1.4 数列在日常经济生活中的应用 课件(共18张PPT)2024-2025学年北师大版(2019)高中数学选择性必修第二册

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名称 1.4 数列在日常经济生活中的应用 课件(共18张PPT)2024-2025学年北师大版(2019)高中数学选择性必修第二册
格式 pptx
文件大小 528.9KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-01-23 14:24:42

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文档简介

(共18张PPT)
1.4 数列在日常经济生活中的应用
第一章 数列
1.了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系.
2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题.
储蓄贷款与国计民生、社会生活发展息息相关,大到支援国家建设,小到个人家庭的财政支出管理,处处都嵌套着数列的应用.
问题1:在《白毛女》中,杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子,二十五块钱驴打滚的账”,结果永远也还不上,这里的“驴打滚的账”,你知道是怎么回事吗?现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢?
“驴打滚”问题实际上是利滚利问题,本利越滚越多,所以永远还不上,与银行中的复利问题相似.
知识梳理
单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息= 本金×利率×存期.
(1)单利计算公式:
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有 .
S=P(1+nr)
复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 .
S=P(1+r)n
(2)复利计算公式:
注意:复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.
【例1】某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30日都在银行中存入2 000元,连续存5年,有以下两种存款的方式:
(1)如果按5年期零存整取计,即每存入a元,按a(1+n·6.5%)计算本利(n为年数);
(2)如果按每年转存计,即每存入a元,按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数).
请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高?
解:若不计复利,5年的零存整取本利是
2 000(1+5×0.065)+2 000(1+4×0.065)+…+2 000×(1+0.065)=11 950(元);
若计复利,则2 000(1+0.057)5+2 000(1+0.057)4+…+2 000(1+0.057)
≈2 000×≈11 860(元).
所以,第(1)种存款方式到期的全部本利较高.
【例2】某家庭打算10年以后新买一套住房,决定以一年定期的方式存款,计划从2016年起每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2024年初将所有存款和利息全部取出,则这个家庭共取回多少元?
解:设从2016年年初到2024年年初的本利和组成数列{an},到2024年为止,把2016年末存款的本利和看作a1,则2023年末存款的本利和为an,
所以这个家庭应取出的钱数为
【例3】某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了多少钱
解:因为购买设备时已付150万元,所以欠款为1 000万元,
依据题意,知其后应分20次付款,
则每次付款的数额顺次构成数列{an},且a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,…,
an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20,n∈N+),
所以数列{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,
所以a10=60-9×0.5=55.5,S20==1 105.
所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了1 255万元.
【例4】程先生买了一套总价为80万元的住房,首付30万元,其余50万元向银行申请贷款,贷款月利率0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30年还清.问程先生每月应还款     元(精确到0.01元).(参考数据1.005360≈6.022 6)
(注:如果上个月欠银行贷款a元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额x元,此时贷款余额为a(1+0.5)%-x元)
2 997.75
解析:设程先生在第n个月还款后还欠银行贷款an万元,每月固定还款x万元,则an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50,
设an+k=1.005(an-1+k),
即an=1.005an-1+0.005k,
所以0.005k=-x,即k=-200x,{an-200x}是公比为1.005的等比数列,
即an-200x=(a0-200x)·1.005n.
由a360=0得0-200x=(50-200x)·1.005360.
解得x≈0.299 775,即每月还款2 997.75元.
分期付款模型:
(1)每期按复利计算;
(2)每期付款,各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计,应等于贷款及贷款到最后一次付款时所生的利息之和.
归纳总结
根据今天所学,回答下列问题:
1.单利计算公式和复利计算公式?
2.如何解决“分期付款”问题?
1.李明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息和为________万元.(精确到0.001)
2.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为5‰,每月复利一次,则a,b满足(  )
A.b= B.b=
C.b= D.6.246
D
3.某人从2017年起,每年7月1日到银行新存入a元一年定期,若年利率r保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2024年7月1日,将所
有的存款及利息全部取回,他可取回的总金额是____________________元.
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