(共17张PPT)
微专题 阴影面积的求法
模型图 等量关系
S阴影＝S扇形MEN
一、直接公式法
【模型应用】
1.(2023·新疆)如图，在⊙O 中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇
形 OAB(阴影部分)的面积是(
)
B
A.12π
B.6π
C.4π
D.2π
2.如图，在△ABC 中，AB＝6，∠C＝24°，以 AB 为直径的⊙O
交 BC 于点 D，点 D 为 BC 的中点，则图中阴影部分的面积为______.
模型图 等量关系
S阴影＝S△ABC－S扇形CAD
S阴影＝S△AOB－S扇形COD
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
二、直接和差法
【模型应用】
3.如图，以边长为 2 的等边△ABC 的顶点 A 为圆心，一定的长为
半径画弧，恰好与 BC 边相切，分别交 AB，AC 于点 D，E，则图中阴
影部分的面积是(
)
D
4.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线交于点 O，以OC为半
径的扇形的圆心角∠FOH＝90°.则图中阴影部分的面积是_________.
2π－4
模型图 等量关系
S阴影＝S△ODC－S扇形ODE
S阴影＝2S△AOP－S△AOB
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
三、构造和差法
【模型应用】
5.(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图所示的方式放置，半圆
O′的一个直径端点与半圆 O 的圆心重合，若半圆的半径为 2，则阴影
部分的面积是(
)
A
6.如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，半径 OC 交弦 AB 于点
D，且 OC⊥OA.若 OA＝2
，则阴影部分的面积为(
)
A
7.在如图所示的扇形 AOB 中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，点 C
︵
为AB上一点，∠AOC＝30°，连接 BC，过点 C 作 OA 的垂线交 AO 于
点 D，则图中阴影部分的面积为___________.
转换方法 模型图 等量关系
直接等面积转化法 CD∥AB
S阴影＝S扇形COD
平移转化法 AE＝BE
S阴影＝S正方形BCFE
四、等面积转化法
转换方法 模型图 等量关系
轴对称转化法 点D为AB的中点
S阴影＝S扇形ACB－S△ADC
S阴影＝S扇形CED
旋转转化法 S阴影＝S扇形ABE－S扇形MBN
【模型应用】
8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 与 AB，BC
分别交于点 D，E，连接 AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影
部分的面积为(
)
A
9.如图，点 O 是半圆的圆心，BE 是半圆的直径，点 A，D 在半圆
上，且 AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，
则阴影部分的面积是(
)
B
10.如图，将扇形 OAB 沿 OB 方向平移，使点 O 平移到 OB 的中点
O′处，得到扇形 O′A′B′.若∠AOB＝90°，OA＝2
，则阴影部分的面
积为( )
B
11.如图，在菱形 ACBD 中，AB 与 CD 交于点 O，∠ACB＝120°，
以点 C 为圆心，AC 为半径作弧 AB，再以点 C 为圆心，CO 为半径作
弧 EF 分别交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，若 CB＝2，则图中阴影部分
的面积为_________.(共37张PPT)
第二十五讲 与圆有关的计算
名称 周长(弧长) 面积
圆 周长：C＝2πr S＝πr2
扇形
考点梳理
考点 1
弧长与扇形面积
以题导学
1.(2022·广东)扇形的半径为 2，圆心角为 90°，则该扇形的面积
(结果保留π)为______.
π
6
2.75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是
______cm.
知识点 圆柱 圆锥
图形
侧面积 S侧＝Ch＝2πrh S侧＝ Cl＝πrl
全面积 S全＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2 S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2
考点梳理
考点 2
圆柱与圆锥的有关计算
以题导学
3.(2024·广州)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇
形，若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是(
)
D
名称 概念 图形
中心 正多边形的外接圆的圆心
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形
的中心角；正 n 边形的每个中心角都相等
半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径
边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形
的边心距
考点梳理
考点 3
正多边形与圆
以题导学
4.(2024·雅安)如图，⊙O 的周长为 8π，正六边形 ABCDEF 内接
于⊙O，则△OAB 的面积为(
)
B
核心
弧长与扇形的面积计算
1.如图，点 P 是△ABC 内一点，PD⊥BC，垂足为 D，将线段 PD
绕点 P 顺时针旋转 90°得到扇形 DPE，过点 E 作 EM⊥PE 交 AB 于点
︵
M，连接 PM，与DE交于点 F，过点 P 作 PN⊥PM 交 BC 于点 N.
(1)求证：△PEM≌△PDN.(3 分)
(2)已知 PD＝4
，EM＝4.
①通过计算，比较线段 PN 和弧 DF 哪个的长度
更长；(3 分)
②计算图中阴影部分的面积.(结果保留π)(4 分)
(1)证明：∵PD⊥BC，∴∠PDN＝90°.
由旋转可得 PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠EPM＋∠MPD＝90°.
∵EM⊥PE，∴∠MEP＝∠NDP＝90°.
∵PN⊥PM，∴∠MPD＋∠DPN＝90°，
∴∠EPM＝∠DPN.
∴△PEM≌△PDN.
【方法技巧】求阴影部分的面积的主要思路是将不规则图形的面
积转化为规则图形的面积.
常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法.
变式 1－1 如图，点 C，D 是以 AB 为直径的半圆上的两点，
∠CAB＝∠DBA，连接 BC，CD.
(1)求证：CD∥AB；(4 分)
(2)若 AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积.(6 分)
︵ ︵
(1)证明：∵AD＝AD，
∴∠ACD＝∠DBA.
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB.
(2)解：如图，连接 OD，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E.
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长.(结果保留π)
变式 1－2 (2022·福建)如图，△ABC 内接于⊙O，AD∥BC 交
⊙O 于点 D，DF∥AB 交 BC 于点 E，交⊙O 于点 F，连接 AF，CF.
(1)求证：AC＝AF；(4 分)
︵
(6 分)
证明：(1)∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形 ABED 为平行四边形，∴∠B＝∠D.
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF.
(2)解：如图，连接 AO，CO.
由(1)得∠AFC＝∠ACF.
核心
正多边形与圆的计算
＝120°.
(1)求 BC 的长.(3 分)
(2)作∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D.
①求证：△BDC 为等边三角形；(3 分)
②若 AC＝6
，求 AD 的长.(4 分)
【方法技巧】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连
接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角
三角形.
变式 2－1 (2024·甘孜州)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，
OA＝1，则 AB 的长为(
)
C
变式 2－2
(2024·呼和浩特) 如图，正方形 ABCD 和正五边形
CEFGH 内接于⊙O，AD 和 EF 相交于点 M，则∠AMF 的度数为(
)
A.26°
B.27°
C.28°
D.30°
B
︵
长为(
)
A.2π
B.3π
C.4π
D.6π
1.(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则AB的
C
2.(2024·东营)习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族
的根和魂.某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学
制作了一把扇形纸扇.如图，OA＝20 cm，OB＝5 cm，纸扇完全打开后，
外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一
侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为(
B.75π
C.125π
D.150π
)cm2.
C
3.(2024·无锡)已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 4，则圆锥
的侧面积为(
)
B
A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
4.(2023·西宁)如图，边长为 的正方形 ABCD 内接于⊙O，分别
过点 A，D 作⊙O 的切线，两条切线交于点 P，则图中阴影部分的面积
是_________.
5.(2024·南通)如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A
与 BC 相切于点 D.
(1)求图中阴影部分的面积 S；(4 分)
(2)设⊙A 上有一动点 P，连接 CP，BP，当 CP 的长最大时，求
BP 的长.(6 分)
6.(2024·济宁)如图，边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，
则它的内切圆半径为(
)
D
7.(2024·包头)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝80°，半径 OA＝
︵
3，点 C 是AB上一点，连接 OC，点 D 是 OC上一点，且OD＝DC，连
︵
接 BD.若 BD⊥OC，则AC的长为(
)
B
8.(2024·通辽)如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利
用一个扇形纸片恰好围成一个底面半径为 5 cm，母线长为 12 cm 的圆
锥，那么这个扇形纸片的面积是______cm2.(结果用含π的式子表示)
60π
4π
10.(2023·潍坊)如图，正方形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，
︵
连接 AE，DE，过点 A 作 AG⊥AE，交⊙O 于点 G，交 DE 于点 F，连
接 CG，DG.
(1)求证：△AFD≌△CGD；(4 分)
(2)若 AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积.(6 分)
(1)证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，∴∠EDG＝∠EAG＝90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.
∵∠ADF＋∠FDC＝∠CDG＋∠FDC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDG.
∴△ADF≌△CDG(ASA).
(2)解：如图，过点 D 作 DH⊥AG 于点 H，连接 OA，OD.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAG＋∠BAG＝∠BAE＋∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE＝30°.
∵DH⊥AG，∴∠DHG＝90°，
∴△HDG 和△DFG 都是等腰直角三角形.(共39张PPT)
第二十四讲 与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 图示
点(C)在圆内 d＜r
点(A)在圆上 d＝r
点(B)在圆外 d＞r
考点梳理
考点 1
点与圆的位置关系
d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径，点和圆的位置关系如下表：
以题导学
1.(2024·广州)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 4
，点 C 在⊙O
上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O 所在的平面内有一点 P，若 OP＝5，
则点 P 与⊙O 的位置关系是(
)
A.点 P 在⊙O 上
C.点 P 在⊙O 外
B.点 P 在⊙O 内
D.无法确定
C
关系 图示 公共点个数 数量关系
相离 0 d＞r
相切 1 d＝r
相交 2 d＜r
考点梳理
考点 2
直线与圆的位置关系
以题导学
为圆心，r 为半径作⊙B，当 r＝3 时，⊙B 与 AC 的位置关系是(
)
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
B
定义 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
性质 圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线到圆心的距离等于圆的半径
证明
方法 利用切线的性质解决问题时，通常连接过切点的半径，利用直角三
角形的性质来解决问题
判定 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证明
方法 直线与圆有公共点时，连半径，证垂直；直线与圆没有公共点时，
作垂直，证垂线段等于半径
考点梳理
考点 3
切线的性质与判定
以题导学
3.(2024·宿迁)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且 AB⊥
CD，垂足为 E，AB＝20，CD＝12，在 BA 的延长线上取一点 F，连
接CF，使∠FCD＝2∠B.
(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(4 分)
(2)求 EF 的长.(6 分)
(1)证明：如图，连接 OC.∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B.
∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，
∴∠COE＋∠OCE＝90°.
∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°.
∵OC 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线.
考点梳理
考点 4
切线长定理
(1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的
长，叫做这点到圆的切线长.
(2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
以题导学
4.如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，
则 AB＝(
)
B
类型 定义 圆心 图示 性质
三角形的
内切圆 与三角形各边
都相切的圆叫
做三角形的内
切圆 三角形三条角
平分线的交点
(三角形的内心) (1)到三边的距
离相等；
(2)一定在三角
形内部
三角形的
外接圆 经过三角形三
个顶点的圆，叫
做三角形的外
接圆 三角形三条边
的垂直平分线
的交点(三角形
的外心) (1)到三个顶点
的距离相等；
(2)圆心不一定
在三角形内部
考点梳理
考点 5
三角形的内切圆与外接圆
以题导学
5.(2023·聊城)如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC
的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
C
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
6.(2024·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝
28°，则∠A＝______°.
62
核心
点、线与圆的位置关系
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6.点 E 为 CD 边上的一个
动点(不与点 C，D 重合)，⊙O 是△BCE 的外接圆.
(1)若 CE＝2，⊙O 交 AD 于点 F，G，求 FG 的长度；(4 分)
(2)若 CE 的长度为 m，⊙O 与 AD 的位置关系随着 m 值的变化而
变化，试探索⊙O 与 AD 的位置关系及对应的 m 的取值范围.(6 分)
解：(1)如图，过点 O 作 OM⊥FG 于点 M，
延长 MO 交 BC 于点 N，连接 OG.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，∴BE 是⊙O 的直径.
∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，∴四边形 MNCD 是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN.
∵OB＝OE，∴ON 是△BCE 的中位线，
变式 1－1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8.
以点 A 为圆心，r 为半径作圆，当点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r
的值可能是(
)
B
A.6
B.8
C.10
D.12
变式 1－2 在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3 为半径的
圆与坐标轴的位置关系为(
)
B
A.与 x 轴相切，与 y 轴相离
B.与 x 轴相交，与 y 轴相切
C.与 x 轴，y 轴都相交
D.与 x 轴，y 轴相离
核心
切线的性质与判定
2.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，点 P 是 BA 延
长线上的一点，连接 AC，∠PCA＝∠B.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(4 分)
(3)若 CD⊥AB 于点 D，PA ＝4，BD＝6，求 AD 的长.(4 分)
(1)证明：如图，连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠OCA＝90°.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO.
∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，∴PC 是⊙O 的切线.
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°.
由(1)知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB－∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP.
变式 2
(2024·赤峰)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，⊙O 经过 B，C 两点，与斜边 AB 交于点 E，连接 CO 并延长交
AB 于点 M，交⊙O 于点 D，过点 E 作 EF∥CD，交 AC 于点 F.
(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(4 分)
(1)证明：如右图，连接 OE.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°.
∵EF∥CD，
∴∠COE＋∠OEF＝180°，
∴∠FEO＝90°.
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EF 是⊙O 的切线.
1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线
和圆的位置关系是(
)
B
A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
2.(2024·福建)如图，已知点 A，B 在⊙O 上，∠AOB＝72°，直
︵
线 MN 与⊙O 相切，切点为点 C，且 C 为AB的中点，则∠ACM 等于
(
)
A.18°
B.30°
C.36°
D.72°
A
3.如图，EB，EC 是⊙O 的两条切线，点 B，C 是切点，点 A，D
是⊙O 上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是____
度.
99
4.(2023·湖北)如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切
圆⊙O 与 AB，BC 分别相切于点 D，E，连接 DE，AO 的延长线交 DE
于点 F，则∠AFD＝______°.
35
5.(2024·东营)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 E
︵
在⊙O 上，点 C 是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点 D，DC的延长线交
AB 的延长线于点 F.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(4 分)
(2)若 CD＝ ，∠ABC＝60°，求线段 AF 的长.(6 分)
(1)证明：如图，连接 OC.
︵ ︵ ︵
∵点 C 是BE的中点，∴BC＝CE，∴∠BAC＝∠CAE.
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD.
∵AE⊥CD，∴OC⊥DF.
∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.
(2)解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°.
∵∠F＝180°－∠D－∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6.
6.(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直
线 l 的距离为 3，点 P 为圆上的一个动点，则点 P 到直线 l 的最大距离
是(
)
B
A.2
B.5
C.6
D.8
AB＋AC
7.(2024·宜宾)如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD
平分∠BAC 交⊙O 于点 D，则
AD
的值为(
)
A
8.(2024·包头)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 O
在四边形 ABCD 内部，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P，
连接 OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC 的度数为
________.
105°
6
10.(2024·自贡)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内
切圆，切点分别为 D，E，F.
AD
BE
1
(1)图 1 中三组相等的线段分别是 CE＝CF，AF＝______，BD＝
______；若 AC＝3，BC＝4，则⊙O 半径长为______.(3 分)
(2)如图 2，延长 AC 到点 M，使 AM＝AB，过点 M
作 MN⊥AB 于点 N.求证：MN 是⊙O 的切线.(4 分)
图 1
图 2
证明：如图，过点 O 作 OH⊥MN 于点 H，
连接 OD，OE，OF.
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN＝AC.
∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即 DN＝CF，
同(1)可知 CF＝OE，∴DN＝OE.
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形 OHND 是矩形，∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即 OH 是⊙O 的半径.
∵OH⊥MN，∴MN 是⊙O 的切线.(共37张PPT)
微专题 构造辅助圆求最值
类型 一点作圆 三点定圆
图示
特点 平面内，点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB 长
度固定 OA＝OB＝OC
结论 点 B 的轨迹在以点 A 为圆心，AB 长为半径的
圆上 点 A，B，C 均在⊙O 上
用法 若题干出现“定点，定线段长度”或“三条线段长度相等，且共用一个顶点”
或通过已知条件能分析出上述结论，则考虑用“定点定长”作圆求解
一、定点定长型
【模型概述】
【模型应用】
1.【提出问题】
(1)如图 1，点 P 是半径为 1 的⊙O 上任意一点，点 A 为⊙O 外一
点，且 AO＝2，则线段 AP 的最小值为______；(2 分)
1
【探究问题】
(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，BC＝8，点P是BC边
上一动点(点 P 不与点 B，C 重合)，连接 AP，作点 B 关于直线 AP 的
对称点 M，求线段 MC 的最小值；(4 分)
图 1
图 2
图 3
解：如图，连接 AC，AM.
∵点 B，点 M 关于直线 AP 对称，
∴AB＝AM＝6，∴点 M 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上运动，
∴当点 M 在线段 AC 上时，MC 有最小值.
∴CM 的最小值为 AC－AM＝10－6＝4.
【解决问题】
(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，AD＝10，动点 E，F 分别在边 DC，
CB 上移动，且满足 DE＝CF，AE 交 DF 于点 P，连接 CP，求线段 CP
的最小值.(6 分)
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.
∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC.
∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠FDC＝90°，
∴∠ADP＋∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF.
如图，连接 AC，BD 交于点 O.
∵点 P 在运动中保持∠APD＝90°，取 AD 的中点 R，
∴点 P 的运动路径是以 AD 为直径的圆 R，
当 C，P，R 三点共线时，CP 最小，
图示
特点 在△ABC 中，AB＝a 为定长，∠C＝α 为定角度
结论 当α<90°时，点 C 在优弧
ACB 上运动(不与点 A，B
重合)，∠ACB＝ ∠AOB
当α＝90°时，点 C
在⊙O 上运动(不与点
A，B 重合)，弦 AB 为
直径 当α>90°时，点 C 在劣
弧 AB 上运动(不与点
A，B 重合)， ∠AOB＋
∠ACB＝180°
二、定弦定角型
【模型概述】
推论 构成等腰三角形(AC＝BC)时，点 C 到 AB 的距离最大，且此时△ABC 的
面积最大
用法 (1)找模型
当题干出现“定角”且该角度对应的边为“定边”时，先考虑“定弦定角”
模型.
(2)用模型
作含定弦定角的三角形的外接圆，若所求为面积最值，则可转化为求三角
形底边(定弦)上高的最值
【模型应用】
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 是矩形内部的一
个动点，且 AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为__________.
3.【提出问题】
(1)如图 1，已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，则△ABC 的面
积为______；(2 分)
【探究问题】
求△ABC 的最大面积；(4 分)
【解决问题】
(3)如图 3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形 ABCD，其宽 AB＝
20 米，长 BC＝24 米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂
最尾端墙面 CD 上安装一台摄像头 M 进行观测，并且要求能观测到礼
堂前端墙面 AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点 M 出
发的观测角∠AMB＝45°.请你通过所学的知识进行分析，在墙面 CD
区域上是否存在点 M 满足要求？若存在，求出 MC 的长度；若不存在，
请说明理由.(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(2)如图，作△ABC 的外接圆⊙O.
(3)存在.理由如下：
如图，以 AB 为边，在矩形 ABCD 的内部作一个等腰直角三角形
AOB，且∠AOB＝90°，过点 O 作 HG⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G.
图示
特点 在△ABC中，∠BAC＝α(定角)，AD是BC边上的高，且AD＝h(定高)
结论 构成等腰三角形(AB＝AC)时，①BC 的长最小；②△ABC的周长最小；
③△ABC 的面积最小
用法 (1)找模型
若题干出现“定角”且该角对应边的高线“定高”，考虑用“定角定高”模型.
(2)用模型
作含定角定高的三角形的外接圆，所求若为面积最值，可转化为求该角对应边长度的最值
三、定角定高型
【模型概述】
【模型应用】
4.如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，
则△ABC 面积的最小值为_________.
5.【提出问题】
2
图 1
图 2
图 3
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥BC，交AD的延长线于点E，若△ABC的面积为4，则△DCE的面积为______；(2分)
【探究问题】
(2)如图 2，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 A 到 BC 的距离为
6，求△ABC面积的最小值；(4分)
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，作△ABC 的外接圆⊙O，
连接 AO，则 AD＝6.
【解决问题】
(3)如图 3，有一块矩形空地 ABCD，AB＝120 m，BC＝70 m，现
要对这块空地进行改造，根据设计要求，在 AB 的中点 M 处修建一个
观景台，AD，BC 边上分别修建亭子 E，F，且∠EMF＝120°，并在
△MAE 和△MBF区域种植景观树，在矩形其他区域均种植花卉，已知
种植这种景观树每平方米需 200 元，种植这种花卉每平方米需 100 元，
试求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少元？(结果
保留根号)(6 分)
解：如图，延长 EM 交 CB 的延长线于点 G，
则∠AME＝∠BMG，∠EAM＝∠MBG＝90°.
∴∠FMG＝∠FMB＋∠BMG＝∠FMB＋∠EMA＝180°－∠EMF
＝60°.
图示
特点 点A，B是∠MDN的边DN上的两个定点，点P是边DM上的动点，则当点P在何处时，∠APB 最大
结论 当△ABP的外接圆与边DM 相切于点P时，∠APB最大
用法 (1)找模型
有“角最大”“视野最好”等字眼时，考虑用“最大张角”模型.
(2)用模型
确定最大张角模型后，作三角形的外接圆⊙O，当⊙O与动点所在直线相切时，可得到角最大
四、最大张角型
【模型概述】
【模型应用】
6.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 为 AD边上一点，
当∠BEC 最大时，求 cos∠BEC 的值______.
5
13
7.【探究问题】
＜
图 1
图 2
图 3
(1)如图 1，AB 是⊙O 的弦，直线 l 与⊙O 相交于 M，N 两点，点
M1，M2是直线l上异于点M，N的两个点，则∠AMB________∠AM1B.
(填“＞”“＜”或“＝”)(2 分)
(2)如图 2，AB 是⊙O 的弦，直线 l 与⊙O 相切于点 M，点 M1 是
直线 l 上异于点 M 的任意一点，请在图 2中画出图形，试判断∠AMB，
∠AM1B 的大小关系，并证明.(4 分)
解：画出图形如图 2 所示，∠AMB＞∠AM1B.证明如下：
图 2
如图 2，连接 BF.
∵∠AFB 是△FBM1 的外角，∴∠AFB＞∠AM1B.
∵∠AMB＝∠AFB，∴∠AMB＞∠AM1B.
【解决问题】
(3)某游乐园的平面图如图 3 所示，场所保卫人员想在线段 OD 上
的点 M 处安装监控装置，用来监控 OC 边上的 AB 段，为了让监控效
果达到最佳，必须要求∠AMB 最大.已知∠DOC＝60°，OA＝400 米，
AB＝200 米，请问在线段OD上是否存在一点 M，使得∠AMB 最大？
若存在，请求出此时 OM 的长和∠AMB 的度数；若不存在，请说明理
由.(6 分)
解：如图 3，当经过点 A，B 的⊙T 与 OD相切于点 M 时，∠AMB
最大，作 TH⊥OC 于点 H，交 OD 于点 Q，连接 TA，TB，OT，TM.
设 TM＝TA＝TB＝r 米.
图 3
图示
特点 在由点 A，B，C，D 构成的四边形中，∠ADB＝∠ACB＝90°
结论 (1)点 A，B，C，D 在同一个圆上，AB 为⊙O 的直径；
(2)圆内接四边形的对角互补
五、四点共圆型
【模型概述】
1.直径确定
图示
特点 AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D 在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝180°(四边形的对角互补)
结论 点 A，B，C，D 在同一个圆上
用法 (1)找模型
两个三角形有一个公共边，且这个公共边所对的两个角相等，考虑用“四点
共圆”模型.
(2)用模型
确定四点共圆模型，常利用同弧(同弦)所对的圆周角相等或圆内接四边形的对
角互补解题
2.直径不确定
【模型应用】
8.如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点 O 为 AC
的中点，过点 O 作 OE⊥OF，OE，OF 分别交射线 AB，BC于点 E，F，
则 EF 的最小值为______.
5
9.如图，△ABC 为等边三角形，点 P 是线段 AC 上一动点(点 P 不
与点 A，C 重合)，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线段，垂足为点 D，
将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE，连接 DE，CE.
(1)求证：BD＝CE.(4 分)
(2)连接CD，延长ED交BC于点F，设△ABC的边长为2.
①求 CD 的最小值；(4 分)
②求 EF 的最大值.(4 分)
(1)证明：∵线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE.
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.
(2)解：①∵AD⊥BP，∴∠ADB＝90°，
∴点 D 在以 AB 为直径的圆上运动，
如图，连接 OC，与⊙O 相交于点 D，此时 CD 的值最小.
∵△ABC 为等边三角形，AB 为⊙O 的直径，
②如图，过点 C 作 CG∥BP，交 EF 的延长线于点 G，连接 AF.
∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°，
∴∠BDG＝∠EDP＝30°.
∵CG∥BP，∴∠G＝∠BDG＝30°.
由(1)可得△ADB≌△AEC，
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠GEC＝∠AEC－∠AED＝30°，
∴∠G＝∠GEC＝30°，
∴GC＝CE，
∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，
∴△BFD≌△CFG(AAS)，
∴BF＝FC，即点 F 是 BC 的中点.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴点 A，F，C，E 在以 AC 为直径的圆上，
∴EF 最大为直径，其最大值为 2.(共34张PPT)
第六章
圆
第二十三讲 与圆有关的概念与性质
名称 概念
圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
定点为圆心，定长为半径
弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做
优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
考点梳理
考点 1
圆的有关概念
以题导学
1.下列说法正确的是(
)
B
A.经过圆心的线段是直径
B.直径是同一个圆中最长的弦
C.长度相等的两条弧是等弧
D.弧分为优弧和劣弧
垂径
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推理 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧
考点梳理
考点 2
垂径定理及其推理
以题导学
2.(2024·长沙)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB
的距离 OE＝4，则⊙O 的半径长为(
)
B
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相
等
推理 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的弦相等；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的弧相等
考点梳理
考点 3
圆心角、弦、弧之间的关系
以题导学
︵ ︵ ︵
3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC＝CD＝DE，∠AOE＝60°，
则∠BOC 的度数为(
)
B
A.35°
B.40°
C.45°
D.60°
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推理 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是
直径
考点梳理
考点4
圆周角定理及推理
以题导学
4.(2023·广东)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝
(
)
B
A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
定义 四个点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形
性质 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内
对角
考点梳理
考点 5
圆内接四边形
以题导学
5.(2024·青海)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A＝
50°，则∠C 的度数是______.
130°
核心 与圆有关的性质的综合应用
︵
1.如图 1，AB 是半径为 5 的⊙O 的直径，点 C 是ABD的中
点，连接 CD 交 AB 于点 E，连接 AC，AD，OC.
图 2
图 1
(1)求证：OC⊥AD；(4 分)
(2)若 BE＝1，求 AD 的长；(4 分)
(1)证明：如图1，连接OD.∵点C是ABD的中点，∴CA＝CD.
(3)如图 2，作 CF⊥AB 于点 H，交 AD 于点 F，射线 CB 交 AD 的
延长线于点 G，若 OH＝1，求 AG 的长.(4 分)
︵
图 1
∵OA＝OD，
∴CO 垂直平分 AD，∴OC⊥AD.
(2)解：如图 2，延长 CO 交 AD 于点 P，连接 BD.
图 2
(3)解：如图 3.延长 CO 交 AD 于点 P.
图 3
∵CF⊥AB，∴∠CHA＝∠CHB＝90°.
∵OH＝1，OC＝OA＝OB＝5，∴AH＝6，BH＝4，
【方法总结】(1)当题目中遇到直径时，要考虑到直径所对的圆周
角是直角.(2)在同圆中，由“同弧或等弧所对的圆周角相等”寻找相等
的圆周角，从而实现等量关系的转化.
变式 1－1 (2022·广东)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为
⊙O 的直径，∠ADB＝∠CDB.
(1)试判断△ABC 的形状，并给出证明；(4 分)
(2)若 AB＝ ，AD＝1，求 CD 的长度.(6 分)
解：(1)△ABC 是等腰直角三角形.证明如下：
∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
变式 1－2 (2023·衡阳)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，
点 D 是弧 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F，交⊙O于点H，
DB 交 AC 于点 G.
(1)求证：AF＝DF.(4 分)
1.(2023·宜昌)如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，AC，OB 交
于点 D.若 AD＝CD＝8，OD＝6，则 BD 的长为(
)
B
A.5
B.4
C.3
D.2
则∠ABD 的度数为(
)
A.90°
B.95°
C.100°
D.105°
D
3.(2024·常州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接
AD，BC，BD.若∠BCD＝20°，则∠ABD＝______°.
70
4.(2024·滨州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 OABC
是菱形，则∠D＝______°.
60
5.(2023·武汉)如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠ACB＝
2∠BAC.
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(4 分)
(2)若 AB＝4，BC＝ ，求⊙O 的半径.(6 分)
6.(2024·吉林)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O.过点 B 作 BE∥AD，
交 CD 于点 E.若∠BEC＝50°，则∠ABC 的度数是(
)
C
A.50°
B.100°
C.130°
D.150°
7.(2024·赤峰)如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，半径
OC⊥AB，连接 CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED 的度数
是(
)
B
A.61°
B.63°
C.65°
D.67°
8.(2023·深圳)如图，在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，
∠BAC 的平分线与⊙O 交于点 D，连接 BC，若∠ADC＝20°，则
∠BAD ＝______°.
35
∠AOB＝90°时，|l－s|＝______.(结果保留一位小数)
0.1
10.(2024·包头)如图，AB 是⊙O 的直径，BC，BD 是⊙O 的两条
弦，点 C 与点 D 在 AB 的两侧，点 E 是 OB 上一点(OE＞BE)，连接
OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
图 1
图 2
(1)如图 1，若 BE＝1，CE＝ ，求⊙O 的半径；(4 分)
(2)如图 2，若 BD＝2OE，求证：BD∥OC.(请用两种证法解答)
(6 分)
(1)解：如图 1，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H.
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH.
∵∠BOC＝2∠BCE，∴∠BOH＝∠BCE.
图 1
∵∠BOH＋∠OBH＝90°，∴∠BCE＋∠OBH＝90°，
∴OB＝3，∴⊙O 的半径为 3.
(2)证明：如图 2，过点 O 作 OK⊥BD 于点 K，则 BK＝DK.
图 2
∵BD＝2OE，∴OE＝BK.
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD.
