南汇中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.12
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)
1.已知集合,,则________.
2.若复数满足,则在复平面内对应的点位于第________象限
3.已知,则________.
4.在等比数列中,,,则的前5项和为________.
5.在中,角、、的对边分别为、、,若、、,则________.
6.已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则图中所代表的数值是________.
7.(为正整数)的二项展开式中,若第三项与第五项的系数相等,则展开式中的常数项为________.
8.已知圆与圆外切,则的最大值
为________.
9.已知函数,,若方程有两个不等实根,则实数的取值范围为________.
10.已知函数,若实数、满足,且,则________.
11.平行四边形中,,沿将四边形折起成直二面角,且,则三棱锥的外接球的表面积为________.
12.对于二元函数,表示先关于求最大值,再关于求最小值.已知平面内非零向量,,,满足:,,记,则________.
二、选择题(共有4题,满分18分,其中第13、14题每题4分,第15、16题每题五分)
13.一组数据按从到大的顺序排列为2、4、、13.16.17,若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的40百分位数是( )
A.4 B.4.5 C.9 D.5
14.设,则方程的解集为()
A. B.
C. D.
15.设函数,其中是一个正整数,若对任意实数,均有
,,则的最小值为()
A.6 B.7 C.8 D.9
16.焦点为的抛物线与圆交于、两点,其中点横坐标为,方程的曲线记为,是圆与轴的交点,是坐标原点.有下面的四个命题,请选出所有正确的命题:________.
①对于给定的角,存在,使得圆弧所对的圆心角;②对于给定的角,存在,使得圆弧所对的圆心角;③对于任意,该曲线有且仅有一个内接正;④当时,存在面积大于2024的内接正.
A.①②③ B.①②③④ C.①② D.②③④
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
17.(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分.
小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,每个路口遇到红灯的概率都是.
(1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯,而在第二个路口遇到红灯的概率;
(2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率.
18.(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,已知圆锥底面圆的半径,直径与直径垂直,母线与底面所成的角为.
(1)求圆锥的侧面积;
(2)若为母线的中点,求二面角的大小(结果用反三角函数值表示).
19.(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数,,函数的图像关于轴对称.
(1)求的值,并求函数的单调减区间;
(2)当若存在,使等式成立,求实数的取值范围.
20.(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆过点,且的左焦点为,直线与交于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,且点的坐标为,求直线的斜率;
(3)若,其中为坐标原点,求面积的最大值.
21(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知函数,函数的导函数,且,其中为自然函数的函数.
(1)求的极值;
(2)若存在,使得不等式成立,试求实数的取值范围;
(3)当时,对于任意,求证:
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;
11.平行四边形中,,沿将四边形折起成直二面角,且,则三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】平行四边形中,
沿折成直二面角,将四边形折起成直二面角,
平面平面,三棱锥的外接球的直径为,
外接球的半径为1,故表面积是.
12.对于二元函数,表示先关于求最大值,再关于求最小值.已知平面内非零向量,,,满足:,,记,则________
【答案】2
【解析】记,则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍,即射线的斜率为.设.
记,则,
所以.
先让不变,变化,即点固定,点变化,那么,
其中,接着再让变化,即点变化,求的最小值.
因为,当且仅当时取得等号,
综上.
二、选择题
13.D; 14.D; 15.B; 16.A
15.设函数,其中是一个正整数,若对任意实数,均有
,,则的最小值为()
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】函数
若对任意实数,均有
则函数的最小正周期,即,而,于是,即,
所以的最小值为7.故选B.
16.焦点为的抛物线与圆交于、两点,其中点横坐标为,方程的曲线记为,是圆与轴的交点,是坐标原点.有下面的四个命题,请选出所有正确的命题:________.
①对于给定的角,存在,使得圆弧所对的圆心角;②对于给定的角,存在,使得圆弧所对的圆心角;③对于任意,该曲线有且仅有一个内接正;④当时,存在面积大于2024的内接正.
A.①②③ B.①②③④ C.①② D.②③④
【答案】A
【解析】抛物线与圆有两个公共点,需,
当变化时弧所对圆心角可以取到内的所有值,
存在,使得圆弧所对的圆心角,
也存在使得圆弧所对的圆心角,故①②正确;
对于③,为正三角形,则有,设,
若都在抛物线上时,有,所以有,,,
所以点两点关于经轴对称,同理可证,,两点在圆上时,
也可证明点两点关于经轴对称.由抛物线与圆的关于轴对称,不为圆的圆心,
所以不在一个点在抛物线上,一个在圆上的情况,于是轴,所以直线,
直线,与抛物线的交点为,当圆过该点时可得,
所以随着从1(取不到1)开始逐渐变到13时,在圆上,面积堕着的增大,
三角形的面积从(取不到)逐渐增大,增大到,当圆的半径大于13时,
均在抛物线上,正不再随着的变化而变化.所以面积不变.所以③正确,④不正确。故选A.
三、解答题
17.(1) (2)
18.(1) (2)
19.(1) (2) (3)
20.(1) (2) (3)
21.已知函数,函数的导函数,且,其中为自然函数的函数.
(1)求的极值;
(2)若存在,使得不等式成立,试求实数的取值范围;
(3)当时,对于任意,求证:
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)函数的定义域为,
当时,,在上为增函数,没有极值;
当时,,若时,;若
存在极大值,且当时,
综上可知:当时,没有极值;当时,存在极大值,
且当时,
(2)函数的导函数,又,
,使得不等式成立,,使得成立,令,
则问题可转化为:对于,
由于,当时,
,从而在上为减函数,
(3)当时,,令
则,,且在上为增函数,
设的根为,则,即,
当时,在上为减函数;
当时,在上为增函数,
由于在上为增函数,