1 - e 2 - e 2
=(ex1 - ex2 ) (1 - 1 )
ex1ex2
(ex1 - ex2 ) (ex1ex2 - 1 )
=
x1 x2
∵0 ≤ e ex1 < x2
∴ ex1 - ex2 < 0,ex1ex2 - 1 > 0
∴ t1 - t2 < 0
∴ t = ex + e-x在 [ 0, + ∞ )上单调递增 ……………………………………… 15分
又∵ t = ex + e-x为偶函数
∴ t = ex + e-x在 ( -∞,0 )上单调递减
∴ 1 + 1 + 8a2ex + e-x = 2 有两个互为相反数的根a
∴此时h ( x )有2个零点，方程有两个根 …………………………………… 16分
综上，a > 1或a ≤ 0时，方程无根；
当a = 1时，方程有一个根；
当0 < a < 1时，方程有两个根 .……………………………………………… 17分
高一数学试题（A）参考答案 第 5 页 （共5页）
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