期末模拟测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册北师大版

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期末模拟测试卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．如图，箭头方向为主视方向，则该几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
3．二次函数的一次项系数为（　　）
A．2 B． C．6 D．
4．已知，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
7．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
10．已知y是x的反比例函数，并且当时，，求当时， ．
11．如图中，点是中点，连接交于点，若的面积为，则的面积为
12．如图，在的边上取点D，作交于点E，且，若，，，则的长是 ．
13．如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ．
14．如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒．
15．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面
16．如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
(1)求每次下降的百分率；
(2)若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？
19．已知关于的方程
(1)当为何值时，此方程有实数根．
(2)若此方程的两实数根，满足，求的值．
20．如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
21．如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
22．如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的长．
23．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
24．如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，则在点E的运动过程中：①当当　　时，四边形是矩形；②当　　时，四边形是菱形．
25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
(2)观察图像直接写出时的取值范围是______；
(3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A D A C B D D B
1．A
【分析】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从左面看到的图形是左视图．
根据左视图的定义和画法进行判断即可．
【详解】解：从左面看，可得到A选项的图形（其中看不见的棱画成虚线）．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意；
B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意；
C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意；
故选：A
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，把二次函数化为一般形式，即可求出一次项系数．
【详解】解：，
所以，一次项系数是，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得．
【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意；
B、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
C、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
D、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量+增长率，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据去年投入2500万元，预计明年投入3600万元即可得出方程．
【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，
今年投入教育经费万元，
明年投入教育经费
那么可得方程，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴此函数的图象位于一、三象限，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴为等边三角形，，则，
故①②正确；
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
故③④正确，
综上，正确的有4个，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表可得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种，
∴能让灯泡发光的概率为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③．
【详解】
解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点D关于直线的对称点点F在边上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
假设成立，
∵与不平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，则，
∴，
显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，
∴不成立，故②不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③符合题意，
故选：B．
10．3
【分析】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练的求解解析式是解本题的关键．首先设出函数解析式，再利用待定系数法把，代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的值，求得y的值．
【详解】解：设函数解析式为：，
把，代入，得，
∴．
把代入，
故答案为：3．
11．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由四边形是平行四边形，易证得，又由点是中点，的面积为，即可根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得的面积，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
的面积是，
，
，
，
，
故答案为：
12．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据题意得到，再由相似三角形的性质求出的长，最后根据即可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于，
由旋转可得：，，，
，，
，，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
的最小值为2，
故答案为：2．
14．1
【分析】根据动点P以的速度移动，动点Q以的速度移动，运动时间为 ，则，，，根据三角形面积列式解答即可．
本题考查了三角形的面积，解方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，比大，舍去
故
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
16．
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
先证得，根据相似三角形的性质得出，则，得出．
【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键．
（1）直接因式分解即可求解．
（2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
18．(1)每次下降的百分率为
(2)这种品牌的手机10月份售价为每部1280元
【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量．
（1）直接代入增长率模型公式即可求解；
（2）将9月份的量代入公式计算即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：每次下降的百分率为．
（2）（元）
答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，且，
∴，
解得．
（2）解：是方程的两个根，
则，，
∵，
∴，
∴，
解得．
20．，
【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
21．(1)1秒
(2)2秒
(3)或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解；
（2）由勾股定理得：，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（）
此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：，（舍）．
（2）解：设经过秒后，的长度等于，
由，得，
解得：（舍去），．
答：2秒后，的长度为．
（3）解：当时，
即，解得
当时，
，
即，
解得，
或．
22．(1)证明见详解；
(2)；
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为4，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
23．(1)，见解析；
(2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
24．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）证，得，再由，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出．
【详解】（1）证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：①．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，即当时，四边形是矩形；
②．
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，即当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键．
25．(1)反比例函数的表达式：；一次函数的表达式：
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和反比例函数式，图像法求不等式取值范围，等腰三角形性质即勾股定理．
（1）根据题意将坐标代入中即可求出反比例函数式，继而求出的值，再将坐标代入中即可求出一次函数解析式；
（2）根据图像交点即可得到本题答案；
（3）分三种情况找到点，一个点在轴负半轴时，另两个点在轴正半轴时，再利用勾股定理及等腰三角形性质即可求出本题答案．
【详解】（1）解：根据题意将点坐标代入中得：，
∴反比例函数的表达式：，
∵点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
∴将点，点代入中得：
，解得：，
∴一次函数的表达式：；
（2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，
∵点，点，
通过图象可知：
，
当或时，；
（3）解：∵点，
∴，
∵为轴上一动点，
∴过点作轴，是以为腰的等腰三角形，
，
∴当在轴正半轴时，，
∴，即，
∴当在轴负半轴时，，
∴，
∴当在轴正半轴时，，
∴，
综上所述：点的坐标为或或．
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