2024-2025学年吉林省长春五中高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春五中高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
2.已知复数与复平面内的点对应，则( )
A. B. C. D.
3.等比数列的前项和为，若，，则公比的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知直线：与直线：交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若存在正实数，使得不等式成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
10.关于函数，以下结论正确的是( )
A. 方程有唯一的实数解，且
B. 对恒成立
C. 对，都有
D. 对，均有
11.如图，已知直线与抛物线交于，两点，且，于点，点为弦的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，两点的横坐标之积为
B. 当点的坐标为时，
C. 直线过定点
D. 点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量，满足，，，则 ．
13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若直线与交于，两点，且，，则的方程为______．
14.已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：
可能是负数；
；
为定值；
若存在，使得，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的三个内角的对边分别为，且．
求角的大小；
若，求证：为直角三角形．
16.本小题分
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为．
过点，且焦点在坐标轴上．
17.本小题分
在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是中点．
求证：．
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若关于的不等式在上恒成立求的取值范围；
19.本小题分
在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数称为“泛差”已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足．
若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
若数列的“泛差”，且，求数列的通项．
参考答案
1.
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14.
15.解：由，可得，解得，
因为，所以．
由可知，，
又，
在中，由余弦定理可得，
解得，
所以，
可得，
所以为直角三角形．

16.解：椭圆的两个焦点为、，
与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为．
故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
令，即有，解得，
故有，解得，
故双曲线的标准方程为．
设双曲线的方程为，．
因为点，在双曲线上，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为．
17.解：证明：，是中点，可得，
又平面，可得，又，
可得平面，又平面，可得．
过在平面上作的平行线，
，，
平面，
，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图：
，，，，，
设平面的法向量，
，，
，取，
又易知平面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
18.解：当时，，
则，令，可得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得的定义域为，
，
令，解得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；
综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；
因为，所以，
令，
则，
令，则，
由，解得，由，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，，
因为，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，
所以的取值范围．
19.解：“泛差”，
，
，，，联立三式得：
，
化简得，解得；
，
，
，
，
得，
即，
，且，
为等差数列，首项为，公差为，
．
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