(共32张PPT)
微专题 二次函数综合题
一、二次函数与线段
1.横线→ 横坐标差
条件：AB∥x 轴
结论：AB＝|xA－xB|
2.竖线→ 纵坐标差
条件：AB∥y 轴
结论：AB＝|yA－yB|
3.斜线→ 斜化直
条件：PD⊥BC，∠OBC＝α，作 PE∥y 轴于点 E
结论：PD＝PE·cos α
4.斜线比→ 横(竖)线比
条件：作 PE∥x 轴交 BC 于点 E
【例1】抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和B(4，，
0)，与 y 轴交于点 C，连接 BC.点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动
点(不与点 B，C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 M，交 x 轴
于点 N.
(1)求该抛物线的解析式.(3 分)
【思路点拨】
已知点 A 和点 B 的坐标，利用待定系数法求解析式.
(2)过点 C 作 CH⊥PN 于点 H，BN＝3CH.
①求点 P 的坐标；(3 分)
【思路点拨】
①由抛物线的解析式可得点 C 的坐标，设出点 P 的坐标(m，
解得 m 的值，即得点 P 的坐标.
②连接 CP，在 y 轴上是否存在点 ，使得QCPQ 为直角三角形？
若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(6 分)
【思路点拨】
(a)当 CP 为斜边时；
(b)当 CQ 为斜边时；
(c)当 PQ 为斜边时.
【针对练习】
(3)如图 2，点 P 在第二象限，x2＝－2x1，若点 M 在直线 PQ 上，
且横坐标为 x1－1，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，求线段 MN 长度的最
大值.(6 分)
图 1
图 2
二、二次函数与面积
1.规则三角形
2.不规则图形可将图形分割为规则图形
(1)求抛物线表示的函数解析式；(4 分)
【思路点拨】
析式可得 k 的值，即得抛物线的函数解析式.
(2)若点 P 为抛物线的顶点，连接 AD，DP，CP，求四边形 ACPD
的面积.(6 分)
【思路点拨】
连接 OP，将四边形ACPD分割为△AOD，△POD 和△POC.求出
C(2，0)，OC＝2，A(－2，0)，OA＝2，抛物线顶点 P 的坐标(2，4)，
分别求出S△AOD，S△POD和S△POC的面积，三个三角形的面积和即为四
边形 ACPD 的面积.
【针对练习】
2.(2024·凉山州)如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与直线 y＝x＋2 相
交于 A(－2，0)，B(3，m)两点，与 x 轴相交于另一点 C.
(1)求抛物线的解析式；(3 分)
(2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点(不与 A，
B 重合)，过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D，交直线 AB 于
点 E，当 PE＝2ED 时，求点 P 的坐标；(3 分)
(3)抛物线上是否存在点 M 使△ABM 的面积等于
△ABC 面积的一半？若存在，请直接写出点 M 的坐标；
若不存在，请说明理由.(6 分)
三、二次函数与最值
【针对练习】
3.(2023·张家界)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝
ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－2，0)和点 B(6，0)两点，与 y 轴
交于点 C(0，6).点 D 为线段 BC 上的一动点.
图 1
图 2
(1)求二次函数的表达式；(3分)
(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3分)
(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.(6分)
(2)如图，作点 O 关于直线 BC 的对称点 E，连接 EC，EB.
∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6.
∵点 O，E 关于直线 BC 对称，∴四边形 OBEC 为正方形，
∴E(6，6).连接 AE，交 BC 于点 D，由对称性知|DE|＝|DO|，
此时|DO|＋|DA|有最小值，为 AE 的长，
∵△AOD 的周长为DA＋DO＋AO，AO＝2，DA＋DO的最小值为10，
∴△AOD 的周长的最小值为 10＋2＝12.(共31张PPT)
微专题 反比例函数综合题
一、反比例函数与一次函数的综合题
【例 1】(2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(3 分)
【思路点拨】
确定反比例函数的解析式只需知道图象上一个点的坐标即可，而
确定一次函数的解析式，需要知道图象上两个点的坐标.
本题已知点 A 的坐标，所以先确定反比例函数的解析式，再确定
点 B 的坐标，最后利用待定系数法确定一次函数的解析式.
(2)P 是直线 x＝－2 上的一个动点，△PAB 的面积为 21，求点 P
的坐标；(3 分)
【思路点拨】
动点问题由于点的不确定性，需要注意多种情况的出现.在坐标系
中表示三角形面积的原则要以与坐标轴平行的线段作为三角形的底或
高.
本题中，PH∥y 轴，所以 PH 为△PAH 和△PBH 公共的底，而高
为|xB－xA|，由S△PAB＝S△PAH＋S△PBH＝21，可求出PH的长，由于点P
是直线 x＝－2 上的一个动点，在确定点 P 的坐标时，不要漏解.
解：设直线 x＝－2 交直线 AB 于点 H，如图.
在 y＝－x－5 中，令 x＝－2，得 y＝－3，∴H(－2，－3).
∵－3＋6＝3，－3－6＝－9，
∴点 P 的坐标为(－2，3)或(－2，－9).
解：过点 Q 作 QM∥x 轴交直线 AB 于点 M，如图.
∵△QAB 的面积为 21，
【针对练习】
(1)求这两个函数的解析式；(3 分)
(2)根据图象，直接写出满足 y1－y2＞0 时，x 的取值范围；(3 分)
(3)点 P 在线段 AB 上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，交函数
y2 的图象于点 Q，若△POQ 的面积为 3，求点 P 的坐标.(6 分)
二、反比例函数与几何图形的综合题
(1)求直线 AD 的解析式；(3 分)
【思路点拨】
(1)确定一次函数的解析式需要知道两个点的坐标，求点的坐标要
根据几何图形的性质求出线段的长度，再根据点在坐标系中的位置，
确定点的坐标求解.本题易确定点 A 的坐标，再根据等腰三角形的性质
得 OA＝OD，从而确定点 D 的坐标.
【知识储备】
解：∵OA＝2，∠ADO＝45°，
则 OD＝2，
∴点 D(－2，0)，
设直线 AD 的解析式为 y＝kx＋2，
将点 D 的坐标代入上式，得 0＝－2k＋2，
解得 k＝1，
则直线 AD 的解析式为 y＝x＋2.
(2)将直线 AD 向下平移 m 个单位长度，使平移后直线与双曲线的
交点在矩形 OABC 内部，求 m 的取值范围；(3 分)
【思路点拨】
由平移规律设出平移后的解析式，再确定 m 的取值范围.
观察图形可得，要使直线 l 平移后与双曲线的交点在矩形 OABC
内部，则直线 l 要经过点 M，N，根据点 M，N 的坐标，确定 n 的取值
范围.
解：当 y＝2 时，则 x＝2，即点 M(2，2)，
同理，可得点 N(4，1)，
设直线 AD 平移后的解析式为 y＝x＋2－m，
将点 M 的坐标代入上式，得 2＝2＋2－m，则 m＝2，
将点 N 的坐标代入 y＝x＋2－m，
同理，可得 m＝5，
故 m 的取值范围为 2＜m＜5.
(3)设直线 l 是平移直线 AD 所得直线，点 P是直线 l 上的一个动点，
当△PMN 是等边三角形时，求直线 l 的解析式.(6 分)
【思路点拨】
设出直线 l 的解析式，设出点 P 的坐标，再根据两点之间的距离
公式，列方程确定直线 l 的解析式.
【针对练习】
①k＝2；
②△OBD 的面积等于四边形 ABDA′的面积；
③A′E 的最小值是 ；
④∠B′BD＝∠BB′O.
其中正确的结论有__________.(填写所有正确结论的序号)
①②④
(1)求反比例函数的表达式；(3 分)
图 1
图 2
图 3(共38张PPT)
第十四讲 函数的实际应用
考点梳理
考点 1
一次函数的实际应用
(1)根据实际问题或图象求出一次函数的解析式.
(2)利用自变量的取值范围求最值.
(3)利用函数值的大小来确定最佳方案.
以题导学
1.(2024·东营)在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量
x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 12.5 cm，当所挂物体的质量
为 2 kg 时，弹簧长 13.5 cm，当所挂物体的质量为 5 kg 时，弹簧的长
度为______ cm.
15
考点梳理
考点 2
反比例函数的实际应用
(1)能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.
(2)注意在自变量和函数值的取值上的实际意义.
(3)问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中
说明.
以题导学
2.(2024·哈尔滨)已知蓄电池的电压 U(单位：V)为定值，使用蓄
电池时，电流 I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的
图象如图所示，则蓄电池的电压 U＝______V.
36
考点梳理
考点 3
二次函数的实际应用
从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值公式解
决实际问题中的最值问题.
以题导学
3.(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为 60 米的栅栏，再借助
房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长 40 米，则可围成的
菜园的最大面积是______平方米.
450
核心
函数解析式类型已知
1.某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、
乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地
＋6，乙离一楼地面的高度 y(单位：m)与下行时间 x(单位：s)的函数关
系如图所示.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式；(3 分)
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面；(3 分)
(3)在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差 1 米，若存
在求出此时的下行时间；若不存在，请说明理由.(4 分)
(3)存在.理由如下：
∵因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面，
∴当下行 10 秒或 25 秒时两人竖直高度相差 1 米.
变式 1－1
(2023·台州)科学课上，同学用自制密度计测量液体
的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 h(单位：cm)
是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为
1 g/cm3 的水中时，h＝20 cm.
(1)求 h 关于ρ的函数解析式；(4 分)
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度
ρ.(6 分)
(1)若将 10 万元资金投入 A 项目，一年后获得的收益是多少？
(3 分)
(2)若对 A，B 两个项目投入相同的资金 m(m>0)万元，一年后两者
获得的收益相等，则 m 的值是多少？(3 分)
(3)2023 年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此
政策获得的减免税款及其他结余资金共计 32 万元，全部投入 A，B 两
个项目中，当 A，B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收
益之和最大？最大值是多少万元？(4 分)
(3)设投入 B 项目的资金是 t 万元，投入 A 项目的资金是(32－t)万
元，一年后获得的收益之和为 W 万元，
∴投入 A 项目的资金是 28 万元，投入 B 项目的资金是 4 万元时，
一年后获得的收益之和最大，最大值是 16 万元.
核心
函数解析式类型未知
2.(2023·遂宁)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节
日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需
求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种
粽子的进价比每个甲种粽子的进价多 2 元，用 1 000 元购进甲种粽子
的个数与用 1 200 元购进乙种粽子的个数相同.
(1)求甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元.(3 分)
(2)该超市计划购进这两种粽子共 200 个(两种都有)，其中甲种粽
子的个数不低于乙种粽子个数的 2 倍，若甲、乙两种粽子的售价分别
为 12 元/个、15 元/个，设购进甲种粽子 m 个，两种粽子全部售完时获
得的利润为 W 元.
①求 W 与 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围；(3 分)
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？(4 分)
解：(1)设每个甲种粽子的进价为 x 元，则每个乙种粽子的进价为
(x＋2)元，根据题意，得
，解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原方程的根且符合题意，此时 x＋2＝12.
答：每个甲种粽子的进价为 10 元，每个乙种粽子的进价为 12 元.
(2)①设购进甲种粽子 m 个，则购进乙种粽子(200－m)个，根据题
意，得 W＝(12－10)m＋(15－12)(200－m)＝2m＋600－3m＝－m＋600，
∴W 与 m 的函数关系式为 W＝－m＋600.∵甲种粽子的个数不低于乙
为正整数).
②由①知 W＝－m＋600，－1<0，m 为正整数，∴当 m＝134 时，
W 有最大值，最大值为 466，此时 200－134＝66.
答：购进甲种粽子 134 个，乙种粽子 66 个时才能获得最大利润，
最大利润为 466 元.
变式 2－1
(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量
发展工程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远
销欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每
吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果每吨降价
1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使每天的“利
润”或“销售收入”最大？请求出其最大值.(题中“元”为人民币)(9
分)
解：设该果商定价 x 万元时，每天的“利润”为 w 万元，每天的
“销售收入”为 y 万元，由题意，得
w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5，
∵－50＜0，∴w 随 x 的增大而减小，∴当 x＝4.5 时，w有最大值，
最大值为 312.5 万元.
y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5，
∵－50＜0，∴y 随 x 的增大而减小，∴当 x＝3.5 时，y 有最大值，
最大值为 612.5 万元.
答：该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”最大，其最
大值为 312.5 万元，定价为 3.5 万元时才能使每天的“销售收入”最大，
其最大值为 612.5 万元.
类别 短款 长款
进货价(元/件) 80 90
销售价(元/件) 100 120
变式 2－2
(2024·广元)近年来，中国传统服装备受大家的青睐，
走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传
统服装进行销售，进货价和销售价如表：
(1)该服装店第一次用 4 300 元购进长、短两款服装共 50件，求两款
服装分别购进的件数；(4 分)
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两
款服装共 200 件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于 16
800元，服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大
销售利润是多少？(6 分)
解：(1)由题意，设购进短款服装 x 件，购进长款服装 y 件，
答：购进长款服装 30 件，购进短款服装 20 件.
(2)由题意，设第二次购进 m 件短款服装，则购进(200－m) 件长
款服装，
则 80m＋90(200－m)≤16 800.
解得 m≥120.
设销售利润为 w 元，
则 w＝(100－80)m＋(120－90)(200－m)＝－10m＋6 000.
∵－10＜0，
∴w 随 m 的增大而减小，
∴当 m＝120 时，利润 w 最大，最大为－10×120＋6 000＝
4 800(元).
答：当购进 120 件短款服装，80 件长款服装时，才能获得最大销
售利润，最大销售利润是 4 800 元.
1.(2023·随州)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流
I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，
则当电阻为 6 Ω时，电流为(
)
B
A.3 A
B.4 A
C.6 A
D.8 A
2.(2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒，
经过 t(秒)时球距离地面的高度 h(米)适用公式 h＝10t－5t2，那么球弹
起后又回到地面所花的时间是(
)
D
A.5 秒
B.10 秒
C.1 秒
D.2 秒
3.(2024·哈尔滨)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始
5 min 内只进水不出水，在随后的 10 min 内既进水又出水，每分的进
水量和出水量是两个常数.容器内的水量 y(单位：L)与时间 x(单位：min)
之间的关系如图所示，当 x＝9 min 时，y＝(
)
B
A.36 L
B.38 L
C.40 L
D.42 L
与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－
4.(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)
1
12
(x－10)(x＋4)，则铅球
推出的距离 OA＝____ m.
10
频率 f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
5.(2023·吉林)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波
的波长λ (单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化而变化.
已知波长λ与频率 f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率 f 的函数解析式；(4 分)
(2)当 f＝75 MHz 时，求此电磁波的波长λ.(6 分)
6.(2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买 500
千瓦时电，若平均每天用电 x 千瓦时，则能使用 y 天.下列说法错误的
是(
)
C
A.若 x＝5，则 y＝100
B.若 y＝125，则 x＝4
C.若 x 减小，则 y 也减小
D.若 x 减小一半，则 y 增大一倍
7.(2023·济南)学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分
别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条
路匀速前进.如图所示，l1 和 l2 分别表示两人到小亮家的距离 s(km)和时
间 t(h)的关系，则出发______h 后两人相遇.
0.35
8.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器
装置，其最快移动速度 v(m/s)是载重后总质量 m(kg)的反比例函数.已
知一款机器狗载重后总质量 m＝60 kg 时，它的最快移动速度 v＝6m/s；
当其载重后总质量 m＝90 kg 时，它的最快移动速度 v＝____ m/s.
4
9.(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖
直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中
心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心
的水平距离也为 3 m，那么水管的设计高度应为______m.
10.(2024·大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农
副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销
售的 30 天中，第 x 天(1≤x≤30 且 x 为整数)的售价为 y(元/千克)，当
1≤x≤20 时，y＝kx＋b；当 20＜x≤30 时，y＝15.销量 z(千克)与 x的函
数关系式为 z＝x＋10，已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克，第 15
天的售价为 15 元/千克，设第 x 天的销售额为 M(元).
(1)k＝______，b＝______；(2 分)
－1
30
(2)写出第 x 天的销售额 M 与 x 之间的函数关系式；(4 分)
解：由题意，当 1≤x≤20 时，由(1)得 y＝－x＋30，
∴M＝(x＋10)(－x＋30)＝－x2＋20x＋300.
当 20≤x≤30 时，M＝15(x＋10)＝15x＋150.
(3)求在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元.(4 分)(共38张PPT)
第十三讲 二次函数
系数 a a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
直线 x＝
考点梳理
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象和
考点 1
性质
以题导学
1.(2023·兰州)已知二次函数 y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的
是(
)
C
A.图象的对称轴为直线 x＝－2
B.图象的顶点坐标为(2，3)
C.函数的最大值是－3
D.函数的最小值是－3
2.(2022·广州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线
x＝－2，下列结论正确的是(
)
C
A.a＜0
B.c＞0
C.当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小
D.当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小
考点 2
y＝ax2和y＝a(x－h)2＋k的图象关系
以题导学
3.(2024·滨州)将抛物线 y＝－x2 先向右平移 1 个单位长度，再向
上平移 2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______.
(1，2)
已知条件 解析式的选择 解析式
抛物线上任意三点的坐标 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
顶点坐标或对称轴、最大(小)值 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
抛物线与x轴的两个交点坐标 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
考点梳理
考点 3
二次函数解析式的确定
以题导学
4.根据下列条件，分别求二次函数的解析式：
(1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)；(3 分)
(2)已知图象经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线 x＝0 为对称轴.
(3 分)
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)2－8，
把(0，－6)代入，得－6＝a－8，即 a＝2，
则二次函数的解析式为 y＝2(x＋1)2－8＝2x2＋4x－6.
Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ<0 没有实数根 没有交点
Δ＝0 两个相等的实数根 一个交点
考点梳理
考点 4
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
(1)二次函数与一元二次方程的关系
方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点
的横坐标.
(2)二次函数与不等式的关系
①不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于
x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
②不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于
x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围.
以题导学
5.如图所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象，由图象可知不
)
D
等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是(
A.－1＜x＜5
B.x＞5
C.x＜－1 且 x＞5
D.x＜－1 或 x＞5
6.(2024·宁夏)若二次函数 y＝2x2－x＋m 的图象与 x 轴有交点，
则 m 的取值范围是_________.
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 m …
核心
二次函数的图象和性质
1.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值
如表：
(2 分)
(1，－4)
5
(1)二次函数图象的顶点坐标为____________，m 的值为______；
(4)当 y＜0 时，x 的取值范围是__________；(2 分)
(5)关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝5 的解为_______________.
(2 分)
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2 分)
“＜”“＞”或“＝”)；(2 分)
＞
－1＜x＜3
(3)点P(－4，y1)，Q(5，y2)在函数图象上，y1________y2(填
x＝4 或 x＝－2
变式 1－1
(2022·株洲)已知二次函数 y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其
中 b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为(
)
C
A
B
C
D
变式1－2 如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与 y 轴负半轴相交，
下列描述不正确的是(
)
D
核心
二次函数的图象与系数的关系
2.在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
象如图所示，有下列 5 个结论：
①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b.
其中正确的有(
)
B
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【归纳小结】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小.
当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还
可以决定开口大小，|a|越大开口就越小.
②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置.
当 a 与 b 同号(即 ab＞0)时，对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号(即
ab＜0)时，对称轴在 y 轴右侧(简称：左同右异).
③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点.抛物线与 y 轴交于(0，c).
④抛物线与 x 轴交点个数.
Δ＝b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；Δ＝b2－4ac＝0 时，
抛物线与 x 轴有 1 个交点；Δ＝b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点.
变式 2
(2023·达州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常
数)关于直线 x＝1 对称.有下列五个结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；
③4a＋2b＋c＞0；④am2＋bm＞a＋b；⑤3a＋c＞0.其中正确的有(
)
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
B
核心
确定二次函数的解析式
3.根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)已知抛物线的顶点坐标是(1，－3)，与 y 轴的交点是(0，－2)，
求这个二次函数的解析式；(4 分)
解：由抛物线顶点坐标为(1，－3)，
可设其解析式为 y＝a(x－1)2－3，
将(0，－2)代入 y＝a(x－1)2－3，
得 a－3＝－2，
解得 a＝1，
则这个二次函数的解析式为 y＝(x－1)2－3.
y＝x2＋x＋1
y＝－x2＋6x－7
y＝－2x2＋4x＋6
(2)已知二次函数的图象过点 A(－1，1)，B(1，3)，C(0，1)，则二
次函数的解析式为____________；(3 分)
(3)已知二次函数的图象过点 A(2，1)，B(4，1)且最大值为 2，则二
次函数的解析式为___________________；(3 分)
(4)已知二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(－1，0)，B(3，0)，且
经过点 C(0，6)，则二次函数的解析式为___________________.(3 分)
【题后反思】
顶点
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
(1)已知抛物线的顶点坐标，设二次函数解析式时可选择________
式，其形式为____________________.
一般
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(2)已知抛物线上任意三点的坐标，设二次函数解析式时可选择
________式，其形式为____________________.
(3)已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，设二次函数解析式时可选
择________式，其形式为_________________________.
交点
y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
变式 3 (2023·宁波)如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经
过点 A(1，－2)和 B(0，－5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；(4 分)
(2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.(4 分)
解：(1)把 A(1，－2)和 B(0，－5)代入 y＝x2＋bx＋c，
∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5，
∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，
∴其图象的顶点坐标为(－1，－6).
(2)如图，过点 A 作 x 轴的平行线，与抛物线交于另一点 C.
∵点 A(1，－2)关于对称轴直线 x＝－1 的对称点为 C(－3，－2)，
∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1.
1.(2024·哈尔滨)二次函数 y＝2(x＋1)2＋3 的最小值是(
)
D
A.－1
B.1
C.2
D.3
2.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数 y＝x2 的
图象上，则(
)
A
A.y3＞y2＞y1
B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2
D.y3＞y1＞y2
3.(2024·包头)将抛物线 y＝x2＋2x 向下平移 2 个单位后，所得新抛
)
A
物线的顶点式为(
A.y＝(x＋1)2－3
B.y＝(x＋1)2－2
C.y＝(x－1)2－3
D.y＝(x－1)2－2
4.(2024·甘孜州改编)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所
示，给出下列结论：①c＜0；②－
b
2a
＞0；③当－1＜x＜3 时，y＜0.其
中所有正确结论的序号是________.
①②③
x … －1 0 1 2 3 …
y … 4 1 n 1 p …
5.(2023·杭州中考节选)设二次函数 y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b 是实
数).已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示：
(1)求二次函数的表达式；(3 分)
(2)写出一个符合条件的 x 的取值范围，使得 y 随 x 的增大而减小.
(4 分)
解：(1)由题意得
∴二次函数的表达式是 y＝x2－2x＋1.
(2)∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，
∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小.
6.(2023·大连)已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，函数
)
D
的最大值为(
A.－2
C.0
B.－1
D.2
y1，y2均随着x的增大而减小，此时x的取值范围为( )
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.0＜x＜2
D.x＞1
D
8.(2023·广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三个
顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为(
)
B
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
9.(2024·牡丹江)将抛物线 y＝ax2＋bx＋3 向下平移 5 个单位长度
后，经过点(－2，4)，则 6a－3b－7＝______.
2
10.(2024·福建)如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴
交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函数的表达式；(4 分)
(2)若 P 是二次函数图象上的一点，且点 P 在第二象限，线段 PC 交 x
轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.(6分)(共33张PPT)
第十二讲 反比例函数
考点梳理
考点 1
反比例函数的定义
以题导学
1.下列函数不是反比例函数的是(
)
B
k 的取值 k>0 k<0
图象
所在象限 图象在第一、三象限 图象在第二、四象限
函数性质 在每一象限内，函数 y 的值随
x 的增大而减小 在每一象限内，函数 y 的值随
x 的增大而增大
对称性 ①关于直线 y＝x(或 y＝－x)成轴对称；
②关于原点成中心对称
考点梳理
考点 2
反比例函数的图象和性质
2.(2023·武汉)关于反比例函数 y＝ ，下列结论正确的是(
以题导学
)
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
D.若图象经过点(a，a＋2)，则 a＝1
C
图形
面积 S矩形OAPB＝|k| S△AOP＝ S△APP′＝2|k|
(P与P′关于原点对称)
考点梳理
考点 3
反比例函数系数 k 的几何意义
垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.
(2)常见的与反比例函数图象有关的图形面积.
图形
面积 S矩形ABCD＝k1－k2(AB∥x轴) S ABCD＝k2－k1(AB∥x轴)
以题导学
考点梳理
考点 4
确定反比例函数的解析式
以题导学
4.(2022·盐城)已知反比例函数的图象经过点(2，3)，则该函数表
达式为_________.
y＝
6
x
的图象经过 A(2，－4).
核心
反比例函数的图象和性质
1.已知反比例函数 y＝
1－k
x
(1)求 k 的值；(2 分)
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y 随 x 的增大怎样变化？(2 分)
(3)画出函数的图象；(2 分)
(4)点 B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？(2 分)
解：(1)∵反比例函数 y＝
1－k
x
的图象过点 A(2，－4)，
∴1－k＝2×(－4)＝－8，解得 k＝9.
(2)∵－8＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大.
(3)函数的图象如图所示.
(4)∵－2×4＝－8，－1×5＝－5≠－8，
∴B(－2，4)在反比例函数的图象上，C(－1，5)不在反比例函数的
图象上.
y＝kx＋k 与反比例函数 y＝ 的图象可能是( )
变式 1－1 (2023·襄阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数
A
B
C
D
A
(1)求反比例函数的表达式；(3 分)
(2)点(－3，a)，(1，b)，(3，c)都在反比例函数的图象上，比较 a，
b，c 的大小，并说明理由.(3 分)
核心
反比例函数系数 k 的几何意义
的两点.连接 OA，OB，AB.
(1)求 a 的值；(3 分)
(2)求△AOB 的面积；(3 分)
上一点，若△POC 的面积等于△AOB 的面积的 3 倍，求点 P 的坐标.
(4 分)
变式 2－1
(2024·黑龙江)如图，双曲线 y＝
(x＞0)经过 A，B
两点，连接 OA，AB，过点 B 作 BD⊥y 轴，垂足为 D，BD交OA于点
E，且 E 为 AO 的中点，则△AEB 的面积是(
)
A
A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为____.
－6
则 k 的值为(
A.－3
C.－6
B.3
D.6
)
C
函数 y＝ (k＜0)的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( )
2.(2024·济宁)已知点 A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例
C
A.y1＜y2＜y3
B.y2＜y1＜y3
C.y3＜y1＜y2
D.y3＜y2＜y1
3.(2024·无锡)某个函数的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，y 随
x 的增大而增大.请写出一个符合上述条件的函数表达式：__________.
y＝－
1
x
四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S ABCO＝3，
则实数 k 的值为______.
－6
5.(2024·江西)如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，
线于点 C，连接 BC.
(1)点 B 的坐标为__________；(2 分)
(2)求 BC 所在直线的解析式.(4 分)
(2，2)
6.(2023·广州)已知正比例函数 y1＝ax 的图象经过点(1，－1)，反
)
图象一定不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
A
0
8(共39张PPT)
第十一讲 一次函数
考点梳理
考点 1
一次函数的概念
一般地，形如 y＝kx＋b(k，b 是常数，且 k≠0)的函数叫做一次函
数.特别地，当 b＝0 时，称为正比例函数.
以题导学
)
A
1.下列函数不是一次函数的是(
6
A.y＝
x
x
B.y＝
2
C.y＝－8x
D.y＝－0.5x－1
k 的符号 图象 所在象限 性质
k＞0 一、三象限 y 随 x 的增大而增大
k＜0 二、四象限 y 随 x 的增大而减小
考点梳理
考点 2
一次函数的图象和性质
(1)正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象和性质
k，b 的符号 所在象限 图象 性质
k＞0，b＞0 一、二、
三象限 y 随 x 的增大而增大
k＞0，b＜0 一、三、
四象限
k＜0，b＞0 一、二、
四象限 y 随 x 的增大而减小
k＜0，b＜0 二、三、
四象限
(2)一次函数 y＝kx＋b(k≠0，且 b≠0)的图象和性质
【拓展】两条直线的特殊位置关系：
已知不重合的两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)两条直线平行：l1∥l2 k1＝k2；
(2)两条直线垂直：l1⊥l2 k1·k2＝－1.
以题导学
2.关于一次函数 y＝2x－1，下列结论正确的是(
)
A
A.点(3，5)在图象上
B.图象经过第二、三、四象限
C.若点 A(－5，m)、点 B(1，n)在函数图象上，m＞n
D.图象与 x 轴的交点坐标为(0，－1)
3.已知一次函数 y＝(2m＋4)x＋(3－m).
(1)当 y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围；(3 分)
(2)若图象经过一、二、三象限，求 m 的取值范围；(3 分)
(3)若 m＝1，当－1≤x≤2 时，求 y 的取值范围.(4 分)
解：(1)根据题意，得 2m＋4＞0，
解得 m＞－2.
(2)根据题意，得
解得－2＜m＜3.
(3)将 m＝1 代入 y＝(2m＋4)×1＋(3－m)中，
得 y＝6x＋2，
当 x＝－1 时，y＝－4；
当 x＝2 时，y＝14.
因为 k＝6＞0，所以 y 随 x 的增大而增大，
所以－4≤y≤14.
考点梳理
考点 3
一次函数图象的平移
(1)若函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象向左平移了 m 个单位长度，则平
移后图象对应的函数表达式为 y＝k(x＋m)＋b(k≠0).若函数 y＝kx＋b(k
≠0)的图象向右平移了 m 个单位长度，则平移后图象对应的函数表达
式为 y＝k(x－m)＋b(k≠0).
(2)若函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象向上平移了 m 个单位，则平移后
图象对应的函数表达式为 y＝kx＋b＋m(k≠0).若函数 y＝kx＋b(k≠0)的
图象向下平移了 m 个单位长度，则平移后图象对应的函数表达式为 y
＝kx＋b－m(k≠0).
简记为：左加右减，上加下减.
以题导学
4.(2023·无锡)将函数 y＝2x＋1 的图象向下平移 2 个单位长度，
)
A
所得图象对应的函数表达式是(
A.y＝2x－1
B.y＝2x＋3
C.y＝4x－3
D.y＝4x＋5
5.(2023·内蒙古)在平面直角坐标系中，将正比例函数 y＝－2x 的
图象向右平移 3个单位长度得到一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该
)
B
一次函数的解析式为(
A.y＝－2x＋3
B.y＝－2x＋6
C.y＝－2x－3
D.y＝－2x－6
考点梳理
考点 4
确定一次函数的表达式
一设：设一次函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)；
二代：将图象上的两个点的坐标代入解析式，得到含有待定系数
的方程组；
三解：解方程组，求待定系数 k，b 的值；
四还原：将所求待定系数的值代入 y＝kx＋b 中，从而写出函数解
析式.
以题导学
6.在平面直角坐标系内有三点 A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6).
(1)求过其中两点的直线的函数解析式(选一种情形作答)；(3 分)
(2)判断 A，B，C 三点是否在同一直线上，并说明理由.(3 分)
解：(1)设 A(－1，4)，B(－3，2)两点所在直线解析式为 y＝kx＋b，
∴直线 AB 的解析式为 y＝x＋5.(答案不唯一)
(2)A，B，C 三点不在同一直线上，理由：当 x＝0 时，y＝0＋5≠6，
∴点 C(0，6)不在直线 AB 上，即 A，B，C 三点不在同一直线上.
考点梳理
考点 5
一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系
(1)关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0(k≠0)的解是直线 y＝kx＋b 与
x 轴交点的横坐标.
(3)关于 x 的一元一次不等式 kx＋b＞0(＜0)的解集是以直线 y＝kx
＋b 和 x 轴的交点为分界点，x 轴上(下)方的图象所对应的 x 的取值范
围.
以题导学
7.(2022·贵阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b 与
y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 y＝mx＋n 的图象中，y 的值随着 x值的增大而增大；
③方程 mx＋n＝0 的解为 x＝2；
④当 x＝0 时，ax＋b＝－1.
其中结论正确的个数是(
)
B
A.1
B.2
C.3
D.4
核心
一次函数的图象和性质
1.已知函数 y＝－2x＋4，回答下列问题：
(1)函数图象与 x 轴的交点坐标是________，函数图象与 y 轴的交
点坐标是________；(2 分)
(2，0)
(0，4)
(2)根据函数图象与坐标轴的交点坐标，请在直角坐标系中画出函
数 y＝－2x＋4 图象；(2 分)
4
减小
(3)图象与坐标轴围成的三角形的面积为________；(2 分)
(4)y 的值随 x 值的增大而________；(2 分)
(5)当 x________时，y＞0；(2 分)
＜2
0
(6)当 2≤x≤5 时，函数的最大值为____，最小值为______.(4 分)
－6
变式 1－1
(2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次
函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的
)
A
图象分别为直线 l1，l2.下列结论正确的是(
A.b1＋b2＞0 B.b1b2＞0
C.k1＋k2＜0 D.k1k2＜0
变式 1－2 (2024·南充)当 2≤x≤5 时，一次函数 y＝(m＋1)x＋
m2＋1 有最大值 6，则实数 m 的值为(
)
A
A.－3 或 0
B.0 或 1
C.－5 或－3
D.－5 或 1
变式 1－3 (2024·凉山州)如下图所示，一次函数 y＝kx＋b 的图
象经过 A(3，6)，B(0，3)两点，交 x轴于点 C，则△AOC 的面积为___.
9
核心
一次函数与方程(组)、不等式的关系
x≤－1
x＝2
(4)求直线 AC、直线 BD 与 x 轴围成的△ABM 的面积.(4 分)
变式 2－1 数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形
结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线 y1＝
－x＋a(a 为常数)与直线 y2＝bx－4(b 为常数且 b≠0)相交于点 P，则下
列结论错误的是(
)
A.方程－x＋a＝bx－4 的解是 x＝1
B.不等式－x＋a＜－3 与不等式 bx－4＞－3 的
解集相同
C.不等式组 bx－4＜－x＋a＜0 的解集是－2＜x＜4
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
1.(2022·广州)点(3，－5)在正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象上，则
)
D
k 的值为(
A.－15
B.15
C.－
3
5
D.－
5
3
2.(2023·通辽)在平面直角坐标系中，一次函数 y＝2x－3 的图象
是(
)
D
A
B
C
D
3.将直线 y＝－3x＋2 024 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4
)
C
个单位长度后，所得直线的表达式为(
A.y＝－3x＋2 037
B.y＝－3x＋2 029
C.y＝－3x＋2 011
D.y＝－3x＋2 021
4.(2024·扬州)如图，已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与
x 轴、y 轴交于 A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于 x 的方程 kx＋b
＝0 的解为 x＝______.
－2
为 A′，经过点 A′和 y 轴上的点 B(0，2)的直线设为 y＝kx＋b.
(1)求点 A′的坐标；(4 分)
(2)确定直线 A′B 对应的函数表达式.(4 分)
B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点
D 的坐标是(
)
C
7.(2022·柳州)如图，直线 y1＝x＋3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和
点 C，直线 y2＝－x＋3 分别与 x 轴、y 轴交于点B和点C，点 P(m，2)
是△ABC 内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
B
(2)如图，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D.(共42张PPT)
第三章 函数
第十讲 函数与平面直角坐标系
类型 概念
有序数对 有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对
平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐
标系
点到坐标轴的距离 点(a，b)到 x 轴的距离等于|b|，点(a，b)到 y 轴的距离等于|a|
对应关系 坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对
应的
描述坐标
平面内点的位置 坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一
象限、第二象限、第三象限、第四象限
考点梳理
考点 1
平面直角坐标系
以题导学
1.如图，有 4 名同学分别画了一个平面直角坐标系，其中画法正
确的是(
)
D
A.①③
B.②④
C.③④
D.④
2.(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点
)
C
P 的坐标为(2，1)，则点 Q 的坐标为(
A.(3，0)
B.(0，2)
C.(3，2)
D.(1，2)
类型 点 P(x，y)的特征
各象限内的点
①在第一象限 x>0，y>0；②在第二象限 x<0，y>0；
③在第三象限 x<0，y<0；④在第四象限 x>0，y<0
考点梳理
考点 2
平面直角坐标系中点的坐标特征
类型 点 P(x，y)的特征
坐标轴上的点 ①在 x 轴上 y＝0；
②在 y 轴上 x＝0；
③既在 x 轴上，又在 y 轴上(原点) x＝0，y＝0
象限的角平分
线上的点 ①在第一、三象限的角平分线上 x＝y；
②在第二、四象限的角平分线上 x＝－y
类型 点 P(x，y)的特征
平行于坐标轴
的直线上的点 ①平行于 x 轴的直线上的点 纵坐标相等；
②平行于 y 轴的直线上的点 横坐标相等
以题导学
3.下列说法不正确的是(
)
A.点 A(－2，3)到原点的距离为
B.点 P(－2，2)在第二、四象限的角平分线上
C.若 P(x，y)中 xy＝0，则 P 点在 x 轴上
D.点 A(－2，3)在第二象限
C
4.(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了
“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示
的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为
(－2， 0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( )
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.在平面直角坐标系中，已知点 A(3，5)，B(－2，5)，则直线 AB
与 x 轴的位置关系为______.
平行
考点梳理
考点 3
函数
(1)变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，
数值始终不变的量叫做常量.
(2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，
并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就
称 x 是自变量，y 是 x 的函数.
(3)函数值：对于每一个函数，如果当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫做
当自变量 x 的值为 a 时的函数值.
(4)函数的表示方法：①解析式法；②列表法；③图象法.
(5)函数图象的画法：列表→描点→连线.
(6)函数自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量的取值
的全体.
以题导学
6.(2022·广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，则
C
圆周长 C 与 r 的关系式为 C ＝2 πr. 下列判断正确的是( )
A.2 是变量
B.π是变量
C.r 是变量
D.C 是常量
7.(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯 60 ℃的热水(恒温)中，
温度计的读数 y(℃)与时间 x(min)的关系用图象可近似表示为(
)
A
B
C
D
C
核心
函数自变量的取值范围
1.求下列函数中自变量 x 的取值范围：
类型 特征 取值范围 举例
整式型 等式右边是整式 全体实数 y＝x2＋1
分式型 等式右边是关于自变
量的分式 使分母不为零的实数
根式型 等式右边是关于自变
量的开偶次方的式子 使根号下的式子的值
为非负数的实数
【归纳小结】
常见自变量取值范围的不同类型
类型 特征 取值范围 举例
零指数幂
(或负整数
指数幂)型 等式右边是关于自变
量的零次幂(或负整数
指数幂) 使底数为不等于0的实数 y＝(x－8)0
(或y＝x-1)
复合型 含有上述两种或多种
的形式 使各部分都有意义的
公共部分的实数
变式 1－1 函数 y＝
x＋1
x－1
中，自变量 x 的取值范围是(
)
A.x≠0
B.x≥－1
C.x≠1
D.x≥1
C
变式 1－2 已知等腰三角形的周长为 10 cm，将底边长 y cm 表示
为腰长 x cm 的关系式是 y＝10－2x，则其自变量 x 的取值范围是(
)
A.0＜x＜5
B.2.5＜x＜5
C.一切实数
D.x＞0
B
变式 1－3 (2024·齐齐哈尔)在函数 y＝
中，自变量
x 的取值范围是_________________.
x＞－3 且 x≠－2
核心
坐标系中点的坐标特征
2.已知点 P(3m－6，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点 P 的坐
标.
(1)点 P 在 y 轴上；(2 分)
(2)点 P 在 x 轴上；(2 分)
(3)点 P 的纵坐标比横坐标大 5；(2 分)
(4)点 P 在过点 A(－1，2)，且与 x 轴平行的直线上.(4 分)
解：(1)∵点 P(3m－6，m＋1)在 y 轴上，
∴3m－6＝0，解得 m＝2，
∴m＋1＝2＋1＝3，
∴点 P 的坐标为(0，3).
(2)∵点 P(3m－6，m＋1)在 x 轴上，
∴m＋1＝0，
解得 m＝－1，
∴3m－6＝3×(－1)－6＝－9，
∴点 P 的坐标为(－9，0).
(3)∵点 P(3m－6，m＋1)的纵坐标比横坐标大 5，
∴m＋1－(3m－6)＝5，
解得 m＝1，
∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2，
∴点 P 的坐标为(－3，2).
(4)∵点 P(3m－6，m＋1)在过点 A(－1，2)且与 x 轴平行的直线上，
∴m＋1＝2，
解得 m＝1，
∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2，
∴点 P 的坐标为(－3，2).
变式 2
在平面直角坐标系中，已知点 M(1－2m，－m).
(1)若点 M 在 y 轴上，求 m 的值；(3 分)
(2)若点 M 到 y 轴的距离是 3，求 m 的值；(3 分)
(3)若点 M 在第一、三象限的角平分线上，求 m 的值.(4 分)
解：(1)∵点 M(1－2m，－m)在 y 轴上，
(2)∵点 M(1－2m，－m)到 y 轴的距离是 3，
∴|1－2m|＝3，即 1－2m＝3 或 1－2m＝－3，解得 m＝－1 或 m＝2.
(3)∵点 M(1－2m，－m)在第一、三象限的角平分线上，
∴1－2m＝－m，解得 m＝1.
核心
函数图象
3.如图 1 所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家
去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图 2 反映了这个过程中，
小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系.
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2 分)
(2)小明吃早餐用了多少时间？(2 分)
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(2 分)
(4)小明读报用了多少时间？(2 分)
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
(2 分)
图 1
图 2
解：(1)食堂离小明家 0.6 km，小明从家到食堂用了 8 min.
(2)小明吃早餐用了(25－8)＝17(min).
(3)食堂离图书馆(0.8－0.6)＝0.2(km)，小明从食堂到图书馆用了
28－25＝3(min).
(4)小明读报用了(58－28)＝30(min).
(5)图书馆离小明家 0.8 km，小明从图书馆回家的平均速度是
0.8÷(68－58)＝0.08(km/min).
变式 3－1
(2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底
面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽
中水的深度 h 与注水时间 t 的函数关系的是(
)
D
A
B
C
D
变式 3－2
(2023·贵州)今年“五一”假期，小星一家驾车前往
黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程 y(km)与所用时
间 x(h) 之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.小星家离黄果树景点的路程为 50 km
B.小星从家出发第 1 小时的平均速度为 75 km/h
C.小星从家出发 2 小时离景点的路程为 125 km
D
D.小星从家到黄果树景点的时间共用了 3 h
)
B
1.在平面直角坐标系中，点(4，0)的位置在(
A.第一象限
B.x 轴正半轴上
C.第二象限
D.y 轴正半轴上
2.函数 y＝
中的自变量 x 的取值范围是(
)
A.x＞1
B.x≠2
C.x＞1 且 x≠2
D.x≥1 且 x≠2
D
3.(2023·广安)如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，
然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列
能反映弹簧测力计的读数 y(单位：N)与铁块被提起的时间 x(单位：s)
之间的函数关系的大致图象是(
)
A
A
B
C
D
4.如图，在矩形 ABCD 中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，－1)，则D
的坐标为____________.
(－3，－1)
5.小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度 h(m)与摆动时间 t(s)之间
的关系如图所示.
(1)根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数.(3 分)
(2)结合图象回答：
①当 t＝0.7 s 时，h 的值是多少？请说明它的实际意义；(3 分)
②秋千摆动第一个来回需多少时间？(4 分)
解：(1)由图象可知
对于每一个摆动时间 t，h 都有唯一确定的值与其对应，
∴变量 h 是关于 t 的函数.
(2)①由函数图象可知
当 t＝0.7 s 时，h＝0.5 m，它的实际意义是秋千摆动 0.7 s 时，离
地面的高度是 0.5 m.
②由图象可知
秋千摆动第一个来回需 2.8 s.
6.(2023·内蒙古)若实数 m，n 是一元二次方程 x2－2x－3＝0 的两
)
B
个根，且 m＜n，则点(m，n)所在象限为(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
8.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＜AD，对角线 AC，BD 相交于
点O，动点 P 由点 A 出发，沿点 A→B→C→D 的方向运动，设点 P 的
运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当
x＝5 时，y 的值为(
)
图 2
3
A.
2
B.2
5
C.
2
D.4
A
图 1
9.2025 年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行.如图是本届亚冬
会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若 A，C两点的坐标
分别为(2，1)，(0，2)，则点 B 的坐标为___________.
(－1，－2)
10.新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其
中最重要的一点就是对环境的保护.如图是某型号新能源纯电动汽车
充满电后，蓄电池剩余电量 y(千瓦时)与已行驶路程 x(千米)之间关系的
图象.
(1)图中点 A 表示的实际意义是什么？(2 分)
(2)当 0≤x≤150 时，行驶 1 千米的平均耗电量
是多少？当 150＜x≤200 时，行驶 1千米的平均耗电
量是多少？(4 分)
(3)当行驶了 120 千米时，蓄电池的剩余电量是多少？行驶多少千
米时，蓄电池的剩余电量降至 20 千瓦时？(4 分)
解：(1)由图象，可知点 A 表示充满电后行驶 150 千米时，剩余电
量为 35 千瓦时.
∴当行驶了 120 千米时，蓄电池的剩余电量是 40 千瓦时；当汽车
行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量降至 20 千瓦时.
