(共35张PPT)
第九讲 不等式与不等式组
考点梳理
考点 1
不等式的基本性质
设 a>b，则
(1)性质 1：a±c>b±c；
以题导学
)
D
1.(2024·广州)若 a＜b，则(
A.a＋3＞b＋3
B.a－2＞b－2
C.－a＜－b
D.2a＜2b
步骤 方法
去分母 不等式左右两边同时乘以分母的最小公倍数
去括号 注意括号前面的符号确定是否变号
移项 把含有未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右
边，注意移动的项必须变号
合并 按照合并同类项的方法合并
系数化为 1 两边同时除以系数或乘系数的倒数，注意不等号的方向
考点梳理
考点 2
解一元一次不等式的步骤
x－1
以题导学
2.(2024·连云港)解不等式：
2
＜x＋1，并把解集在数轴上表示
出来.(6 分)
解：去分母，得 x－1＜2(x＋1)，
去括号，得 x－1＜2x＋2，移项，得 x－2x＜2＋1，
合并同类项，得－x＜3，系数化为 1，得 x＞－3.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
考点梳理
考点 3
一元一次不等式组及其解法
(1)定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在
一起，就组成一个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的各个不等
式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
(3)解一元一次不等式组的步骤：①解各个一元一次不等式；②在
数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得
出不等式组的解集.
不等式组(a＜b) 解集 数轴表示 口诀
x≥b 同大取大
x≤a 同小取小
a≤x≤b 大小小大
中间找
无解 大大小小
取不了
以题导学
3.(2022·枣庄)在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一
个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上.(6 分)
把解集表示在数轴上如下：
解不等式③，得 x<4，
解不等式④，得 x≥－1，
∴不等式组的解集是－1≤x<4.
把解集表示在数轴上如下：
把解集表示在数轴上如下：
表示不等关系的关键词 不等号
低于，小于，少于，不足等 <
高于，大于，多于，超过等 >
不低于，不小于，不少于，至少等 ≥
不高于，不大于，不多于，不超过，至多等 ≤
考点梳理
考点 4
一元一次不等式(组)的应用
(1)一般步骤：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等
式(组)；⑤检验答案是否符合题意；⑥作答.
(2)表示不等关系的关键词与不等号的对应关系：
以题导学
4.(2024·山西)为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水
基灭火器和干粉灭火器共 50 个.其中水基灭火器的单价为 540 元，干
粉灭火器的单价为 380 元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过 21
000 元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？(9 分)
解：设可购买这种型号的水基灭火器 x 个，则购买干粉灭火器
(50－x)个，根据题意，得 540x＋380(50－x)≤21 000，解得 x≤12.5，
∵x 为整数，
∴x 取最大值为 12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个.
核心
不等式的基本性质
1.用“＜”或“＞”填空：
(1)若 x－2＞y－2，则 x______y；
＞
＜
＜
＞
变式 1
(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b 分
别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数
学原理是(
A.若 a＞b，则 a＋c＞b＋c
C.若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc
B.若 a＞b，b＞c，则 a＞c
)
A
核心
一元一次不等式(组)的解法
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得_______；(2 分)
(2)解不等式②，得_____________；(2 分)
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(2 分)
(4)原不等式组的解集为___________.
x≤1
3x≥－3
－3≤x≤1
变式 2－1 (2024·盐城)求不等式
≥x－1 的正整数解.(4 分)
解：
1＋x
3
≥x－1，去分母，得 1＋x≥3x－3，
移项，得 x－3x≥－3－1，
合并同类项，得－2x≥－4，
系数化为 1，得 x≤2.
所以此不等式的正整数解为 1，2.
解：解不等式①，得 x≥－2，解不等式②，得 x＜9，所以不等式
组的解集是－2≤x＜9.
核心
一元一次不等式(组)的应用
3.某校为提高学生的阅读能力，现决定购买 A，B 两种书籍共 60
本.经了解，若购买 A 种书籍 10 本，B 种书籍 20 本，共需花费 400 元；
若购买 A 种书籍 20 本，B 种书籍 30 本，共需花费 700 元.
(1)求 A，B 两种书籍的单价.(3 分)
(2)若该校决定购买以上两种书的总费用不超过 780 元，则该校最
多可以购买 A 种书籍多少本？(3 分)
(3)在(2)的条件下，若要求购买 A 种书籍的数量不少于 B 种书籍数
【思路指引】
(1)设 A 种书籍的单价是 x 元，B 种书籍的单价是 y 元，根据“购买 A 种书
籍 10 本，B 种书籍 20 本，共需花费 400 元；购买 A 种书籍 20 本，B 种书
籍 30 本，共需花费 700 元”，可列二元一次方程组__________________；
(2)设该校购买 A 种书籍 m 本，则购买 B 种书籍(60－m)本，利用总价＝单
价×数量，结合购买以上两种书的总费用不超过 780 元，可列一元一次不
等式______________________，解之取最大值；
等式_______________，解出 m 的取值范围，结合 m≤18 且 m 为正整数，
可得出各购买方案.
20m＋10(60－m)≤780
【规范解答】
解：(1)设 A 种书籍的单价是 x 元，B 种书籍的单价是 y 元，
答：A 种书籍的单价是 20 元，B 种书籍的单价是 10 元.
(2)设该校购买 A 种书籍 m 本，则购买 B 种书籍(60－m)本，
根据题意，得 20m＋10(60－m)≤780，解得 m≤18，
∴m 的最大值为 18.
答：该校最多可以购买 A 种书籍 18 本.
又∵m≤18，且 m 为正整数，
∴m 可以为 15，16，17，18，
∴学校共有 4 种购买方案，如下：
方案 1：购买 A 种书籍 15 本，B 种书籍 45 本；
方案 2：购买 A 种书籍 16 本，B 种书籍 44 本；
方案 3：购买 A 种书籍 17 本，B 种书籍 43 本；
方案 4：购买 A 种书籍 18 本，B 种书籍 42 本.
型号 甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 30 45
日租金(元/辆) 450 600
变式 3
某公司有甲、乙两种型号的客车共 20 辆，它们的载客量、每
天的租金如表所示.已知在这 20 辆客车都坐满的情况下，共载客 720 人.
(1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆；(3 分)
(2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共 10 辆，接送七年级的师
生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过 5 600
元.
①至少要租用多少辆甲型客车？(3 分)
②若七年级的师生共有 370 人，请写出所有可能的租车方案，并确
定最省钱的租车方案.(4 分)
∴m 可以为 3，4，5，∴共有 3 种租车方案，如下：
方案 1：租用 3 辆甲型客车，7 辆乙型客车；
方案 2：租用 4 辆甲型客车，6 辆乙型客车；
方案 3：租用 5 辆甲型客车，5 辆乙型客车.
选择方案 1 所需租金为 450×3＋600×7＝5 550(元)；
选择方案 2 所需租金为 450×4＋600×6＝5 400(元)；
选择方案 3 所需租金为 450×5＋600×5＝5 250(元)，
∵5 550＞5 400＞5 250，
∴最省钱的租车方案为租用 5 辆甲型客车，5 辆乙型客车.
1.(2022·吉林)y 与 2 的差不大于 0，用不等式表示为(
)
D
A.y－2＞0
B.y－2＜0
C.y－2≥0
D.y－2≤0
2.(2024·上海)如果 x＞y，那么下列正确的是(
)
C
A.x＋5≤y＋5
B.x－5＜y－5
C.5x＞5y
D.－5x＞－5y
3.(2024·陕西)不等式 2(x－1)≥6 的解集是(
)
D
A.x≤2
B.x≥2
C.x≤4
D.x≥4
4.(2024·广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，
则这个不等式组的解集是_________.
x≥3
并写出它的所
5.(2024·济南)解不等式组：
有整数解.(6 分)
解：解不等式①，得 x＞－1，
解不等式②，得 x＜4，
∴原不等式组的解集是－1＜x＜4，
∴其所有整数解为 0，1，2，3.
)
B
6.(2023·北京)已知 a－1＞0，则下列结论正确的是(
A.－1＜－a＜a＜1
B.－a＜－1＜1＜a
C.－a＜－1＜a＜1
D.－1＜－a＜1＜a
7.满足不等式 3x－5＞－1 的最小整数是(
)
C
A.－1
B.1
C.2
D.3
8.(2024·遂宁)不等式组
的解集在数轴上表示为
(
)
A
B
C
D
B
9.(2023·聊城)若不等式组
的解集为 x≥m，则 m
的取值范围是__________.
m≥－1
10.(2024·资阳)2024 年巴黎奥运会将于 7 月 26 日至 8 月 11 日举
行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的 A，B 两款纪念品深受青少
年喜爱.已知购进 3 个 A 款比购进 2 个 B 款多用 120 元；购进 1 个 A
款和 2 个 B 款共用 200 元.
(1)分别求出 A，B 两款纪念品的进货单价；(4 分)
(2)该商店决定购进这两款纪念品共 70 个，其总费用不超过 5 000
元，则至少应购买 B 款纪念品多少个？(6 分)
解：(1)设出 A，B 两款纪念品的进货单价分别为 x 元、y 元，
答：A，B 两款纪念品的进货单价分别为 80 元和 60 元.
(2)设购买 m 件 B 款纪念品，则购买(70－m)件 A 款纪念品，
根据题意，得 60m＋80(70－m)≤5 000，
解得 m≥30，
答：至少应购买 B 款纪念品 30 个.(共36张PPT)
第八讲 方程(组)的实际应用
考点梳理
考点
列方程(组)解应用题
(1)列方程(组)解应用题的一般步骤
①审清题意；②找等量关系；③设未知数；④列方程(组)；⑤解方
程(组)；⑥检验；⑦作答.
工程
问题 ①工作总量＝工作时间×工作效率＝各部分工作量之和.
②一般情况下，把工作总量设为 1.
③工作效率：单位时间完成的工作量.
④合作的效率＝各效率之和
行程
问题
①基本公式：路程＝速度×时间；
②②相遇问题：S甲＋S乙＝S总.
③追及问题：S前＝S追(同地异时)；S前＋两地之间的距离＝S追(异地同时).
④航行问题：V顺＝V静＋V水；V逆＝V静－V水.
⑤列车过桥(隧洞)问题：速度×过桥(隧洞)时间＝桥(隧洞)长＋列车长
(2)常见应用题类型
以题导学
1.(2023·陕西)小红在一家文具店买了一种大笔记本 4 个和一种小
笔记本 6 个，共用了 62 元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小
笔记本的单价多 3 元，求该文具店中这种大笔记本的单价.(9 分)
解：设该文具店中这种大笔记本的单价是 x 元，则小笔记本的单
价是(x－3)元，
∵买了一种大笔记本 4 个和一种小笔记本 6 个，共用了 62 元，
∴4x＋6(x－3)＝62，
解得 x＝8.
答：该文具店中这种大笔记本的单价为 8 元.
2.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要
凑钱购买 1 本.若每人出 8 元，则多了 3 元；若每人出 7 元，则少了 4
元.问学生人数和该书单价各是多少？(9 分)
解：设学生有 x 人，该书单价是 y 元，
答：学生有 7 人，该书单价是 53 元.
3.随着电池技术的突破，电动汽车已呈现替代燃油汽车的趋势，
某品牌电动汽车在今年第一季度销售了 2 万辆，第三季度销售了 2.88
万辆.求前三季度该品牌电动汽车销售量的平均增长率.(9 分)
解：设前三季度该品牌电动汽车销售量的平均增长率为 x，
依题意，得 2(1＋x)2＝2.88，
解得 x1＝0.2＝20%，
x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：前三季度该品牌电动汽车销售量的平均增长率为 20%.
4.(2023·广东)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校
12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲同学的速度是乙
同学的 1.2 倍，结果甲同学比乙同学早到 10 min，求乙同学骑自行车
的速度.(9 分)
解：设乙同学骑自行车的速度为 x km/h，则甲同学骑自行车的速
度为 1.2x km/h，
解得 x＝12.
经检验，x＝12 是原分式方程的解且符合题意.
答：乙同学骑自行车的速度为 12 km/h.
是乙队的
核心
工程问题
1.为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对 8 400 平方米的区域进
行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完
成的绿化改造面积比乙队多 100 平方米，甲队单独完成全部任务所需时间
(1)求甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积；(4 分)
(2)已知甲队每天施工费用为 2 400 元，乙队每天施工费用为 1 800 元，
若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好 20 天完
成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？(6 分)
【思路指引】
(1)设乙工程队每天能完成 x 平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天
能完成__________平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任
(2)设甲工程队先做了 y 天，则甲、乙合作了________天，根据先由甲
队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好 20天完成绿
化改造完成，可列方程______________________________.
(x＋100)
(20－y)
300y＋(20－y)(300＋200)＝8 400
【规范解答】
解：(1)设乙工程队每天能完成 x 平方米的绿化改造面积，则甲工
程队每天能完成(x＋100)平方米的绿化改造面积，
经检验，x＝200 是原方程的解且符合题意，
∴原方程的解为 x＝200，∴x＋100＝300.
答：甲工程队每天能完成 300 平方米的绿化改造面积，乙工程队
每天能完成 200 平方米的绿化改造面积.
(2)设甲工程队先做了 y 天，则甲、乙合作了(20－y)天，
则 300y＋(20－y)(300＋200)＝8 400，解得 y＝8，
∴完成这项绿化改造任务总共需要施工费用为 2 400×8＋(2 400
＋1 800)×(20－8)＝69 600(元).
答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用 69 600 元.
变式 1 (2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全
长为 3 000 米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影
响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 15 天完成铺
设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道分别为多少米；(4 分)
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的
预算，工人每天人均工资为 300 元，所有工人的工资总金额不超过 18
万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？(6 分)
解：(1)设原计划每天铺设管道 x 米，
则实际每天铺设管道(1＋25%)x＝1.25x 米，
经检验，x＝40 是分式方程的解且符合题意，∴1.25x＝50，
答：原计划与实际每天铺设管道分别为 40 米、50 米.
(2)设该公司原计划应安排 y 名工人施工，3 000÷40＝75(天)，
根据题意，得 300×75y≤180 000，解得 y≤8，
∴不等式的最大整数解为 8，
答：该公司原计划最多应安排 8 名工人施工.
核心
行程问题
2.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱
好者约定从 A 地沿相同路线骑行去距 A 地 30 千米的 B 地，已知甲骑
行的速度是乙的 1.2 倍.
(1)若乙先骑行 2 千米，甲才开始从 A 地出发，则甲出发半小时恰
好追上乙，求甲骑行的速度；(4 分)
(2)若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从 A 地出发，则甲、乙恰好同
时到达 B 地，求甲骑行的速度.(6 分)
1.2x
1.2y
【思路指引】
(1)设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为______千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，可列方程
_______________；
(2)设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为______千米/时，利
用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，可列方程____________.
【规范解答】
解：(1)设乙骑行的速度为 x 千米/时，则甲骑行的速度为 1.2x 千米/时，
答：甲骑行的速度为 24 千米/时.
(2)设乙骑行的速度为 y 千米/时，则甲骑行的速度为 1.2y 千米/时，
经检验，y＝15 是原方程的解且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18.
答：甲骑行的速度为 18 千米/时.
变式 2
(2023·徐州)随着 2022 年底城东快速路的全线通车，徐
州主城区与东区之间的交通得以有效改善，某人乘车从徐州东站至戏
马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为
线少 10 min，求甲路线的行驶时间.(9 分)
解：设甲路线的行驶时间为 x min，则乙路线的行驶时间为(x＋10) min，
经检验，x＝20 是原方程的解且符合题意，
答：甲路线的行驶时间为 20 min.
核心
销售、利润问题
3.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”
的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量，该品
牌头盔 4 月份销售 150 个，6 月份销售 216 个，且从 4 月份到 6 月份
销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(4 分)
(2)若此种头盔的进价为 30 元/个，测算在市场中，当售价为 40 元
/个时，月销售量为 600 个，若在此基础上每个头盔的售价每上涨 1 元，
则月销售量将减少 10 个，为使月销售利润达到 10 000 元，而且尽可
能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？(6 分)
【思路指引】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，根据该品牌头盔 4 月份及 6
月份的月销售量分别为 150 个、216 个，可列方程_______________；
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为 y元/个，根据月销售利润＝每个头
盔的利润×月销售量，可列方程______________________________.
150(1＋x)2＝216
(y－30)[600－10(y－40)]＝10 000
【规范解答】
解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，
依题意，得 150(1＋x)2＝216，
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为 y 元/个，
依题意，得(y－30)[600－10(y－40)]＝10 000，
整理，得 y2－130y＋4 000＝0，
解得 y1＝80(不合题意，舍去)，y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为 50 元/个.
变式 3
直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在网上对一款成
本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可
卖出 20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 1 元，日销售
量增加 2 件.
(1)若每件小商品的售价为 45 元，求日销量是多少件？(3 分)
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件小商品
的售价应定为多少元？(3 分)
(3)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元.
为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，
使其销售价格不超过(2)中的售价，则该商品至少需打几折销售？(4 分)
解：(1)20＋2×(60－45)＝20＋2×15＝20＋30＝50(件).
答：当每件小商品的售价为 45 元时，日销量是 50 件.
(2)设每件小商品的售价应定为 x 元，则每件的销售利润为(x－40)
元，日销售量为 20＋2(60－x)＝(140－2x)件，
依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，
整理，得 x2－110x＋3 000＝0，解得 x1＝50，x2＝60，
又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x＝50.
答：每件小商品的售价应定为 50 元.
答：该商品至少需打八折销售.
1.(2024·广州)某新能源车企今年 5 月交付新车 35 060 辆，且今年
5 月交付的新车数量比去年 5 月交付的新车数量的 1.2 倍还多 1 100 辆.
)
A
设该车企去年 5 月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为(
A.1.2x＋1 100＝35 060
B.1.2x－1 100＝35 060
C.1.2(x＋1 100)＝35 060
D.x－1 100＝35 060×1.2
2.(2022·深圳)张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下
等草.他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖
七捆上等草的根数减去 25 根，就等于五捆下等草的根数.设上等草一
捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方程正确的是(
)
C
3.(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.
该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税 48.4 万元.该公司这两年缴
税的年平均增长率是______.
10%
60
4.(2023·绵阳)随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠
儿”.端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距 180 km 的古
镇旅行，原计划以速度 v km/h 匀速前行，因急事以计划速度的 1.2 倍
匀速行驶，结果就比原计划提前了 0.5 h 到达，则原计划的速度 v 为
______ km/h.
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
5.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.
某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植 A，B 两种农
作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投
入资金共 60 万元，问 A，B 这两种农作物的种植面积各多少公顷？
(9 分)
解：设 A 种农作物的种植面积是 x 公顷，B 种农作物的种植面积
是 y 公顷，
答：A 种农作物的种植面积是 3 公顷，B 种农作物的种植面积是
4公顷.
x－1
6.(2023·张家界)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作
记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株
脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽
的总售价为 6 210 文钱.如果每株椽的运费是 3 文钱，那么少拿一株椽
后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6 210 文能买多少
株椽？设 6 210 文购买椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是(
)
A.3(x－1)＝
6 210
x－1
B.3(x－1)＝6 210
C
C.3(x－1)＝
6 210
x
6 210
D.
＝3x
7.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一
个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为 15 m2，在鸭舍侧面中
间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则 BC 长为(
)
C
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
8.2024 年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每
两支队伍之间进行一场比赛)，共进行了 55 场，则参赛的队伍有_____
支.
11
62
71
9.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为 8，则称该数为
“发数”.已知一个“发数”的十位数字是其个位数字的 3 倍，则这个
“发数”是______；如果一个“发数”的十位数字的 2 倍与个位数字
的和能被 3 整除，则满足条件的最大“发数”是______.
10.(2024·北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自 2023 年 7
月 1 日起，我国全面实施汽车国六排放标准 6b 阶段(以下简称“标准”).
对某型号汽车，“标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg/km，A，B
两类物质排放量之和不超过 50 mg/km.已知该型号某汽车的 A，B 两类
物质排放量之和原为 92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的 A 类物
质排放量降低了 50%，B 类物质排放量降低了 75%，A，B 两类物质排
放量之和为 40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量
是否符合“标准”，并说明理由.(9 分)
解：这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”，
理由如下：
设该汽车改进前的 A 类物质排放量为 x mg/km，则该汽车改进前
的 B 类物质排放量为(92－x) mg/km，
根据题意
得(1－50%)x＋(1－75%)·(92－x)＝40，
解得 x＝68，
∴这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量(1 －50%) ×68 ＝
34(mg/km)，
∵“标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg/km，
∴这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”.(共26张PPT)
第七讲 分式方程
考点梳理
考点 1
分式方程及其解法
(1)分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
(2)分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的
解.
(3)解分式方程的一般步骤：
①去分母：分式方程的两边同时乘最简公分母，把分式方程化成
整式方程；
②解整式方程；
③检验：把解得的未知数的值代入最简公分母中检验最简公分母
是否为 0.若最简公分母的值不为 0，则未知数的值即为原分式方程的
解；若最简公分母的值为 0，则未知数的值不是原分式方程的解.
－
以题导学
1.(2023·淄博)已知 x＝1 是方程
m 1
2－x x－2
＝3 的解，那么实数 m
的值为(
)
B
A.－2
B.2
C.－4
D.4
2.(2024·广州)解分式方程：
解：原方程去分母，
得 x＝3(2x－5)，
去括号，得 x＝6x－15，
移项，得 x－6x＝－15，
合并同类项，得－5x＝－15，
系数化 1，得 x＝3.
检验：当 x＝3 时，x(2x－5)≠0，
故原方程的解为 x＝3.
考点梳理
考点 2
分式方程的增根
使原分式方程的分母为零的根叫做方程的增根.增根是分式方程
化成整式方程的根.
m－1
以题导学
3.若关于 x 的方程
x－1
－
x
x－1
＝0 有增根，则 m 的值是____.
2
核心
解分式方程
方程两边都乘(x－2)，得 1－(1－x)＝3，(第一步)
去括号，得 1－1＋x＝3，(第二步)
移项，合并同类项，得 x＝3，(第三步)
检验：当 x＝3 时，x－2≠0，(第四步)
所以 x＝3 是原方程的解.(第五步)
(1)小明解答过程是从第______步开始出错的，原方程化为第一步
的根据是________________________；
一
等式的基本性质
(2)请写出此题正确的解答过程；(4 分)
解：方程两边同乘(x－2)，得 1－(1－x)＝3(x－2)，
去括号，得 1－1＋x＝3x－6，
移项、合并同类项，得－2x＝－6，
系数化 1，得 x＝3.
经检验，x＝3 是原方程的根.
故原方程的解为 x＝3.
(3)分式方程转化为整式方程后，由于去分母，未知数的取值范围
发生了变化，有可能会产生__________，所以在解分式方程时一定要
__________.
增根
检验
变式 1－1 解下列分式方程：
(2)(2023·山西)
1
x－1
＋1＝
3
2x－2
.(4 分)
变式 1－2 若关于 x 的分式方程
6
x－2
－1＝
ax
2－x
有增根，则 a 的值
为(
)
A
A.－3
B.3
C.2
D.－2
核心
分式方程的解
2.已知分式方程
2x＋b
x－3
＝－1.
(1)若分式方程无解，求 b 的值；(2 分)
(2)若分式方程的解是非负数，求 b 的取值范围.(4 分)
解：(1)
2x＋b
x－3
＝－1，
方程两边同乘(x－3)，得 2x＋b＝－x＋3，
移项，合并同类项，得 3x＝3－b.
系数化为 1，得 x＝
3－b
3
.
∵分式方程无解，
∴分母 x－3 为 0，即 x＝3，
∴x＝
3－b
3
＝3，∴b＝－6.
(2)由(1)知 x＝
3－b
3
，
∵分式方程的解是非负数，且分式方程的分母不为 0，
∴
3－b
3
≥0 且
3－b
3
≠3，
∴b≤3 且 b≠－6，
∴b 的取值范围是 b≤3 且 b≠－6.
变式 2 (2024·黑龙江)已知关于 x 的分式方程
无解，
则 k 的值为(
)
A.2 或－1
B.－2
C.2 或 1
D.－1
A
时，去分母变形正确
1.(2024·济宁)解分式方程 1－
1
3x－1
＝－
5
2－6x
的是(
)
A
A.2－6x＋2＝－5
B.6x－2－2＝－5
C.2－6x－1＝5
D.6x－2＋1＝5
2.(2024·德阳)分式方程
的解是(
3.解分式方程 －
4.(2024·达州)若关于 x 的方程
)
A.3
B.2
C.
3
2
3
D.
4
2
x
1
x＋1
＝0，去分母时，方程两边同乘的最简公分母
是_________.
3
x－2
－
kx－1
＝1 无解，则 k 的值为
x－2
________.
D
x(x＋1)
2 或－1
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；
若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.(6 分)
解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
两边同乘(x－2)，去分母，
得 x＋x－3＝x－2，
移项、合并同类项，得 x＝1.
检验：将 x＝1 代入 x－2 中，可得 1－2＝－1≠0，
则 x＝1 是分式方程的解.
故原分式方程的解是 x＝1.
A.－1
B.1
C.2
D.－2
的解是( )
A.x＝5
B.x＝6
C.x＝7
D.x＝8
A
A
□ x＋2
8.嘉淇准备完成题目：解方程
＋
2 1
＝0.发现分母的位置印刷
不清，查阅答案后发现标准答案是 x＝－1，请你帮助嘉淇推断印刷不
清的位置可能是(
)
A
A.x－1
B.－x－1
C.x＋1
D.x2－1
9.(2023·眉山)关于 x 的方程
x＋m
－3＝
x－2
x－1
2－x
的解为非负数，则 m 的
取值范围是____________________.
m≥－5 且 m≠－3
(1)当 m＝－1 时，求这个分式方程的解；(2 分)
(2)若此分式方程无解，求 m 的值.(4 分)
去分母，得－2＝mx－2(x－1)，
移项、合并同类项，得(m－2)x＝－4，
若 m－2＝0，即 m＝2 时，此方程无解，即分式方程无解；
若 m－2≠0，即 m≠2 时，
∵分式方程无解，∴x－1＝0，即 x＝1，
把 x＝1 代入整式方程，得 m＝－2.
综上所述，m＝2 或－2.(共33张PPT)
第六讲 一元二次方程
考点梳理
考点 1
一元二次方程及其有关概念
(1)定义：只含有一个未知数(一元)，未知数的最高次数是 2(二次)
的整式方程，叫做一元二次方程.
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0).
(3)一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方
程的根.
以题导学
1.关于 x 的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5 化为一般形式后不
含一次项，则 m 的值为(
)
D
A.0
B.±3
C.3
D.－3
2.(2024·深圳)一元二次方程 x2－3x＋a＝0 的一个解为 x＝1，则
a＝________.
2
方法 适用的方程 方程的解
直接开
平方法 形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程
配方法 容易变形为a(x＋h)2＝k(a≠0，ak≥0)形式的方程
公式法 所有满足b2－4ac≥0的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
因式
分解法 容易变形为(x－a)(x－b)＝0形式的方程 x1＝a，x2＝b
考点梳理
考点 2
一元二次方程的解法
以题导学
3.关于 x 的方程 x(x－1)＝3(x－1)，下列解法完全正确的是(
)
D
A.两边同时除以(x－1)，得 x＝3
B.整理，得 x2－4x＝－3，
∵a＝1，b＝－4，c＝－3，
∴b2－4ac＝28，
C.整理，得x2－4x＝－3，
配方，得x2－4x＋2＝－1，
∴(x－2)2＝－1，∴x－2＝±1，
∴x1＝1，x2＝3
D.移项，得x(x－1)－3(x－1)＝0，
∴(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1
考点梳理
考点 3
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac.
(1)Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
(3)Δ＜0 时，方程没有实数根.
以题导学
)
A
4.(2024·自贡)关于 x 的方程 x2＋mx－2＝0 根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
考点梳理
考点 4
一元二次方程根与系数的关系
以题导学
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的两个实数根分别为
x1和x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为( )
A.－3
B.－1
C.－2
D.0
的值为__________.
A
20
核心
一元二次方程的解法
1. 下面是在学习一元二次方程的解法时小颖在黑板上的解答过
程，请认真阅读并完成任务.
(1)任务一：①小颖解方程的方法是________.(2 分)
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
②第二步变形的依据是_______________.(2 分)
(2)任务二：请你按要求解下列方程：
B
等式的基本性质
①x2＋2x－3＝0；(公式法)(4 分)
解：x2＋2x－3＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝－3，∴Δ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x1＝1，x2＝－3.
②3(x－2)2＝x2－4.(因式分解法)(4 分)
解：3(x－2)2＝x2－4，
移项，得 3(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0，
∴(x－2)(3x－6－x－2)＝0，
∴x－2＝0 或 3x－6－x－2＝0，
∴x1＝2，x2＝4.
变式 1
用适当的方法解一元二次方程：
(1)4(x－1)2－9＝0；(4 分)
(2)x2－3x－1＝0；(4 分)
解：∵a＝1，b＝－3，c＝－1，
∴Δ＝9＋4＝13，
(3)x2＋6x＝9；(4 分)
解：∵x2＋6x＝9，
∴x2＋6x＋9＝9＋9，
∴(x＋3)2＝18，
(4)(2x＋1)2－4x－2＝0.(4 分)
解：∵(2x＋1)2－2(2x＋1)＝0，
∴(2x＋1)(2x＋1－2)＝0，
∴2x＋1＝0 或 2x＋1－2＝0，
核心
一元二次方程根的判别式
2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0，
(1)有两个不等的实数根？(2 分)
(2)有两个相等的实数根？(2 分)
(3)无实数根？(2 分)
解：(1)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＞0，
解得 k＜1 且 k≠0.
(2)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＝0，解得 k＝1.
(3)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＜0，解得 k＞1.
变式 2－1
(2024·广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0
有两个相等的实数根，则 c＝________.
1
变式 2－2 (2024·黑龙江)关于 x 的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2
＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是(
)
D
A.m≤4
B.m≥4
C.m≥－4 且 m≠2
D.m≤4 且 m≠2
核心
一元二次方程根与系数的关系
3.已知关于 x 的一元二次方程 x2－px＋1＝0(p 为常数)有两个不相
等的实数根 x1 和 x2.
(1)填空：x1＋x2＝______，x1x2＝______；(2 分)
p
1
变式 3－1
(2024·乐山)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋p＝0 两
A.－
2
3
2
B.
3
C.－6
D.6
变式 3－2
(2024·巴中)已知方程 x2－2x＋k＝0 的一个根为－2，
则方程的另一个根为________.
A
4
1.(2024·上海)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是(
)
D
A.x2－6x＝0
B.x2－9＝0
C.x2－6x＋6＝0
D.x2－6x＋9＝0
2.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程 x2－6x＋8＝0，配方后得到
的方程是(
)
D
A.(x＋6)2＝28
B.(x－6)2＝28
C.(x＋3)2＝1
D.(x－3)2＝1
)
B
3.(2024·贵州)一元二次方程 x2－2x＝0 的解是(
A.x1＝3，x2＝1
B.x1＝2，x2＝0
C.x1＝3，x2＝－2
D.x1＝－2，x2＝－1
x1＋x2
4.(2023·内蒙古)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－8＝0 的两个实
数根，则
x1x2
＝_________.
－
1
4
5.(2022·贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解
法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法.请从下列一元二次方程
中任选两个，并解这两个方程.(6 分)
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
②利用因式分解法：x2－3x＝0，
∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.
③利用配方法：x2－4x＝4，
两边都加上4，得x2－4x＋4＝8，
∴(x－2)2＝8，∴x－2＝±2 ，∴x1＝2＋2 ，x2＝2－2 .
④利用因式分解法：x2－4＝0，
∴(x＋2)(x－2)＝0，∴x＋2＝0或x－2＝0，
∴x1＝－2，x2＝2.(任选两个即可)
6.(2024·凉山州)若关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0
的一个根是 x＝0，则 a 的值为(
)
A
A.2
B.－2
C.2 或－2
1
D.
2
7.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 x2－10x＋21＝0 的
两个根，则这个三角形的周长为(
)
C
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
8.(2024·潍坊)已知关于 x 的一元二次方程 x2－mx－n2＋mn＋1＝0，
其中 m，n 满足 m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是
(
)
C
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
9.(2023·德州)设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－2(m＋1)x＋m2
＋2＝0 的两个实数根，且(x1＋1)(x2＋1)＝8，则 m 的值为______.
1
10.(2024·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2 分)
证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
这里 a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝
m2＋8.
∵m2≥0，
∴Δ＞0，∴无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
值.(4 分)
解：由题意得 x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9.
整理，得 m2＋m－2＝0.∴(m＋2)(m－1)＝0.
解得 m1＝－2，m2＝1.∴m 的值为－2 或 1.(共27张PPT)
第二章 方程(组)与不等式(组)
第五讲 一元一次方程与二元一次方程组
考点梳理
考点 1
等式的基本性质
(1)性质 1：若 a＝b，则 a±m＝b±m(m 为代数式)；
以题导学
1.(2022·青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是(
)
A
方程的概念 含有未知数的等式
方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解
一元一次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程
一元一次方程
的一般形式 ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0)
一元一次方程
的解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
考点梳理
考点 2
一元一次方程及其解法
以题导学
2.(2024·新疆)解方程：2(x－1)－3＝x.(4 分)
解：2(x－1)－3＝x，
去括号，得 2x－2－3＝x，
移项，得 2x－x＝2＋3，
合并同类项，得 x＝5.
考点梳理
考点 3
二元一次方程(组)及其解答
(1)二元一次方程的定义
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元
一次方程.
(2)解二元一次方程组的方法
①代入消元法：当方程组中某一个未知数的系数是 1 或－1 时，选择
代入消元法较为简单；
②加减消元法：(a)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反
数时，采用加减消元法较为简单；(b)当同一未知数的系数不同也不互为
相反数时，可通过找系数最小公倍数变成同一未知数的系数相同或互为
相反数，再采用加减消元法较为合适.
以题导学
(
)
A.－1
B.1
C.－5
D.5
A
核心
解一元一次方程
1.下面是小乐同学在求解一道一元一次方程的解题过程，请仔细
阅读并完成相应的任务.
解方程：
解：4(2x－1)－3(x＋1)＝12－2(5x＋2)，
8x－4－3x－3＝12－10x－4，
8x－3x－10x＝12－4＋3＋4，
－5x＝15，
x＝－3.
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
等式的基本性质
乘法对加法的分配律
三
(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是_________________；
第二步去括号时依据的运算律是___________________；(2 分)
(2)以上解题过程中从第______步开始出现错误，这一步错误的原
因是____________________；(2 分)
移项时－10x 没有变号
(3)请直接写出该方程的正确解：______；(2 分)
x＝1
任务二：(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解
一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议.(2 分)
移项时，注意移动项的符号的改变.(答案不唯一)
变式 1 (2023·衢州)小红在解方程
时，第一步出现
了错误：
解：2×7x＝(4x－1)＋1，
……
(1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处；(2 分)
(2)写出你的解答过程.(4 分)
解：去分母，得 2×7x＝(4x－1)＋6，去括号，得 14x＝4x－1＋6，
移项，得 14x－4x＝－1＋6，合并同类项，得 10x＝5，
核心
解二元一次方程组
【题后反思】
(1)解法一用的方法是________________；
(2)解法二用的方法是________________；
(3)当方程组中同一个未知数的系数相同或者互为相反数时，常用
____________；当方程组中一个方程的常数项为 0 或某一个方程中的
未知数的系数为 1 或－1 时，常用______________.
加减消元法
代入消元法
加减消元法
代入消元法
变式 2
解下列方程组：
把①代入②，得 3(2y－1)＋4y＝17，
解得 y＝2，
把 y＝2 代入①，得 x＝3，
∴原方程组的解为
①×2，得 4x－2y＝0，③
③－②，得 x＝－5，
把 x＝－5 代入①，得－10－y＝0，
解得 y＝－10，
∴原方程组的解为
1.(2022·滨州)在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两端的电压 U、
形的依据是(
)
A.等式的性质 1
B.等式的性质 2
C.分式的基本性质
D.不等式的性质 2
B
2.(2023·永州)关于 x 的一元一次方程 2x＋m＝5 的解为 x＝1，则m
的值为(
)
A.3
B.－3
C.7
D.－7
3.已知二元一次方程 x＋3y＝14，请写出该方程的一组整数解：
___________________.
4.已知 x，y 满足的方程组是
则 x＋y 的值为______.
A
(答案不唯一)
5
5.解下列方程(组)：
(1)4x－1＝2x＋5；(4 分)
移项，得 4x－2x＝5＋1，
合并同类项，得 2x＝6，
系数化 1，得 x＝3.
解：4x－1＝2x＋5，
(3)
3x－1
4
－1＝
5x－7
6
；(4 分)
解：去分母，得 3(3x－1)－12＝2(5x－7)，
去括号，得 9x－3－12＝10x－14，
移项，得 9x－10x＝－14＋3＋12，
合并同类项，得－x＝1，
系数化为 1 得 x＝－1.
由①，得 5x－11y＝－12，③
由②，得 x－5y＝－8，
即 x＝5y－8，④
将④代入③，
得 5(5y－8)－11y＝－12，
解得 y＝2.
将 y＝2 代入④，得 x＝2，
∴这个方程组的解为
值是(
)
A.－2 或－1
B.－1
C.－2
D.3
的算术平方根为(
)
A.3
B.3，－3
C. 3
D. 3，－ 3
C
C
x －1 0 1 2 3
ax＋b －8 －4 0 4 8
8.我们规定两种新运算“*”和“△”，其规则为 a*b＝ab＋a－b，
9.整式 ax＋b 的值随着 x 的取值的变化而变化，下表是当 x 取不同
的值时对应的整式的值：
则关于 x 的方程－ax－b＝－8 的解是_________.
x＝－2
x＝3
(1)求正确的 a，b 的值；(2 分)
(2)求原方程组的正确解.(4 分)
∴－a－8＝－6，解得 a＝－2，
∴a＝－2，b＝5.
