2024-2025学年上海七宝中学高二上学期数学月考试卷（2024.12）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题共12题，满分54分）
1.斜线与平面所成角的范围为 .
2.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的____条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “不充分不必要”）
3.已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
4.如图，在正三棱柱中，．若二面角的
大小为，则侧棱长为 ．
5.给出下列命题：
①平行六面体是斜四棱柱；
②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱.
其中正确的是个数是 .
6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若
侧面水平放置时，液面恰好过的四等分
点处，，当底面水平放置时，液面高为 .
7.空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别
为和的中点，则异面直线和所成角的大小是________．
8.对下列命题：①三条两两相交的直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、
与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另
一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是 .（填
上所有真命题序号）
9.在正方体 中，点是平面内一动点，满足，设直
线与平面所成角的最大值为________.
10.如图，在棱长为1的正方体中，点，分别
是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ．
11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，
且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ．
12.如图，矩形中，，，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 .
二、选择题(本大题共有题，满分18分)
13.是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
15.已知平面，直线,点，平面之间的距离为 ，则在内到点的
距离为且到直线的距离为的点的轨迹是 （ ）
A．圆 B．两个点 C．四个点 D．两条直线
16.在正三棱柱 中，，点满足，其中
，对于下列两个命题：①当时，有且仅有一个点，使得；
②当时，有且仅有一个点，使得⊥平面，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题；
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，
且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）设与交于点，求证：、、三点共线．
18.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，高为，
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求与平面所成角的大小.
20.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第三小题满分8分）
已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将
沿折起，使得点到达点的位置.
(1)证明： ；
(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；
(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围
21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第三小题满分8分）
在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点
，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右
侧，在的上方)，直线与相交于点.
⑴设的两焦点为，求的值；
⑵若，且，求点的横坐标；
⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若
存在，求出点的坐标，否则，说明理由.
参考答案
一、填空题
1.； 2.必要不充分； 3.； 4.； 5.1； 6.； 7.或；
8.③④； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，
且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由平面，面，则面，面，
所以，又且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形，
故，则△、△都为等腰直角三角形，
将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1，
所以，在等边△中E是CD中点，
故，过M作面ACD垂线交面于N，且面，面，
则，因为，面，面，故，
又，面，故面，面，
所以，面面，面面，且，
易知：过M作面ACD垂线在面内，即面，而面，
综上，点必在对角线上，且与所成角为，，
则，在中，令，由，
故，.
二、选择题
13.D； 14.C； 15.C； 16.A
三、解答题
17.（1）证明略 （2）证明略
18.（1）证明略 （2）存在，理由略 （3）
19.（1） （2） （3）
20.已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置.
(1)证明： ；
(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；
(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围.
【答案】（1）证明略 （2） （3）
【解析】（1）证明：取中点，连结、,由四边形为菱形可知，，，,平面，
（2）因为菱形的面积为，得，，，
又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，
故点到平面的距离为，
（3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接，
，，同理，
∵，平面，所以平面，
故点的轨迹长度即为的周长.
由于，，，
且二面角的大小平面角，
∵，∴，，
则，，所以点的轨迹长度的取值范围为.
21.在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点
，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右
侧，在的上方)，直线与相交于点.
⑴设的两焦点为，求的值；
⑵若，且，求点的横坐标；
⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若
存在，求出点的坐标，否则，说明理由.
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）；
（2）若，设的两点坐标为，
而在椭圆上，
代入椭圆方程得 ，解得，，得，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，点的横坐标为；
（3）假设存在这样的点，设直线的方程为，点的坐标为，联立，得，
由，得，由，
可得，
直线的方程为，直线的方程为，
得
得,因此，存在点，使得点的纵坐标为.