2025年四川省成都市石室中学高考数学适应性试卷（含答案）

2025年四川省成都市石室中学高考数学适应性试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简等于( )
A. B. C. D.
2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密，已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，，例如，明文，，，对应密文，，，当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为( )
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
3.圆和圆的公切线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4.已知为的一个内角，且，则( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.已知向量与的夹角为，，则等于( )
A. B. C. D.
7.设集合，将中的元素按照从小到大的顺序排列，前个数的和等于( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B.
C. D. ，但和的大小关系无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，的极差为，平均值为，中位数为，方差为，其中，，，，的极差为，平均值为，中位数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A. 的最小正周期为
B. 存在，使得
C. 若为奇函数，则的最小值为
D. 若，则
11.设中，下列命题正确的有( )
A. 若，则的周长的取值范围是
B. 若，则的面积的最大值是
C. 若，则的周长的取值范围是
D. 若，则的面积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数是______．
13.椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 ．
14.已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为某人连续购买了张卡片假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响．
此人至少得到一张红色卡片的概率；
若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率．
16.本小题分
设．
当时，求的极小值；
若的极大值为，求的值．
17.本小题分
如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为的正三角形，其重心为，是线段上一点，且平面B.
求的值；
求平面与底面所成的二面角的正切值．
18.本小题分
已知数列满足，．
设，求的值，使得对于任意且，都有；
求证：．
19.本小题分
设动点到点的距离与到直线的距离之积等于，动点的轨迹为曲线．
求曲线与轴的交点的坐标．
过点作不与坐标轴垂直的直线．
判断直线与曲线的交点的个数，并证明你的结论；
定义平面上个点，，，的重心为满足的点，若直线与曲线的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标．
注：关于的一元次方程有个复数根，，，，且，
参考答案
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15.解：根据题意，设事件“此人至少得到一张红色卡片”，则“此人得到张蓝色卡片”，
则，
故；
根据题意，设事件“此人至少有一张蓝色卡片”，则“此人得到张蓝色卡片”，
则，
故；
，
则．
16.解：易知的定义域为，
可得，
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极小值，极小值；
当时，无极值；
当时，有极小值，极大值；
当时，有极小值，极大值，
当时，，
解得；
当时，，
即，
设，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递减，
此时，
所以无解．
综上所述，若的极大值为，此时．
17.解：侧面底面，侧棱与底面成的角，，又，取的中点，则底面以为原点建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，为的重心，，
设，
则，
，
由已知平面，
是平面的法向量，
又平面B.，
即，
解得，
故；
设平面的一个法向量为，则，取，得，又底面的一个法向量为设平面与底面所成锐二面角的大小为，则，
为锐角，
．
故平面与底面所成的二面角的正切值为．
18.解：因为，，
所以，，则，解得，
令，则，
整理得：，即，
又，所以数列以为首项，为公差的等差数列，
所以对于任意且，都有；
证明：由知，，
所以，
因此，
所以
，
因为，所以．
19.解：设，因为动点到点的距离与到直线的距离之积等于，
所以，整理可得曲线的轨迹方程为．
令，得，解得或．
因此曲线与轴交于与三点．
设直线的方程为，
与曲线的方程联立得，
即．
记，则至多有个不相等的实数根．
直线与曲线有个不同的交点，证明如下：
利用，
有，，
，，，
从而在，，，上各有一个实数根．
因此有个不相等的实数根，所以直线与曲线有个不同的交点．
设直线与曲线交于点，，，，
且这个点的重心为，则由题意可知，
因此，
，
显然，所以，因此，
即，整理得，
由题意，，因此，
从而，
即，解得．
点的横坐标为．
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