2024-2025学年上海南汇中学高三上学期数学月考试卷（2024.12）（含答案）

南汇中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．已知集合，，则________.
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于第________象限
3．已知，则________.
4．在等比数列中，，，则的前5项和为________.
5．在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则________.
6．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中所代表的数值是________.
7．（为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为________．
8．已知圆与圆外切，则的最大值
为________.
9．已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为________．
10．已知函数，若实数、满足，且，则________．
11．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________.
12．对于二元函数，表示先关于求最大值，再关于求最小值．已知平面内非零向量，，，满足：，，记，则________.
二、选择题（共有4题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题五分）
13．一组数据按从到大的顺序排列为2、4、、13．16．17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ）
A．4 B．4.5 C．9 D．5
14．设，则方程的解集为（）
A． B．
C． D．
15．设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有
，，则的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
16．焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点．有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：________．
①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；④当时，存在面积大于2024的内接正．
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是．
（1）求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率；
（2）求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）若为母线的中点，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，，函数的图像关于轴对称．
（1）求的值，并求函数的单调减区间；
（2）当若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆过点，且的左焦点为，直线与交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且点的坐标为，求直线的斜率；
（3）若，其中为坐标原点，求面积的最大值．
21（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，函数的导函数，且，其中为自然函数的函数．
（1）求的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围；
（3）当时，对于任意，求证：
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】平行四边形中,
沿折成直二面角,将四边形折起成直二面角,
平面平面,三棱锥的外接球的直径为,
外接球的半径为1,故表面积是.
12.对于二元函数，表示先关于求最大值，再关于求最小值．已知平面内非零向量，，，满足：，，记，则________
【答案】2
【解析】记,则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.设.
记,则,
所以.
先让不变,变化,即点固定,点变化,那么,
其中,接着再让变化,即点变化,求的最小值.
因为,当且仅当时取得等号,
综上.
二、选择题
13.D； 14.D； 15.B； 16.A
15.设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有
，，则的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】函数
若对任意实数,均有
则函数的最小正周期，即，而，于是，即，
所以的最小值为7.故选B.
16.焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点．有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：________．
①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；④当时，存在面积大于2024的内接正．
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③④
【答案】A
【解析】抛物线与圆有两个公共点，需，
当变化时弧所对圆心角可以取到内的所有值，
存在,使得圆弧所对的圆心角,
也存在使得圆弧所对的圆心角,故①②正确;
对于③,为正三角形，则有,设，
若都在抛物线上时,有,所以有,,,
所以点两点关于经轴对称,同理可证,,两点在圆上时，
也可证明点两点关于经轴对称.由抛物线与圆的关于轴对称，不为圆的圆心，
所以不在一个点在抛物线上，一个在圆上的情况，于是轴,所以直线,
直线,与抛物线的交点为,当圆过该点时可得,
所以随着从1(取不到1)开始逐渐变到13时,在圆上,面积堕着的增大，
三角形的面积从(取不到)逐渐增大，增大到,当圆的半径大于13时,
均在抛物线上,正不再随着的变化而变化.所以面积不变.所以③正确，④不正确。故选A.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20.（1） （2） （3）
21.已知函数，函数的导函数，且，其中为自然函数的函数．
（1）求的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围；
（3）当时，对于任意，求证：
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】(1)函数的定义域为,
当时，,在上为增函数,没有极值;
当时,,若时,;若
存在极大值,且当时,
综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值,
且当时,
(2)函数的导函数,又,
,使得不等式成立，，使得成立，令,
则问题可转化为:对于,
由于,当时,
,从而在上为减函数,
(3)当时,,令
则,,且在上为增函数，
设的根为,则,即,
当时,在上为减函数;
当时,在上为增函数,
由于在上为增函数,