(共44张PPT)
第二十八讲 图形的轴对称、平移与旋转
类型 轴对称 轴对称图形
图形
考点梳理
考点 1
轴对称与轴对称图形
类型 轴对称 轴对称图形
概念 把一个图形沿某一条直线翻折过
去，它能够与另一个图形重合，就
称这两个图形关于这条直线成轴
对称，这条直线叫做对称轴 一个图形沿某条直线对折，
对折的两部分能够完全重
合，就称这样的图形为轴对
称图形
性质 (1)对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平
分(或在同一条直线上)；
(2)轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变
图形的位置，新旧图形具有对称性；
(3)轴对称的两个图形，如果它们对应线段或延长线相交，那么
交点一定在对称轴上
以题导学
1.(2023·广东)下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为(
)
A
B
C
D
A
类型 中心对称 中心对称图形
图形
概念 把一个图形绕着某一点旋转 180°，如
果它能够与另一个图形重合，那么这两
个图形关于这个点成中心对称，该点叫
做对称中心 把一个图形绕着某一点旋转 180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形
性质 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
考点梳理
考点 2
中心对称与中心对称图形
以题导学
2.(2024·广州)下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两
个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是(
)
A
B
C
D
C
类型 平移 旋转
概念 在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角
考点梳理
考点 3
图形的平移与旋转
类型 平移 旋转
性质 (1)平移后，对应线段相等且平行(或在同
一直线上)，对应点所连的线段平行(或在
同一条直线上)且相等；
(2)平移后，对应角相等且对应角的两边分
别平行(或在同一直线上)、方向相同；
(3)平移不改变图形的形状和大小，只改变
图形的位置，平移后新旧两个图形全等 (1)旋转前、后图形全
等；
(2)对应点与旋转中心
所连线段的夹角等于
旋转角；
(3)对应点到旋转中心
的距离相等
以题导学
3.(2023·南充)如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC
＝5，BE＝2，则 CF 的长是(
)
A
A.2
B.2.5
C.3
D.5
4.(2024·滨州)一副三角板如图 1 摆放，把三角板 AOB 绕公共顶
点 O 顺时针旋转至图 2，即 AB∥OD 时，∠1 的大小为______°.
75
类型 内容
点M(a，b)
的平移 (1)沿x轴正方向平移n个单位长度 M1(a＋n，b).
(2)沿x轴负方向平移n个单位长度 M2(a－n，b).
(3)沿y轴正方向平移n个单位长度 M3(a，b＋n).
(4)沿y轴负方向平移n个单位长度 M4(a，b－n)
点P(a，b)
的对称点 (1)关于x轴对称 P1(a，－b).
(2)关于y轴对称 P2(－a，b).
(3)关于原点对称 P3(－a，－b).
拓展：
(4)关于直线y＝x对称 P4(b，a).
(5)关于直线y＝－x对称 P5(－b，－a)
考点梳理
考点 4
点的坐标变换
以题导学
5.(2024·长沙)在平面直角坐标系中，将点 P(3，5)向上平移 2 个
单位长度后得到点 P′的坐标为( )
D
A.(1，5)
C.(3，3)
B.(5，5)
D.(3，7)
6.(2024·雅安)在平面直角坐标系中，将点 P(1，－1)向右平移 2
)
B
个单位长度后，得到的点 P1 关于 x 轴的对称点坐标是(
A.(1，1)
B.(3，1)
C.(3，－1)
D.(1，－1)
核心
轴对称的应用
1.对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕EF，把纸片
展平；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处，并使折痕经过
点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN，如图 1.
图 1
图 2
图 3
(1)折痕直线 BM_____(填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分
线.请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？计算出∠MNE 的度数；
(4 分)
是
(2)继续折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，并使折痕经过
点 B，得到折痕 BG，把纸片展平，如图 2，计算∠GBN 的度数；(4 分)
(3)如图 3，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A′处，
并且折痕交 BC 边于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平，连接 AA′交
ST 于点 O，连接 AT.求证：四边形 SATA′是菱形.(4 分)
(1)解：∵对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，
∴EF 垂直平分 AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°.
∵再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处，
∴BM 垂直平分 AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝ ，∴BNABN 是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°.
(2)解：∵折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，由(1)知∠ABN＝60°，
∴∠GBN＝∠ABN－∠ABG＝15°.
(3)证明：∵折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A′处，
∴ST 垂直平分 AA′，
∴AO＝A′O，AA′⊥ST.
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA′O，∠ASO＝∠A′TO，
∴△ASO≌A′TO(AAS)，
∴SO＝TO，
∴四边形 ASA′T 是平行四边形.
又∵AA′⊥ST，
∴四边形 SATA′是菱形.
变式 1－1 (2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D
在 AB 上，点 E 在 BC 上，点 B 关于直线DE的轴对称点为点 B′，连接
DB′，EB′，分别与AC相交于点F，点G，若 AF＝8，DF＝7，B′F＝4，
则 CG 的长度为______.
变式 1－2 (2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD
的边 AB 在 x 轴上，点 A 的坐标为(－2，0)，点 E 在边 CD 上.将△BCE
沿 BE 折叠，点 C 落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0，6)，则点 E 的坐标
为_________.
(3，10)
核心
旋转的应用
BE＝3AD
AD⊥BE
图 1
图 2
图 3
2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3.
(1)如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是___________，AD与BE的位置关系是___________；(2分)
(2)将△CAB 绕点 C 按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连
接AD，BE，若 AD 交 CE 于点 N，线段 AD 与 BE 的数量关系、位置
关系与(1)中结论是否一致？请结合图 2 说明理由；(4 分)
(3)如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落
在 AB 边上时，连接 BE，求线段 BE 的长.(6 分)
解：(2)线段 AD 与 BE 的数量关系、位置关系与
(1)中结论一致.理由如下：
如图 2，延长 DA 交 BE 于点 H.
∵将△CAB 绕点 C 按逆时针方向旋转任意角度得
到△CDE，
图 2
图 3
变式 2－1
(2023·宁夏)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，BC＝2，点 D 在 BC 上，且 BD∶CD＝1∶3.连接 AD，线段 AD绕
点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AE.连接 BE，DE，则△BDE 的面积是
(
)
B
1
A.
4
3
B.
8
C.
3
4
3
D.
2
变式 2－2
(2023·菏泽)如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，
将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF.若∠ABE＝55°，
则∠EGC＝______度.
80
变式 2－3 【问题呈现】
已知△CAB 和△CDE 都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
CB＝mCA，CE＝mCD，连接 AD，BE，探究 AD，BE 的位置关系.
图 1
图 2
图 3
【问题探究】
AD⊥BE
(1)如图 1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：________；
(2 分)
解析：如图 1，延长 BE 交 AC 于点 H，交 AD 于点 N.
当 m＝1 时，DC＝CE，CB＝CA.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC＝∠CBE.
图 1
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE.
(2)如图 2，当 m≠1 时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证
明；若不成立，说明理由；(4 分)
解：成立.理由如下：
如图 2，延长 BE 交 AC 于点 H，交 AD 于点 N.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.
图 2
∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC＝∠CBE.
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE.
【拓展应用】
图 3
图 4
1.(2024·广东)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图
形的是(
)
C
A
B
C
D
2.(2024·海南)在平面直角坐标系中，将点 A 向右平移 3 个单位长
度得到点 A′(2，1)，则点 A 的坐标是( )
C
A.(5，1)
C.(－1，1)
B.(2，4)
D.(2，－2)
3.(2024·福建)如图，小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴
蝶”的平面图案，其中△OAB 与△ODC 都是等腰三角形，且它们关于
直线 l 对称，点 E，F 分别是底边 AB，CD 的中点，OE⊥OF，则下列
)
B
推断错误的是(
A.OB⊥OD
C.OE＝OF
B.∠BOC＝∠AOB
D.∠BOC＋∠AOD＝180°
4.(2023·益阳)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E 为 AB 的
中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，
连接 EF，则 EF 的长为______.
5.(2024·黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都
是 1 个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别
为 A(－1，1)，B(－2，3)，C(－5，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2分)
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；(2分)
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长.(结果保留π)(4分)
解：(1) △A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(2，3).
B
A.65°
B.70°
C.80°
D.85°
6.(2024·无锡)如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为( )
7.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB
＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平
移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形
ACC′A′的面积是(
)
B
9.(2024·内蒙古)如图，点 A(0，－2)，B(1，0)，将线段 AB 平移，
得到线段 DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点 D 的坐标是_______.
(4,－4)
10.如图 1，点 D 为等边△ABC 内一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针
旋转 60°得到 AE，连接 CE，BD 的延长线与 AC 交于点 G，与 CE 交
于点 F.
图 1
图 2
(1)求证：BD＝CE；(4 分)
(2)如图 2，连接 FA ，小颖对该图形进行探究，得出结论∠BFC＝
∠AFB＝∠AFE.小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正
确，请说明理由.(6 分)
(1)证明：∵线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°.
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE.
(2)解：结论正确.理由如下：
如图，过点 A 作 BD，CF 的垂线段，垂足分别为 M，N.
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°.
∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL)，∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°.(共26张PPT)
第二十七讲 视图与投影
三视图 主视图 左视图 俯视图
概念 在正面内得到的由
前向后观察物体的
视图 在侧面内得到的由
左向右观察物体的
视图 在水平面内得到的
由上向下观察物体
的视图
对应
关系 ①主视图与俯视图的长对正；
②主视图与左视图的高平齐；
③俯视图与左视图的宽相等
考点梳理
考点 1
三视图
以题导学
1.(2023·广州)一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体
可能是(
)
D
A
B
C
D
三视图 正方体
长方体
球
圆柱
圆锥
主视图 正方形 矩形 圆 矩形 等腰三角形
左视图 正方形 矩形 圆 矩形 等腰三角形
俯视图 正方形 矩形 圆 圆 带圆心的圆
考点梳理
考点 2
常见几何体的三视图
以题导学
2.(2024·大庆)下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是
(
)
B
A
B
C
D
类型 中心投影 平行投影
概念 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影.垂直于投影面产生的投影叫做正投影
特点 (1)中心投影的投影线交于一点；
(2)投影面确定时，物体离点光源越近，影子越大；物体离点光源越远，影子越小 (1)平行投影的投影线相互平行；
(2)不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小和方向都改变
常见
示例 灯泡(台灯、手电筒、路灯等)的光线 太阳光
考点梳理
考点 3
投影
以题导学
3.如图，是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光
的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是(
)
C
A.(3)(4)(1)(2)
C.(4)(3)(2)(1)
B.(4)(3)(1)(2)
D.(2)(4)(3)(1)
核心
几何体的三视图
1.用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如
图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小
立方块的个数，请解答下列问题：
3
1
1
9
11
(1)a＝______，b＝______，c＝______；(3 分)
(2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小
立方块搭成；(2 分)
(3)当 d＝e＝1，f＝2 时，在网格图中画出这个几何体从左面看到
的形状图.(3 分)
解：左视图如图所示.
变式 1－1
(2024·徐州)由 8 个大小相同的正方体搭成的几何体
如图所示，则其左视图为(
)
A
A
B
C
D
变式 1－2
(2024·黑龙江)一个由若干个大小相同的小正方体搭
成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需
小正方体的个数最少是(
)
C
A.6
B.5
C.4
D.3
核心
几何体的展开图
2.问题情景：七(1)班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士
行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒.
图 1
图 2
图 3
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则图 1 中的______图形经
过折叠能围成无盖正方体纸盒；(2 分)
C
(2)图 2 是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”
字相对的是______；(2 分)
保
(3)如图 3，有一张边长为 20 cm 的正方形废弃宣传单，小华准备
将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒.2
①请你在图 3 中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
(2 分)
②若四角各剪去了一个边长为 3 cm 的小正方形，求这个纸盒的容
积.(3 分)
解：①示意图如图所示.
②根据题意，这个纸盒的容积为(20－3×2)×(20－3×2)×3＝
14×14×3＝588(cm3).
变式 2－1
(2024·常州)下列图形中为四棱锥的侧面展开图的是
(
)
B
A
B
C
D
变式 2－2
(2024·广安)将“共建平安校园”六个汉字分别写在
某正方体的表面上，如图，这是它的一种展开图，则在原正方体上，
与“共”字所在面相对的面上的汉字是(
)
A
A.校
B.安
C.平
D.园
1.(2024·青海)生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面
展开图是(
)
D
A
B
C
D
2.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看
作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板.在灯光照射下，正方
形纸板在地面上形成的影子的形状可以是(
)
D
A
B
C
D
3.(2024·齐齐哈尔)如图，若几何体是由 5 个棱长为 1 的小正方体
组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是(
)
B
A.6
B.7
C.8
D.9
4.(2024·达州)如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”
六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是(
)
B
A.热
B.爱
C.中
D.国
5.(2024·山西)斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图，这是一种
斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为( )
C
A
B
C
D
C
6.下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是( )
A.中心投影
B.平行投影
C.当△ABC平行于投影面时的正投影
D.当△ABC平行于投影面时的中心投影
7.(2024·广元)一个几何体如图水平放置，它的俯视图是( )
A
B
C
D
C
8.(2024·江西)如图，这是 4×3 的正方形网格，选择一空白小正
方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有(
)
B
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种
9.用 5 个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图
如图 2，现将其中 4 个小正方体按图 1 方式摆放，则最后一个小正方
体应放在(
)
B
图 1
图 2
A.①号位置
B.②号位置
C.③号位置
D.④号位置
10.如图，小莉用灯泡 O 照射一个矩形硬纸片 ABCD，在墙上形成
矩形影子 A′B′C′D′，现测得 OA＝2 cm，OA′＝5 cm，纸片 ABCD 的面
积为8 cm2，则影子A′B′C′D′的面积为______ cm2.
50(共34张PPT)
第七章 图形与变换
第二十六讲 尺规作图
基本作图 作法 图形
(1)作一条线段等于已知线段：已知线段a，求作线段OB，使OB＝a
①任作一条射线OA；
②以点O为圆心，a为半径画弧，交OA于点B.
线段OB为所求作的线段
(2)作一个角等于已知角：已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
①作射线O′A′；
②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
③以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
④以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交O′B′于点D′；
⑤经过点D′作射线O′B′.
∠A′O′B′为所求作的角
五种基本尺规作图
基本作图 作法 图形
(3)作已知角的平分线：已知
∠AOB，求作射线 OC，使∠AOC＝∠BOC
①在 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD
＝OE；
②分别以点 D、点 E 为圆心，大于 DE 的长为
半径画弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C；
③作射线 OC.
射线 OC 为所求作的射线
(4)作线段的垂直平分线：已知
线段 AB，求作线段 AB 的垂直
平分线
①分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为
半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D；
②作直线 CD.
直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线
(因为直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中
点，所以也用这种方法作线段的中点)
基本作图 作法 图形
(5)经过一点作已知直线的垂线
①经过已知直线上的一点作这
条直线的垂线：已知直线 AB
和 AB 上的一点 C，求作 AB 的
垂线，使它经过点 C；
②经过已知直线外一点作这条
直线的垂线：已知直线 AB 和
AB 外一点 C，求作 AB 的垂线，
使它经过点 C
作平角∠ACB 的平分线 CF.
直线 CF 为所求作的垂线
①任意取点 K，使点 K 和点 C 在 AB
②以点 C 为圆心，以 CK 长为半径作弧交AB
于点 D 和点 E；
③分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的
长为半径作弧，两弧交于点 F；
④作直线 CF，直线 CF 交 DE 于点 O.
直线 CF 为所求作的垂线
核心
基本作图与图形的性质
1.(作线段的垂直平分线)(2024·广州)如图，在Rt△ABC中，
∠B＝90°.
(1)尺规作图：作 AC 边上的中线BO；(保留作图痕迹，
不写作法)(2 分)
(2)在(1)所作的图中，将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转
180°得到 DO，连接 AD，CD，求证：四边形 ABCD是
矩形.(4 分)
(1)解：如图所示，线段 BO 为 AC 边上的中线.
(2)证明：∵点 O 是 AC 的中点，∴AO＝CO.
∵将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO，
∴BO＝DO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
变式 1－1 (作已知直线的垂线)(2023·广东)如图，在 ABCD 中，
∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法过点 D 作 AB 边上的高 DE；(保留
作图痕迹，不要求写作法)(2 分)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求 BE 的长.
(4 分)
解：(1)如图，DE 即为所求作的高.
变式 1－2
(作已知角的平分线)(2024·广东)如图，在△ABC 中，
∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A 的平分线 AD 交 BC 于点 D；
(保留作图痕迹，不要求写作法)(2 分)
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点 D 为圆心，DC 长为半径作
⊙D，求证：AB 与⊙D 相切.(4 分)
(1)解：如图，AD 即为所求.
(2)证明：如上图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.
∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴DE 为⊙D 的半径，
∴AB 与⊙D 相切.
变式 1－3
(作一个角等于已知角)(2024·河南)如图，在Rt△ABC
中，CD 是斜边 AB 上的中线，BE∥DC 交 AC 的延长线于点 E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线
CM 交 BE 于点 F；(保留作图痕迹，不写作法)(2 分)
(2)证明(1)中得到的四边形 CDBF 是菱形.(4 分)
(1)解：如图，∠ECM 即为所求.
(2)证明：由(1)得∠ECF＝∠A，
∴CF∥AB.
∵BE∥DC，∴四边形 CDBF 是平行四边形.
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴CD＝BD，∴四边形 CDBF 是菱形.
核心
利用图形的性质作图
2.(2023·深圳)如图，在单位长度为 1 的网格中，点 O，A，B 均
在格点上，OA＝3，AB＝2，以点 O 为圆心，OA 为半径画圆，请按下
列步骤完成作图，并回答问题：
①过点 A 作⊙O 的切线 AC，且 AC＝4(点 C 在点 A 的上方)；
②连接 OC，交⊙O 于点 D；
③连接 BD，与 AC 交于点 E.(2 分)
(1)求证：DB 为⊙O 的切线；(3 分)
(2)求 AE 的长度.(3 分)
解：如图所示即求所求作.
(1)证明：如上图，连接 OA，AB.
∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠OAC＝90°.
∵OA＝3，AC＝4.
变式 2－1
(2024·宁夏)如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 的中
点，以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，点 P 是边 AC 上一点(不与点 A，
C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
(1)过点 A 作一条直线，将△ABC 分成面积相等的两部分；(3 分)
(2)在边 AB 上找一点 P′，使得 BP′＝CP.(3 分)
解：(1)如图，直线 AD 为所求.
(2)如图，点 P′为所求.
变式 2－2 (2024·江西)如图，AC 为菱形 ABCD 的对角线，请仅
用无刻度的直尺按要求完成以下作图.(保留作图痕迹)
(1)如图 1，过点 B 作 AC 的垂线；(3 分)
(2)如图 2，点 E 为线段 AB 的中点，过点 B 作 AC 的平行线.(3 分)
图 1
图 2
解：(1)如图 1，直线 BD 即为所求.
图 1
(2)如图 2，直线 BF 即为所求.
图 2
1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD 一定是
△ABC 的( )
B
A.角平分线
B.高线
C.中位线
D.中线
2.(2024·深圳)在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，
能判断射线 AD 平分∠BAC 的是(
)
B
A.①②
B.①③
C.②③
D.只有①
3.(2024·哈尔滨)如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点
B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线
MN 交 BC 于点 D，连接 AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝(
)
C
A.20°
B.50°
C.30°
D.80°
35
5.(2024·达州)如图，线段 AC，BD 相交于点 O，且 AB∥CD，
AE⊥BD 于点 E.
(1)尺规作图：过点 C 作 BD 的垂线，垂足为 F，连接 AF，CE；
(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母)(2 分)
(2)若 AB＝CD，请判断四边形 AECF 的形状，并说明理由.(4 分)
解：(1)如图，CF，AF，CE 为所求.
(2)四边形 AECF 为平行四边形.理由如下：
∵AB∥CD，∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形 AECF 为平行四边形.
6.(2024·眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以
点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( )
A.7
B.8
C.10
D.12
C
7.(2024·内蒙古)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M 和点 N，
连接 AP 并延长，交 BC 于点 D.若△ACD 的面积为 8，则△ABD 的面
积是(
)
A.8
B.16
C.12
D.24
B
9.(2024·滨州)如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A，B 均在
格点上.
(1)AB 的长为________；(2 分)
(2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以 AB 为边
的矩形 ABCD，使其面积为
，并简要说明点 C，D 的位置是如何找
到的(不用证明)：_________________________________________.(4 分)
解：(2)图形如图所示.
10.(2023·绥化)已知点 P 是⊙O 外一点.
(1)尺规作图：如图，过点 P 作出⊙O 的两条切线 PE，PF，切点
分别为点 E、点 F；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2 分)
(2)在(1)的条件下，若点 D 在⊙O 上(点 D 不与 E，F 两点重合)，
且∠EPF＝30°，求∠EDF 的度数.(4 分)
解：(1)如图，PE，PF 即为所求.
(2)连接 OE，OF，如上图.
∵PE，PF 为⊙O 的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EOF＝180°－∠EPF＝180°－30°＝150°.
当点 D 在优弧 EF 上时，
当点 D′在劣弧 EF 上时，
∠ED′F＝180°－∠EDF＝180°－75°＝105°.
综上所述，∠EDF 的度数为 75°或 105°.
