1.5 数学归纳法 课件（共16张PPT） 2024-2025学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册

(共16张PPT)
1.5 数学归纳法
第一章 数列
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
你玩过多米诺骨牌吗？你能发现它有什么特点？
图二：后续的多米诺骨牌会依次倒下吗？
图一：图中的多米诺骨牌会倒下吗？
思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？
1）使开头的第一块倒下
2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下
多米诺骨牌问题中蕴含着什么样的数学思维呢？
数学归纳法
知识梳理
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立；
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
【例1】用数学归纳法证明
1－＋…＋＝＋…＋(n∈N*)．
解：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即
1－＋…＋＝＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋.
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
方法归纳
【例2】用数学归纳法证明：＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.
明显<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立，
即＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋…＋<1－
＝1－＝1－<1－＝1－.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
方法归纳
【例3】已知数列{an}满足 ，a1=0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
解：由 ，a1=0，得
归纳上述结果，可得猜想 .
用数学归纳法证明这个猜想：
（1）当 n =1时，左边=a1= 0，右边= ，等式成立；
（2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立.
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知猜想 对于任意正整数n都成立.
方法归纳
“归纳—猜想—证明”的一般环节
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是数学归纳法？
2.如何用数学归纳法证明一些简单的数学命题？
命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立
若 n = k (k∈N+，k ≥ n0) 时命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立
验证当 n = n0 时命题成立
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N+)，验证n=1时，左边应取的项是(　　)
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
D
C
3.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为_________________________.
4.用数学归纳法证明:+…+.假设n=k时,不等式成立，则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　 　　　　.
(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
+…+