2024-2025学年上海南汇中学高二上学期数学月考试卷 （2024.12）（含答案）

南汇中学2024学年第一学期高二年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分）
1．在等差数列中，，公差，则________．
2．为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该实验中基本事件共有________个．
3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的众数是________．
4．某班级有4名校志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的活动场所进行志愿服务，则不同的选择办法共有________种．
5．若，则________．
6．设，则________．
7．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．
8．在的展开式中的系数为20，则常数________．
9.已知数列的前n项和为则的通项公式为_______.
10．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．
11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列．现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为________．
12．已知数列满足：，（，），，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为________．
二、选择题（本大题共4题，每小题3分，满分12分）
13．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ）
A．40 B．36 C．34 D．32
14．若，，，则事件与事件的关系是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立
15．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：21、22、23、25、28、29、30、30；
乙：14、16、23、26、28、30、33、38．
则下列描述合理的是（ ）
A．甲队员每场比赛得分的平均值大 B．乙队员每场比赛得分的平均值大
C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定
16．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手链胜两盘的概率为，则（ ）
A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大
三、解答题（共5题，17~18题8分，19题10分，20题12分，21题14分）
17．某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为，第五组的频数为12．
（1）该样本的容量是多少？
（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；
（3）该样本的第75百分位数在第几组中？
18．在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产，，三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）
纪念品 纪念品 纪念品
精品型 100 150
普通型 300 450 600
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中种纪念品有40个．
（1）从种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：、、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值；
（2）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率．
19．（1）求的二项展开式的中间项；
（2）若，且，求（，）中的最大值．
20．等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）取最小值时，求序号的值；
（3）求数列的前16项的和．
21．莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用，所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，，2，…，），例如：，对应，，，，，，．现对任意，，定义莫比乌斯函数
（1）求，；
（2）记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，，…，，
①若，求；
②若且，求．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.；
9.； 10.； 11.； 12.；
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列．现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为________．
【答案】4
【解析】由题意得，
以上个式子累加可得
又
，因60-56=4.故答案为：4.
12．已知数列满足：，（，），，若前2010项中恰好含有666项为0，则的值为________．
【答案】
【解析】当时，数列数列的各项为,
所以在前2010项中恰好含有项为0;
当时，数列数列的各项为,
所以在前2010项中恰好含有项为0,即有669项为0;
当时,数列数列的各项为,
所以在前2010项中恰好含有项为0;
当时,数列数列的各项为,
所以在前2010项中恰好含有项为0;即有668项为0;
当时,数列数列的各项为,
所以在前2010项中恰好含有项为0;
由上面可以得到当或时，在前2010项中恰好含有667项为0;
当或时,在前2010项中恰好含有666项为0;故答案为8或9.
二、选择题
13.D； 14.C； 15.C； 16.D
15.某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：21、22、23、25、28、29、30、30；
乙：14、16、23、26、28、30、33、38．
则下列描述合理的是（ ）
A．甲队员每场比赛得分的平均值大 B．乙队员每场比赛得分的平均值大
C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定
【答案】C
【解析】甲队员得分的平均值为
乙队员得分的平均值为
故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等，故选项错误;
甲队员得分的方差为
乙队员得分的方差为
所以甲队员的成绩比较稳定,故选项正确,选项错误。故选:.
16．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手链胜两盘的概率为，则（ ）
A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大
【答案】D
【解析】选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以受比赛次序影响，故错误；设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为盘与丙比赛连赢两盘的概率为，
同理可得，,
最大。故选:.
三、解答题
17.（1）96 （2）成绩落在中的人数最多,该小组的频率为 （3）第4组
18.（1）4 （2）
19.（1） （2）241805655
20.等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）取最小值时，求序号的值；
（3）求数列的前16项的和．
【答案】（1） （2）4 （3）160
【解析】（1）等差数列的前项和记为，已知,且成等差数列,设等差数列的公差为,由题可得:
解得,所以;
（2）由,可得,解得
因为，所以时，取得最小值时，；
(3)由(1)可知，均为负数，且从开始,后面每一项均为正数,故
故数列的前16项的和.
21.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用，所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，，2，…，），例如：，对应，，，，，，．现对任意，，定义莫比乌斯函数
（1）求，；
（2）记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，，…，，
①若，求；
②若且，求．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）
（2）①
②设为偶数，的所有因数除1外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有.种结果，