期末模拟测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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期末模拟测试卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D．冬天的某一天一定会下雪．
2．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．π D．2
8．如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题
10．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
11．一元二次方程有两根，则 ．
12．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
13．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ．
14．如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
15．如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ．
16．已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么 ．（填“”、“”或“”）
17．下列关于抛物线（为常数，且）的四个结论：
若，则抛物线与直线没有公共点；
若，则当时，随的增大而增大；
若抛物线与轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间；
设抛物线的顶点为，为坐标原点，在的值变化过程中，的最小值为．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
(2)体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
20．在中，是直径，弦，垂足为点E，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
21．又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱．
(1)若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量；
(2)要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？
22．在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）．
(1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π）
(2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；
(3)设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论．
23．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”
(1)函数①；②；③，其中函数______是在上的“美好函数”；（填序号）
(2)已知函数．
①函数G是在上的“美好函数”，求a的值；
②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值；
(3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得求a的值．
24．已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．
(1)填空：　 　；
(2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值；
(3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
25．如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
(1)求证：；
(2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
(3)求的半径．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D B D A A A B B
1．B
【分析】本题考查了随机事件．解题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此逐项进行判断即可．
【详解】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义
A、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故此选项错误，不符合题意；
B、13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，故此选项正确，符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项错误，不符合题意；
D、明天一定会下雨，是随机事件，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：由得，
∴或，
解得，，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了赠送礼物问题，解题关键是理解题意，本题根据每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，那么x人，每人都赠送了张，据此列出方程即可．
【详解】解：∵每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，
∴
故选：B ．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”的规律是解题关键．根据向右平移2个单位，自变量减2，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为，
故选：D．
5．A
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，
他们恰好从同一出口走出的概率是，
故选：．
6．A
【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点为弧的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果．
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵点为中点，即，
∴，
∴，
故选A．
7．A
【分析】本题考查了扇形的面积公式：为圆心角的度数，为圆的半径）和三角形的面积公式，利用特殊面积求出一般图形面积是解题关键．根据的半径，，得出的面积，再求出扇形面积，进而得出阴影部分面积．
【详解】解：的半径为2，，
的面积，
扇形面积，
图中阴影部分的面积扇形面积的面积，
故选：A
8．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键．
①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误．
【详解】解：①∵，
∴
∵，
∴故①错误；
②由图象可知：时，；
即，故②正确；
③由图象可知，
∴，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
④由图象可知：时，，
又，
即，
∴，
∴故④错误．
10．且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为．
根据题意计算，求解即可；
【详解】
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且
11．3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于，代入求值即可．
【详解】解：一元二次方程中，
，，
∴，
故答案为：3．
12．/0.6
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可．
【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础． 首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果．
【详解】连接，，
，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：正八边形和正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
15．16
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
，
点在以为直径的上，
，
，
当点、、共线时最小，
，
，
，
的最小值为16，
故答案为：16．
16．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
答案为：
17．
【分析】计算方程的根的判别式得到，则当时，，于是方程没有实数根；
当时，抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，随的增大而增大；
根据根的判别式的意义得到，解得，由于时，；当时，，无法确定和的关系，即无法判断抛物线其中一定有一个交点在点与之间；
利用配方法得到，抛物线的顶点坐标为，易得顶点在定直线上，且经过，，画图可得，当垂直于直线时，最短，勾股定理可得，再利用面积法，即可求得有最小值为．
【详解】解：当，
整理得，
∵，
∴当时，，此时抛物线与直线没有公共点，
所以正确；
当时，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
所以正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得，
当时，可得；
当时，，
∵，
∴，
∵无法确定和的关系，
∴无法判断抛物线其中一定有一个交点在点与之间，
所以错误；
∵，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∵顶点的横坐标为，纵坐标为，
∴顶点在定直线上，
当时，，当时，，
∴直线与轴和轴的交点坐标分别为，，
如图所示，直线经过，，
∵，，
∴，
由图象得，当垂直于直线时，最短，
∴面积法可得，
即，
解得，
∴在的值变化过程中，的最小值为，
所以正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，抛物线与轴的交点，勾股定理，一次函数的性质和二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用公式法解一元二次方程即可；
（3）移项整理成一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴，
或，
，；
（2）
，
，，，
，
，
，；
（3）
，
，
或，
，；
（4）
，
，
或，
，．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果有2种，最后由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，等边三角形的性质和判定；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理求出，证出等边三角形，即可求解；
【详解】（1）证明：∵是直径，弦，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∵，
∴等边三角形，
∴．
21．(1)[]或)
(2)这种脐橙的售价单价应定为每箱元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）根据销售单价每提高元，日销售量将减少箱，列出代数式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；
（2）解：设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元，
日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利给顾客，
．
答：这种脐橙的售价单价应定为每箱元．
22．(1)
(2)
(3)周长不会变化，证明见解析
【分析】（1）根据扇形的面积公式来求得边在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）延长交y轴于E点，证明，得出，，证明可得，从而可以证到，进而可以推出，是定值．
【详解】（1）解：∵A点第一次落在直线上时停止旋转，直线与y轴的夹角是，
∴旋转了．
∴在旋转过程中所扫过的面积为．
（2）解：在正方形中，，，
∵，
∴，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为．
（3）解：在旋转正方形的过程中，p值无变化．
证明：延长交y轴于E点，
则，，
∴．
又∵，．
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴在旋转正方形的过程中，p值无变化．
23．(1)①
(2)①或 ②或
(3)
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；
②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
当时， ，当时，，
，符合题意；
对于
当 时， ，当 时，，
，不符合题意；
对于，
当时，，当时，，
不符合题意；
故答案为：①；
（2）解：①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或 ；
②二次函数为，对称轴为直线 ，
当 ，
当时，，
当时， ，
若则，解得 (舍去)；
若则，解得(舍去)， ；
若则，解得 (舍去)；
若则解得 (舍去)。
综上所述， 或
（3）解；由上可知，二次函数对称轴为直线，
又∵，
，
，
∴当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，
∵为整数， 且
∴， 即的值为，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查函数与定义新运算的综合，理解定义新运算的计算方法，掌握函数图像的性质是解题的关键．
24．(1)45
(2)，的最大值为
(3)
【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案；
（2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可；
（3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，，
，
，
，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
把代入得：，
点的坐标为，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
把代入得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：，，
点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点，
，
根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
当在抛物线上时，，
解得：或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，又由，，即可证明；
（2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线；
（3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径．
【详解】（1）证明：∵点是弧的中点，
∴
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴半径，
∴半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
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