(共27张PPT)
第三十讲 概率
考点梳理
考点 1
概率
(1)概率：表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.
(2)事件的分类
①必然事件：概率为 1.
②不可能事件：概率为 0.
③随机事件：概率为 0
以题导学
)
D
1.(2024·湖北)在下列事件中，必然事件是(
A.掷一次骰子，向上一面的点数是 3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是 180°
考点梳理
考点 2
概率的计算
以题导学
2.(2024·深圳)二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确
时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分
别为春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、
芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜
降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒).若从二十四个节气
中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(
)
D
核心 求随机事件的概率
1.一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“绿”“水”“山”“青”
的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均
匀再摸球.
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为多少？(2 分)
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，
求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率 P1；
(3 分)
(3)乙从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，记
乙取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率为 P2，指出
P1，P2 的大小关系.(4 分)
∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为 .
“
解：(1)∵一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“绿” 水” 山”
“青”的四个小球，
(2)画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成
“绿水”或“青山”的结果有 4 种，
∴甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率
(3)画树状图如下：
共有 16 种等可能的结果，其中乙取出的两个球上的汉字恰能组成
“绿水”或“青山”的结果有 4 种，
∴乙取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率
变式 1－1
(2024·宿迁)某校组织七年级学生开展以“讲好红色
故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学
生选择：A.彭雪枫纪念馆，B.淮海军政大礼堂，C.爱园烈士陵园，
D.大王庄党性教育基地.每名学生只能任意选择一条线路.
(1)小刚选择线路 A 的概率为______；(2 分)
(2)请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概
率.(4 分)
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
解：(2)列表如下：
共有 16 种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有
4 种，
A 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
变式 1－2
(2024·广州)善于提问是应用人工智能解决问题的重
要因素之一.为了解同学们的提问水平，对 A，B 两组同学进行问卷调
查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分(单位：分)情况
如下：
(1)求 A 组同学得分的中位数和众数；(4 分)
(2)现从 A，B 两组得分超过 90 分的 4 名同学中随机抽取 2 名同学
参与访谈，求这 2 名同学恰好来自同一组的概率.(4 分)
解：(1)将 10 名 A 组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在
第 5 和第 6 名的成绩为 84，86，
∴A 组同学得分的中位数为(84＋86)÷2＝85(分).
由表格可知，A 组同学得分的众数为 82 分.
(2)将 A 组的两名同学分别记为甲、乙，将 B 组的两名同学分别记
为丙、丁，
画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中这 2 名同学恰好来自同一组的结果
有甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共 4 种，
1.(2024·武汉)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两
)
A
人同时出相同的手势，这个事件是(
A.随机事件
B.不可能事件
C.必然事件
D.确定性事件
2.(2024·广东)长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了藏羌
文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域
文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是
(
)
A
1
A.
4
1
B.
3
C.
1
2
3
D.
4
3.(2024·苏州)如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概
率是______.
4.(2024·重庆)甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从 A，B，
C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点 B 的
概率为______.
5.(2024·常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是____；(2分)
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.(4分)
纸条 石头 剪子 布
石头 — (石头，剪子) (石头，布)
剪子 (剪子，石头) — (剪子，布)
布 (布，石头) (布，剪子) —
解：列表如下：
共有 6 种等可能的结果，其中甲取胜的结果有(石头，剪子)，(剪
子，布)，(布，石头)，共 3 种，
6.(2024·连云港)下列说法正确的是(
)
A.10 张票中有 1 张奖票，10 人去摸，先摸的人摸到奖票的概率
较大
B.从 1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出 3 颗质地均匀的骰子，3 颗全是 6 点朝上是随机
事件
C
列事件发生的概率为 的是(
7.(2024·辽宁)一个不透明袋子中装有 4 个白球，3 个红球，2 个
绿球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下
3
10
)
B
A.摸出白球
C.摸出绿球
B.摸出红球
D.摸出黑球
8.(2024·东营)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，从①AC＝BD，
②AC⊥BD，③AB＝BC 这三个条件中任意选取两个，能使 ABCD 是
正方形的概率为( )
A
9.(2024·泰安)某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》《骆驼祥子》《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》《骆驼祥子》《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰
好选中书名相同的书的概率是______.
10.(2023·广州)甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的 4 个乒乓球拍(分别记为 A，B，C，D)，若
甲先从中随机选取 1 个，乙再从余下的球拍中随机选取 1 个，求乙选
中球拍 C 的概率；(4 分)
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全
部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球.这个约定
是否公平？为什么？(4 分)
解：(1)画树状图如下：
一共有 12 种等可能的结果，其中乙选中球拍 C 有 3 种可能的结果，
(2)公平.理由如下：
画树状图如下：
一共有 4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反
面向上有 2 种可能的结果，
∵P(甲先发球)＝P(乙先发球)，∴这个约定公平.(共37张PPT)
第八章 统计与概率
第二十九讲 统计
调查方式 全面调查 抽样调查
概念 考察全体对象的调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根
据调查数据推断全体对象的情况
特点 调查对象的范围小，不具有破
坏性，数据要求准确全面 调查对象涉及面大、范围广，或受条
件限制，或具有破坏性
考点梳理
考点 1
数据的收集
(1)调查方式
简单随机抽样：在抽样的过程中，总体中的每一个个体都有相等
的机会被抽到，这样的抽样方法叫做简单随机抽样.
名称 概念
总体 要考察的全体对象
个体 组成总体的每一个考察对象(总体包括所有的个体)
样本 被抽查的那些个体组成一个样本
样本容量 一个样本中包含的个体的数目(不用写单位)
(2)总体、个体、样本与样本容量
以题导学
B
1.(2024·镇江)下列各项调查适合普查的是( )
A.长江中现有鱼的种类
B.某班每位同学的视力情况
C.某市家庭年收支情况
D.某品牌灯泡的使用寿命
2.某校有 4 000 名学生，随机抽取了 400 名学生进行体重调查，则
下列说法错误的是(
)
B
A.总体是该校 4 000 名学生的体重
B.个体是每一个学生
C.样本是抽取的 400 名学生的体重
D.样本容量是 400
类型 特点
条形统计图 能够显示每组中的具体数
扇形统计图 能够显示各个部分占总体的百分比
折线统计图 能够显示数据的变化趋势
频数分布直方图 能够显示数据的分布情况
考点梳理
考点 2
数据的整理与描述
(1)频数：每个对象出现的次数.
(2)频率：频率＝
频数
.
数据总数
(3)统计图
(4)画频数分布直方图的步骤：
①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③列频数分布
表；④画频数分布直方图.
以题导学
3.(2024·广州)为了解公园用地面积 x(单位：公顷)的基本情况，
某地随机调查了本地 50 个公园的用地面积，按照 0＜x≤4，4＜x≤8，
8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20 的分组绘制了如图所示的频数分布
直方图，则下列说法正确的是(
)
B
A.a 的值为 20
B.用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多
C.用地面积在 4＜x≤8 这一组的公园个数最少
D.这 50 个公园中有一半以上的公园用地面积超
过 12 公顷
名称 求法
平均数
加权
平均数
(f1，f2，…，fn分别是x1，x2，…，xn出现的次数，且f1＋f2＋…＋fn＝n；ω1，ω2，…，ωn分别是x1，x2，…，xn的权)
中位数 将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列：①若数据的个数是奇数，则中位数
为处于中间位置的数据；②若数据的个数是偶数，则中位数为中间两个数据的平均数
众数 一组数据中出现次数最多的数据
考点梳理
考点 3
数据的分析
(1)数据的集中趋势分析
(2)数据的波动程度分析
②方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越
稳定.
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
以题导学
4.(2024·滨州)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15
名运动员的成绩如下表所示：
上述结论正确的是(
)
A
A.②③
B.①③
C.①②
D.①②③
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是 1.65；
②这些运动员成绩的中位数是 1.70；
③这些运动员成绩的众数是 1.75.
5.(2022·广州)在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两
成绩更为稳定的运动员是______(填“甲”或“乙”).
乙
核心 数据分析
1.为了解某校初二学生的体育水平，体育老师共抽取了 45 名学生
进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，满分成绩为 10 分，成绩达
到 9 分及以上为优秀，成绩达到 6 分及以上为合格.根据这次测试成绩，
制作了统计图和分析表.
性别 平均分 方差 中位数 众数
男生 ______________ 2 ______________ 7
女生 7.92 1.99 8 ______________
抽测学生体育模拟测试成绩分析表
根据以上信息，解答下列问题：
7.9
8
8
(1)已知女生得 10 分的人数为 4，则这次抽测中有女生______人；(2 分)
(2)补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统
计图上；(2 分)
25
(3)补全抽测学生体育模拟测试成绩分析表；(3 分)
(4)若这个年级共有男生 240 人，试估计有多少男生的成绩能够达到优
秀.(3 分)
解：(2)男生得 7 分的人数为 45－25－1－2－3－5－3＝6，
故补全的统计图如图所示.
性别 平均分 方差 中位数 众数
男生 7.9 2 8 7
女生 7.92 1.99 8 8
补全抽测学生体育模拟测试成绩分析表如下.
(4)240×
3＋5
20
＝96(名).
答：估计有 96 名男生的成绩能够达到优秀.
变式 1－1
(2024·深圳)据了解，“i 深圳”体育场地一键预约平
台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利
民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消
费等方面具有重大意义.按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场
馆“应接尽接”原则，“i 深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想
运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”.小明爸爸决定在
周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 A，B 两所学校适合，
小明收集了这两所学校过去 10 周周六上午的预约人数并制成图表如
下所示.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 48 59 45 27 45 51 45 58 50 55
学校 A：
学校 B：
学校 平均数 众数 中位数 小于 30 人的频率 方差
A 48.3 _______ 48 0.1 75.01
B 48.4 25 _______ _______ 349.64
(1)(3 分)
45
48
(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的
理由.(4 分)
解：(2)小明爸爸应该预约 A 学校.理由如下：
因为两所学校的平均数接近，但 A 学校的方差小于 B 学校的，即
A 学校预约人数比较稳定，所以小明爸爸应该预约 A 学校.
0.3
运动时间t/min 频数 频率
30≤t＜60 4 0.1
60≤t＜90 7 0.175
90≤t＜120 a 0.35
120≤t＜150 9 0.225
150≤t＜180 6 b
合计 n 1
变式 1－2
(2022·广州)某校在九年级学生中随机抽取了若干名
学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如
下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
14
0.15
40
(1)频数分布表中的 a＝______，b＝______，n＝______；(3 分)
(2)请补全频数分布直方图；(2 分)
(3)若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每
天体育运动时间不低于 120 min 的学生人数.(3 分)
9＋6
解：(2)补全频数分布直方图如图.
(3)480×
40
＝180(名).
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120 min
的学生人数为 180.
1.以下调查中，最适合采用抽样调查的是(
)
A
A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B.了解全班 50 名同学每天体育锻炼的时间
C.学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D.为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
2.(2023·广州)学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同
学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，则下列关于这
)
A
组数据的描述正确的是(
A.众数为 10
B.平均数为 10
C.方差为 2
D.中位数为 9
3.(2024·黑龙江)一组数据 2，3，3，4，则这组数据的方差为(
)
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
4.(2023·温州)某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图
(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在
80 分及以上的学生有______人.
140
5.(2024·甘孜州)某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活
动.受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动.为了解学生对舞蹈、
声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，现随机选取部分学生进行
调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据
图中信息，回答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了___________名学生，扇形统计图中
圆心角α＝___________度；(2 分)
40
54
②补全条形统计图.(2 分)
(2)若该校共有 400 名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈
社团活动的学生人数.(3 分)
解：(1)②声乐社团的人数为 40×45%＝18，
补全条形统计图如下图.
(2)400×40%＝160(名).
答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有 160 名.
6.(2024·贵州)为了解学生的阅读情况，某校在 4 月 23 日世界读
书日，随机抽取 100 名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经
典作品的有 20 名学生，估计该校 800名学生中每月阅读经典作品两本
以上的人数为(
)
D
A.100
B.120
C.150
D.160
7.(2024·潍坊)中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面
的研究获 2015 年诺贝尔生理学或医学奖.某科研小组用石油醚做溶剂
进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间
和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
)
B
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为(
A.100 min，50 ℃
B.120 min，50 ℃
C.100 min，55 ℃
D.120 min，55 ℃
C
9.(2024·牡丹江)已知一组正整数 a，1，b，b，3 有唯一众数 8，
中位数是 5，则这一组数据的平均数为______.
5
10.(2024·通辽)为迎接 2024 年 5 月 26 日的科尔沁马拉松赛事，
某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试.七年级 600 名
学生全部参加本次测试，调查研究小组从中随机抽取 50 名学生的测试
成绩(百分制)作为一个样本.
【收集数据】
调查研究小组收集到 50 名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
组别 成绩分组 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 16
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 b
【整理并描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方
图和扇形统计图：
(1)频数分布表中，a＝___________，b＝___________，并补全频
数分布直方图；(4 分)
8
10
20
72°
(2)扇形统计图中，m＝___________，D 所对应的扇形的圆心角度
数是____________；(2 分)
【应用数据】
(3)若成绩不低于 90 分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年
级学生中，成绩为优秀的人数.(3 分)
解：(1)补全频数分布直方图如下图.
(3)600×20%＝120(人).
答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数
为 120.