(共41张PPT)
第二十讲 锐角三角函数与解直角三角形
考点梳理
考点 1
锐角三角函数的定义
以题导学
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sin C，
cos C，tan C 的值.(6 分)
考点梳理
考点 2
特殊角的三角函数值
以题导学
2.计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°.(6 分)
概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两
个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过
程，叫做解直角三角形
边角
关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
考点梳理
考点 3
解直角三角形
以题导学
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝2，解这
个直角三角形.(6 分)
仰角 视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角 视线在水平线下方的角叫做俯角
坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡
比)，用字母 i 表示
坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，
则有 i＝tan α
方向角 平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为
东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点 O
出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫
做观测的方向角
考点梳理
考点 4
解直角三角形的应用
以题导学
4.(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图
所示，斜坡 BE 的坡度 i＝1∶ ，BE＝6 m，在 B 处测得电线塔CD顶
部 D 的仰角为 45°，在 E 处测得电线塔 CD 顶部 D 的仰角为 60°.
(1)求点 B 离水平地面的高度 AB；(3 分)
(2)求电线塔 CD 的高度(结果保留根号).(7 分)
核心
解直角三角形
1.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 是直角三角形，∠A＝
(1)求点 A 的坐标；(3 分)
(2)求∠ABO 的正切值；(3 分)
(3)延长 BA，交 y 轴于点 C，求点 C 的坐标.(4 分)
解：(1)如图，过点 A 作 AN⊥OB 于点 N.
【方法总结】
解直角三角形的类型及方法
变式 1－2
(2022·广东)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，作
BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，延长 AC 至点 E，使 CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(4分)
核心
解直角三角形的应用
2.图 1 是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图 2 所示的
矩形 ABCD，其中 AB＝3 m，AD＝1 m，此时它与出入口 OM 等宽，
与地面的距离 AO＝0.2 m；当它抬起时，则变为平行四边形 AB′C′D，
如图 3 所示，此时，AB′与水平方向的夹角为 60°.
图 1
图 2
图 3
(1)求点 B′到地面的距离；(3 分)
(2)在电动门抬起的过程中，求点 C 所经过的路径长；(3 分)
(3)一辆高 1.6 m、宽 1.5 m 的汽车从该入口进入时，汽车需要与
BC 保持 0.4 m 的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过
计算说明；若不能，请说明理由.(参考数据： ≈1.73，π≈3.14，所
有结果精确到 0.1)(4 分)
解：(1)如图，过点 B′作 B′N⊥OM 于点 N，交 AB 于点 E.
∵AB′＝AB＝3，∠BAB′＝60°，
∴B′N＝B′E＋EN≈2.6＋0.2＝2.8 m.
变式 2－1
(2024·广州)2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上
升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实
践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，
该模拟装置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点，再垂直下降到着
陆点 C，从 B 点测得地面 D 点的俯角为 36.87°，AD＝17 米，BD＝
10 米.
(1)求 CD 的长；(4 分)
(2)若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到
B 点，求模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间.(6 分)
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈
0.75.)
解：(1)如图，由题意得 AC⊥CD，BE∥CD，
∠EBD＝∠BDC＝36.87°.在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD·cos 36.87°≈10×0.80＝8(米)，
∴CD 的长约为 8 米.
(2)在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD·sin 36.87°≈10×0.6＝6(米).
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
∴AB＝AC－BC＝15－6＝9(米).
∵模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间为 9÷2＝4.5(秒)，
变式 2－2
(2024·泸州)如图，海中有一个小岛 C，某渔船在海
中的 A 点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间
后到达 B 点，测得小岛 C 位于北偏西 30°方向上，再沿北偏东 60°
方向继续航行一段时间后到达 D 点，这时测得小岛 C 位于北偏西
60°方向上.已知 A，C 相距 30 n mile，求C，D 间的距离.(计算过程
中的数据不取近似值)(7 分)
解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H.
∵∠CAB＝45°，AC＝30 n mile，
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G，
∴∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°，
∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝60°，
1.(2023·深圳)爬坡时若坡面与水平面的夹角为α，则每爬 1 m 耗
能(1.025－cos α)J.若某人爬了 1 000 m，坡角为 30°，则他耗能(参考
A.58 J
B.159 J
C.1 025 J
D.1 732 J
B
2.(2023·广州)如图，海中有一小岛 A，在 B 点测得小岛 A在北偏
东 30°方向上，渔船从 B 点出发由西向东航行 10 n mile 到达 C 点，
在 C 点测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为
(
)
D
3.(2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 1.8 m
的测量仪 EF 测得顶端 A 的仰角为 45°，小军在小明的前面 5 m 处用
高 1.5 m 的测量仪 CD 测得顶端 A 的仰角为 53°，则电子厂 AB 的高
A.22.7 m
B.22.4 m
C.21.2 m
D.23.0 m
A
4.(2023·赤峰)为发展城乡经济、建设美丽乡村，某乡对 A 地和 B
地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来 A 地去往 B 地需要绕行到
C 地的路线，改造成可以直线通行的公路 AB.如图，经勘测，AC＝6
千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路 AB 的长是_____
千米(精确到 0.1 千米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
9.9
5.(2023·广东)2023 年 5 月 30 日，神舟十六号载人飞船发射取得
圆满成功，3 名航天员顺利进驻中国空间站.图 1 展示了中国空间站上
机械臂的一种工作状态.如图 2，当两臂 AC＝BC＝10 m，两臂夹角
∠ACB＝100°时，求 A，B 两点间的距离.(结果精确到 0.1 m，参考
数据： sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)(7 分)
图 1
图 2
6.(2024·资阳)第 14 届国际数学教育大会(ICME 14)会标如图 1 所
示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.图 2 所示
的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，
△DAH)和一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形 ABCD.若 EF∶AH＝
1∶3，则 sin∠ABE＝( )
图 1
图 2
C
7.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 CD 的
高度(如图)，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在
小楼房楼底 B 处测得 C 处的仰角为 60°，在小楼房楼顶 A 处测得 C
处的仰角为 30° (AB，CD 在同一平面内，B，D 在同一水平面上)，
则建筑物 CD 的高为(
)
A.20 米
B.15 米
C.12 米
B
8.(2023·眉山)一渔船在海上 A 处测得灯塔 C 在它的北偏东 60°
方向，渔船向正东方向航行 12 海里到达点 B 处，测得灯塔 C 在它的
北偏东 45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C 的最
短距离是__________海里.
9.(2024·眉山)如图，斜坡 CD 的坡度 i＝1∶2，在斜坡上有一棵
垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为 60°时，大树
在斜坡上的影子 BE 长为 10 米，则大树 AB 的高为__________米.
10.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳
转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充
电站，如图是矩形 PQMN 充电站的平面示意图，矩形 ABCD 是其中一
个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，
GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到 0.1 m，参考数据： ≈1.73)
(1)求 PQ 的长；(3 分)
(2)若该充电站有 20 个停车位，求 PN 的长.(4 分)
在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有 20 个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形 PQMN 是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.(共41张PPT)
第十九讲 等腰三角形与直角三角形
定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
性质 两腰相等，两底角相等(等边对等角)，顶角平分线、底边上的中
线和高互相重合(三线合一)
判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形
是等腰三角形(等角对等边)
考点梳理
考点 1
等腰三角形的性质和判定
以题导学
1.(2024·绥化)如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝
______°.
66
2.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平
分线.若在边 AB 上截取 BE＝BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有
(
)
D
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
定义 三条边相等的三角形是等边三角形
性质 (1)三边都相等；
(2)三个内角相等且都是 60°；
(3)三线合一，且内心、外心、重心和垂心重合；
(4)是轴对称图形，有 3 条对称轴
判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(等角对等边)；
(3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
考点梳理
考点 2
等边三角形的性质和判定
以题导学
3.如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 边上，∠DBC＝35°，
则∠ADB 的度数为(
)
D
A.25°
B.60°
C.85°
D.95°
4.(2024·青海)如图，在 Rt△ABC 中，点 D 是 AC 的中点，∠BDC
＝60°，AC＝6，则 BC 的长是(
)
A
定义 经过线段的中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直
平分线
性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
判定 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
考点梳理
考点 3
线段的垂直平分线
以题导学
5.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直
平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
C
定义 有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形
性质 (1)斜边上的中线等于斜边的一半；
(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半
考点梳理
考点 4
直角三角形的性质
以题导学
6.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点 D 为边
AC 的中点，BD＝2，则 BC 的长为(
)
C
定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2
逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
考点梳理
考点 5
勾股定理及其逆定理
以题导学
7.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知 AB＝13，AD＝
12，AC＝15，BD＝5，则 CD 的长为_____.
9
核心
等腰(边)三角形的性质与判定
1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD 是 BC 边上
的中线，且 BD＝BE，CD 的垂直平分线 MF 交 AC 于点 F，交 BC 于
点 M.
(1)求∠ADE 的度数；(4 分)
(2)求证：△ADF 是等边三角形；(4 分)
(3)若 MF 的长为 2，求 AB 的长.(4 分)
(1)解：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
又∵BD＝BE，
在△ABC 中，∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°.
(2)证明：∵FM 垂直平分 DC，
∴DF＝CF.
∵∠C＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF＝90°－∠C＝60°，
∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°，
∴△ADF 是等边三角形.
(3)解：∵FM 垂直平分 DC，
∴∠FMC＝90°.
∵∠C＝30°，FM＝2，
∴FC＝2FM＝4.
又∵DF＝FC，
∴DF＝4.由(2)知△ADF 是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，
∴AC＝AF＋CF＝4＋4＝8.
又∵AB＝AC，
∴AB＝8.
变式 1－1 如图，BD 是△ABC的角平分线，DE∥BC，交 AB 于
点 E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；(4 分)
(2)当 AB＝AC 时，请判断 CD 与 ED 的大小关系，并说明理由.
(6 分)
(1)证明：∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD.
∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB.
(2)解：CD＝ED.理由如下：
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∴CD＝BE.
由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，∴CD＝ED.
变式 1－2
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
DE 是 AB 的垂直平分线，交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.求证：
(1)△ADC 是等边三角形；(4 分)
(2)点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.(6 分)
(2)∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴∠EAB＝∠B＝30°.∴∠EAC＝∠BAC－∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，∴AE 平分∠BAC.
∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝EC.
由(1)得△ADC 是等边三角形，∴AD＝AC，
∴点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.
核心
勾股定理
2.如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，网格中每
个小正方形的边长均为 1.
(1)计算：AB＝______，BC＝_________，AC＝______；(3 分)
(2)求证：△ABC 是直角三角形；(3 分)
证明：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，
∴AB2＋BC2＝65＝AC2，
∴△ABC 是直角三角形.
(3)求 AC 边上的高 BD.(4 分)
解：如图，作高 BD.
变式 2－1 (2023·宁夏)将一副直角三角板和一把宽度为 2 cm 的
直尺按如图所示的方式摆放：先把 45°和 60°角的顶点及它们的直角
边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿
上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 A，B 两点，则 AB 的长是
(
)
B
变式 2－2
如图，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝20 cm，
D是边 AB 上一点，且 CD＝16 cm，BD＝12 cm.
(1)求 AD 的长；(4 分)
(2)求△ABC 中 BC 边上的高.(4 分)
解：(1)∵BC＝20 cm，CD＝16 cm，BD＝12 cm
易得BD2＋CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°.
设AD＝x cm，则AC＝AB＝(x＋12) cm.
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2，
即x2＋162＝(x＋12)2，
1.(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为 110°，则这个等腰三
角形的底角是(
)
C
A.70°
B.45°
C.35°
D.50°
2.(2023·金昌)如图，BD 是等边△ABC 的边 AC 上的高，以点 D
为圆心、DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
C
3.(2024·镇江)如图，△ABC 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，
连接 BD.若 AC＝8，CD＝5，则 BD＝______.
3
4.(2023·恩施州)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算
经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，
从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，
不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿
比门高长出 2 尺；斜放，竿与门的对角线恰好相等.问门的高、宽和对
角线的长各是多少(如图)？答：门的高、宽和对角线的长分别是
__________尺.
8，6，10
5.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，点 M 为边 AB 的中点，
点 E 在线段 AM 上，EF⊥AC 于点 F，连接 CM，CE.已知∠A＝50°，
∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；(4 分)
(2)若 AB＝4，求线段 FC 的长.(6 分)
(1)证明：∵∠ACB＝90°，点 M 为边 AB 的中点，
∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.
∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
6.(2024·云南)已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的高，若点 F 到
直线 AB 的距离为 3，则点 F 到直线 AC 的距离为(
)
C
3
A.
2
B.2
C.3
7
D.
2
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
D
8.(2024·泰安)如图，直线 l∥m，等边三角形 ABC 的两个顶点 B，
C 分别落在直线 l，m 上，若∠ABE＝21°，则∠ACD 的度数是(
)
A.45°
B.39°
C.29°
D.21°
B
9.(2023·大连)如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别
为(1，0)和(0，2)，连接 AB，以点 A 为圆心、AB的长为半径画弧，与
x 轴正半轴相交于点 C，则点 C 的横坐标是________.
10.(2023·烟台)如图，点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC，BC
为等腰三角形的底边，在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，且
∠A＝∠CBE.在线段 EC 上取一点 F，使 EF＝AD，连接 BF，DE.
图 1
图 2
(1)如图 1，求证：DE＝BF；(4 分)
(2)如图 2，若 AD＝2，BF 的延长线恰好经过 DE 的中点 G，求
BE的长.(6 分)
(1)证明 ∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角
形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE.
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB.
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE＝BF.
(2)解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，∠A＝∠CBE，
∴∠DCA＝∠CBE，∴∠A＝∠ECB，∴DC∥BE.
如图，作 GH∥CD，交 CE 于点 H.
∵DG＝EG，GH∥CD，∴CH＝EH.(共21张PPT)
微专题 相似三角形模型
一、A 字模型
模型概述：
两个三角形有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等.若题中
未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.
【针对训练】
1.(2024·河南)如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E 为 OC 的中点，EF∥AB 交 BC 于点 F.若 AB＝4，则 EF 的长为
(
)
B
1
A.
2
B.1
C.
4
3
D.2
2.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.
添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________.
(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C
︵
3.(2024·无锡)如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，CD＝
︵
DB，AB，CD 的延长线相交于点 E，且 DE＝AD.
(1)求证：△CAD∽△CEA；(4 分)
(2)求∠ADC 的度数.(6 分)
︵ ︵
(1)证明：∵CD＝DB，∴∠CAD＝∠DAB.
∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，∴∠CAD＝∠E.
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA.
(2)解：连接 BD，如图.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.
设∠CAD＝∠DAB＝α，
则∠CAE＝2α.
由(1)知△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α.
∵四边形 ABDC 是圆的内接四边形，
∴∠CAB＋∠CDB＝180°，
即 2α＋2α＋90°＝180°，
解得α＝22.5°.
∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°.
二、8 字模型
模型概述：
两个三角形有一组隐含的等角(如对顶角)，此时需要从已知条件、
图中的隐含条件或通过证明得出另一组角相等.若题中未明确相似三
角形的对应顶点，则需要分类讨论.
如图，在△ABC 与△ADE 中，∠1＝∠2，有一组对顶角(∠EAD
＝∠CAB)，则△ABC∽△ADE.
【针对训练】
4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O，且△AOB
与△DOC 的面积比是 1∶4.若 AB＝6，则 CD 的长为______.
12
5.(2024·眉山)如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠BAD＝120°，过
点 D 作 DE⊥BC，交 BC 的延长线于点 E，连接 AE 分别交BD，CD于
点 F，G，则 FG 的长为_________.
6.(2023·眉山)如图，在 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE
并延长交 BA 的延长线于点 F.
(1)求证：AF＝AB；(4 分)
(2)点 G 是线段 AF 上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG 交 AD 于点
H，若 AG＝2，FG＝6，求 GH 的长.(6 分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F.
∵点 E 是 AD 的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE(AAS)，
∴CE＝EF.
∵AE∥BC，
∴AF＝AB.
(2)解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8，
∴AB＝AF＝8.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB＝8.
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6.
∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，
∴GH＝1.2.
三、一线三等角模型(相似)
模型概述：
三个等角顶点在同一直线上，要证明三角形相似，可根据三角形
内角和及补角的性质得另一组等角.
如下图，在△APC 和△BDP 中，∠1＝∠2＝∠3.其中点 A，P，B
三点在同一条直线上，则△APC∽△BDP.
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
图 1 点 P 在线段 AB 上，∠1＝∠2＝∠3(同侧型)
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
图 2 点 P 在线段 AB 的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
(异侧型)
∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
Rt△ADC∽Rt△CEB
∠BDO＝∠ACO＝∠BOA＝90°，
Rt△BDO∽Rt△OCA
∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，
Rt△FBE∽Rt△ECG
∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，
Rt△FBE∽Rt△ECG
【针对训练】
7.(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点 B 是线段 AD 上的一
点，且 CB⊥BE.已知 AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；(4 分)
(2)求线段 BD 的长.(6 分)
(1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB.
(2)解：由(1)知△ABC∽△DEB，
8.如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是边 BC 上一动点(点 P 不与
端点重合)，作∠DPE＝60°，PE 交边 AC 于点 E，PD 交边 AB于点D.
(1)求证：△BPD∽△CEP；(4 分)
(2)若 AB＝10，BD＝3，CP∶BP＝1∶4，求 CE 的长.(6 分)
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝120°－∠BPD.
∵∠DPE＝60°，
∴∠CPE＝180°－∠DPE－∠BPD＝120°－∠BPD，
∴∠BPD＝∠CEP，
∴△BPD∽△CEP.(共41张PPT)
第十八讲 相似三角形
考点梳理
考点 1
比例线段
以题导学
1.(2023·广东)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡
)
A
献.优选法中的 0.618 法应用了(
A.黄金分割数
B.平均数
C.众数
D.中位数
2.(2024·常州)书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣
赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装
裱前的大小是 1.2 m×0.8 m.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别
是 a m，b m，c m，d m.若装裱后 AB 与 AD 的比是 16∶10，且 a＝b，
c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度.(7 分)
解：由题意，得 AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m.
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，
AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m.
∵AB 与 AD 的比是 16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1 m，0.1 m，0.2 m，
0.2 m.
考点梳理
考点 2
平行线分线段成比例定理
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比
例.
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
以题导学
3.(2023·北京)如图，直线 AD，BC 交于点 O，AB∥EF∥CD，若
定
义 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个三角形叫做相
似三角形
判
定 (1)两角对应相等的两个三角形相似；
(2)三边对应成比例的两个三角形相似；
(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
相似
性
质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
考点3 相似三角形的判定与性质
考点梳理
以题导学
4.(2024·内江)已知△ABC 与△DEF 相似，且相似比为 1∶3，则
△ABC 与△DEF 的周长之比是(
)
B
A.1∶1
B.1∶3
C.1∶6
D.1∶9
5.(2024·广州)如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD
上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.(6 分)
证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3＋6＝9.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
考点梳理
考点 4
相似多边形的性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
(2)相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平
方.
以题导学
6.(2024·盐城)若两个相似多边形的相似比为 1∶2，则它们的周长
之比为______.
1∶2
概念 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应
边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，相交的点叫做
位似中心
性质 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或－k
考点梳理
考点 5
图形的位似
以题导学
7.(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A′B′C′
是位似图形，位似中心为点 O.若点 A(－3，1)的对应点为 A′(－6，2)，
则点 B(－2，4)的对应点 B′的坐标为(
)
A
A.(－4，8)
B.(8，－4)
C.(－8，4)
D.(4，－8)
核心
比例线段
1.已知 a，b，c，d 为四个不为 0 的数.
【方法技巧】遇到等比问题时，通常设这些比的值为常数 k，如第
(2)题，这种设辅助数的方法很重要，在解决问题中经常会用到.
A
3
核心
相似三角形的判定与性质
2.如图，在△ABC 与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，
CE，∠EAC＝∠DAB.
(1)求证：△ABC∽△ADE；(3 分)
(2)求证：△BAD∽△CAE；(3 分)
转，当点 E 落在线段 CD 上时，求 BD 的长.(4 分)
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠EAD.
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△ADE.
(2)证明：由(1)知△ABC∽△ADE，
∵∠EAC＝∠BAD，
∴△BAD∽△CAE.
【方法总结】在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.寻找相似
三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形
对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形.判定三角形相似
的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综
合运用，都要具备应有的条件方可.
18
变式 2－2
(2024·盐城)如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，
过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D，连接 AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；(4 分)
(2)若 AC＝5，CD＝4，求⊙O 的半径.(6 分)
(1)证明：如图，连接 OC.
∵l 是⊙O 的切线，∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.
∵∠D＝∠ACB＝ °，∴ ABC∽90ACD.
D
2.(2023·吉林)如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点 D 作
2
A.
5
1
B.
2
3
C.
5
2
D.
3
A
3.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是 1∶3，则这两个相似
三角形的面积比是(
)
D
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶6
D.1∶9
4.(2024·青海)如图，AC 和 BD 相交于点 O，请你添加一个条件：
___________，使得△AOB∽△COD.
∠B＝∠D
5.(2023·湘潭)在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上
的高.
(1)证明：△ABD∽△CBA；(4 分)
(2)若 AB＝6，BC＝10，求 BD 的长.(6 分)
(1)证明：∵AD 是斜边 BC 上的高，∴∠BDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC.
又∵∠B 为公共角，
∴△ABD∽△CBA.
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
6.△ABC 的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形
DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
C
A.54
B.36
C.27
D.21
7.(2024·镇江)如图，小杰从灯杆 AB 的底部点 B 处沿水平直线前
进到达点 C 处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回
到点 B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(
)
D
A.4.5 米
B.4 米
C.3.5 米
D.2.5 米
8.(2023·丽水)小慧同学在学习了“比例线段”这节课后，发现学
习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受
这种特殊化的学习过程.
2
9.(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，
过点 D 作 DE∥CB，且 DE＝DC，连接 AE 交 BC 于点 F.若∠CAB＝
∠CFA，CF＝1，则 BF＝______.
3
10.(2023·长春)如图，△ABC 和△A′B′C′是以点 O 为位似中
心的位似图形，点 A 在线段 OA′上.若 OA∶AA′＝1∶2，则△ABC
与△A′B′C′的周长之比为_________.
1∶3
11.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，AC与BD
交于点 E，PB 切⊙O 于点 B.
(1)求证：∠PBA＝∠OBC；(4 分)
(2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.(6分)
证明：(1)∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，
∵PB 切⊙O 于点 B，∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO－∠ABO＝∠ABC－∠ABO，即∠PBA＝∠OBC.
(2)由(1)知∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB＋∠OBC＝20°＋20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，∴∠AOB＝∠ACD，
︵ ︵
∵BC＝BC，∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE.(共31张PPT)
微专题 全等三角形模型
一、平移模型
模型分析：有一组边在一条直线上、另外两组边分别平行的两个
三角形，常在其公共直线上加(减)公共线段以构造相等线段，利用平行
线找出相等的对应角，从而找出三角形全等的条件.
基本图形：
如图，点 A，B，D，E 在同一条直线上，AB＝DE(或 AD＝BE)，
AC∥DF，BC∥EF，则△ABC≌△DEF.
【针对训练】
1.如图，已知 E，B，F，C 四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝
∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF 的是( )
B
A.∠E＝∠ABC
B.AB＝DE
C.AB∥DE
D.DF∥AC
2.(2024·内江)如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，AD＝BE，
AC＝DF，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；(4 分)
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F 的度数.(6 分)
(1)证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即 AB＝DE.
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°.
二、折叠模型
模型分析：所给图形沿公共边所在的直线或者经过公共顶点的某
条直线折叠后，两个三角形全等.对于此模型，学会利用对称性质是解
决问题的关键.
基本图形：
有公共边
有公共角
对顶角
【针对训练】
3.如图，OB 平分∠AOC，D，E，F 分别是射线OA、射线OB、射
线 OC 上的点，点 D，E，F 与点 O都不重合，连接 ED，EF.若添加下
列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件
是(
)
D
A.OD＝OE
C.∠ODE＝∠OED
B.OE＝OF
D.∠ODE＝∠OFE
4.(2024·常州改编)如图，B，E，C，F 是直线 l 上的四个点，AC，
DE 相交于点 G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC 是等腰三角形；(4 分)
(2)连接 AD，请说明 AD 与 l 的位置关系.(6 分)
∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，∴GE＝GC，∴△GEC 是等腰三角形.
(2)解：AD∥l.理由如下：
连接 AD，过点 A 作 AM⊥直线 l 于点 M，过点 D 作 DN⊥直线 l
于点 N，如图所示.
则∠AMB＝∠DNF＝90°，∴AM∥DN.
∵△ABC≌△DFE，∴∠ABM＝∠DFN.
∴△ABM≌△DFN(AAS)，
∴AM＝DN，
∴四边形 AMND 为平行四边形，
∴AD∥l.
三、旋转模型
模型分析：两个三角形有公共顶点，绕该顶点旋转后两个三角形
重合.对于此模型，学会利用旋转后的两个图形全等的性质来解决问题
是关键.
基本图形：
∠ACB＝∠A′CB′
∠BAC＝∠B′A′C
(∠BAB′＝∠CAC′)
∠BAC＝∠B′A′C′
(∠BAB′＝∠CAC′)
【针对训练】
5.(2024·浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形 EFGH 组成，连接 DE.
若 AE＝4，BE＝3，则 DE＝( )
C
6.如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝
∠DAE＝90°，且点 D 在线段 BC 上，连接 CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；(4 分)
(2)若∠EAC＝60°，求∠CED 的度数.(6 分)
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解：由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD.
∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°.
∵∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°－∠ACE－∠EAC＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝75°－45°＝30°.
四、一线三等角模型(全等)
模型分析：(1)利用三角形内角和与内外角的关系，通过等角代换
得到一组相等的角，构造三角形全等的条件； (2)两个直角三角形的一
组直角边共线，且斜边互相垂直，利用直角互余的性质得出一组对应
角相等，加上已知的一组相等对应边，这是证明三角形全等的关键.
基本图形：
(同侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′
(异侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′
(一线三垂直)∠1＝∠2＝∠3＝90°，BC＝B′C′
【针对训练】
7.(2023·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，作 CD⊥AC，且
使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.求证：CE＝AB.(6分)
证明：∵DC⊥AC 于点 C，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＋∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCE.
∵DE⊥BC 于点 E，
∴∠E＝90°，
∴∠B＝∠E.
在△ABC 和△CED 中，
∴△ABC≌△CED(AAS).
∴AB＝CE.
8.(2023·武汉)【问题提出】
如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE
＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α (α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF
与α的数量关系.
图 1
图 2
图 3
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图 2，当α＝90°时，直接写出∠GCF 的
大小；(3 分)
(2)再探究一般情形，如图 1，求∠GCF 与α的数量关系；(4 分)
【问题拓展】
(6 分)
解：(1)如图，在 BA 上截取 BJ，使得 BJ＝BE.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC.
∵BJ＝BE，∴AJ＝EC.
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ.∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC(SAS)，∴∠AJE＝∠ECF.
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°－45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF－∠ECD＝135°－90°＝45°.
如图，在 AB 上截取 AN，使 AN＝EC，连接 NE.
(3)如图，过点 A 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 P，设菱形的
边长为 3m.
五、倍长中线法
模型分析：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几
何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就
是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等
三角形的有关知识来解决问题的方法.
基本图形：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.
图 1
图 2
图 3
图 4
方式 1(直接倍长)：如图2，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
方式 2(间接倍长)：
(1)如图 3，作 CF⊥AD 于点 F，作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于
点 E.
(2)如图 4，在 AB 上任取一点 M，连接 MD，延长 MD 至点 N，
使 DN＝MD，连接 CN.
【针对训练】
9.【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：
如图1，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB＝4，AC＝6，求线
段 AD 长的取值范围.我们采用的方法是延长线段 AD 到点 E，使得 AD
＝DE，连接 CE，可证△ABD≌△ECD，可得 CE＝AB＝4，再根据三
角形三边关系即可求出 AD 的范围，我们将这样的方法称为“三角形
倍长中线法”.则 AD 的取值范围是__________.(3 分)
1＜AD＜5
图 1
图 2
图 3
【拓展应用】
解：如图，延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 CE.
∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴∠E＝∠BAD＝90°，DE＝AD＝3，CE＝AB.
(2)如图 3，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，分别以 AB，AC
为直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE＝∠ACF＝30°，连接EF，
4(共35张PPT)
第十七讲 全等三角形
考点梳理
考点 1
全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等.
(2)全等三角形的对应角相等.
(3)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(4)全等三角形的周长相等、面积相等.
以题导学
1.(2024·成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝
45°，则∠DCE 的度数为______°.
100
判定方法 内容
边边边(SSS) 三边对应相等的两个三角形全等
边角边(SAS) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
角角边(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两
个三角形全等
角边角(ASA) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
直角三角形的判定(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等
考点梳理
考点 2
全等三角形的判定
证明三角形全等的思路：
以题导学
2.(2023·牡丹江)如图，AB∥CD，AD 与 BC 交于点 O，请添加一
个条件：_____________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
AB＝DC
3.(2022·广州)如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，
BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE.(6 分)
证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
考点梳理
考点 3
角平分线的性质和判定
以题导学
4.(2024·青海)如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OB，
PD＝2，则点 P 到 OA 的距离是(
)
C
A.4
B.3
C.2
D.1
核心
全等三角形的性质和判定
1.如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，点P，Q分别为线段AB，BD上任意一点.
(1)若点P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等；(3分)
(2)如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系；(4分)
(3)如图 3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α(α为锐
角)”，其他条件不变.若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断(2)中的数量关系
是否会改变？并说明理由.(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(1)由题意可知 AC＝QB.
∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°.
又∵点 P 为 AB 的中点，
∴AP＝BP.
∵AC＝BD，
∴△ACP≌△BDP(SAS).
(2)由(1)可知∠A＝∠B＝90°.
∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝90°－∠CPA，
∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝90°－∠CPA，
∴∠ACP＝∠BPQ.
又∵CP＝PQ，
∴△ACP≌△BPQ(AAS)，
∴AC＝BP，AP＝BQ，
∴AB＝AP＋BP＝BQ＋AC，
即 AC，BQ，AB 之间的数量关系为 AB＝BQ＋AC.
(3)不会改变.理由如下：
∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝180°－α－∠CPA，
∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝180°－α－∠CPA，
∴∠ACP＝∠BPQ.
又∵CP＝PQ，∠A＝∠B，
∴△ACP≌△BPQ(AAS)，
∴AC＝BP，AP＝BQ，
∴AB＝AP＋PB＝BQ＋AC，
即(2)中的数量关系不会改变.
变式 1－1
(2024·安徽)在凸五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝
DE，点 F 是 CD 的中点.下列条件中，不能推出 AF 与 CD 一定垂直的
是(
)
D
A.∠ABC＝∠AED
B.∠BAF＝∠EAF
C.∠BCF＝∠EDF
D.∠ABD＝∠AEC
变式 1－2
(2023·辽宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
点 D 为 BC 的中点，过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E，若
AC＝4，CE＝5，则 CD 的长为______.
变式 1－3 (2024·镇江)如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；(4 分)
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝______°.(4 分)
20
核心
角平分线的性质和判定
2.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和
△ACD的高.
求证：(1)∠DEF＝∠DFE；(4 分)
(2)AD 垂直平分 EF.(4 分)
证明：(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE.
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE＝AF，
而 DE＝DF，
∴AD 垂直平分 EF.
变式 2－1
(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺
A
按图示摆放，直尺边缘的交点 P 在∠AOB 的平分线上，则( )
A.d1 与 d2 一定相等 B.d1 与 d2 一定不相等
C.l1 与 l2 一定相等 D.l1 与 l2 一定不相等
变式 2－2
(2023·广州)如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，
DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直
线 AD 的距离为______.
变式 2－3 (2022·广东)如图，已知∠AOC＝∠BOC，点 P 在 OC
上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：△OPD≌△OPE.
(6 分)
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°.
∵∠AOC＝∠BOC，∴∠DOP＝∠EOP.
∴△OPD≌△OPE(AAS).
1.(2024·济南)如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，
∠B＝40°，则∠DCE 的度数为(
)
C
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
2.(2023·甘孜州)如图，AB 与 CD 相交于点 O，AC∥BD，只添加
一个条件，就能判定△AOC≌△BOD 的是(
)
B
A.∠A＝∠D
B.AO＝BO
C.AC＝BO
D.AB＝CD
3.(2023·成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次
在同一条直线上.若 BC＝8，CE＝5，则 CF 的长为______.
3
4.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，
CD＝_______.
3
5.(2024·长沙)如图，点 C 在线段 AD 上，AB＝AD，∠B＝∠D，
BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；(4 分)
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE 的度数.(6 分)
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)解：由(1)得△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠AEC＝∠ACE.
∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°，
∴∠ACE＝60°.
6.如图，△ABC≌△DEC，点 A 和点 D 是对应顶点，点 B 和点 E
是对应顶点，过点 A 作 AF⊥CD，垂足为 F，若∠BCE＝65°，则
∠CAF的度数为( )
B
A.30°
B.25°
C.35°
D.65°
7.如图，∠AOE＝15°，OE 平分∠AOB，DE∥OB 交 OA 于点 D，
EC⊥OB，垂足为 C.若 EC＝2，则 OD 的长为(
)
C
8.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝
∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是____
(填序号).
②
9.(2023·重庆)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点 D 为 BC 上一点，连接 AD.过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点C作CF
⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.若 BE＝4，CF＝1，则 EF 的长为____.
3
10.(2024·南充)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点
B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；(4 分)
(2)若 AD⊥BC，求证：BA＝BE.(6 分)
(1)证明：∵点 D 为 BC 的中点，
∴BD＝CD.
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD.
在△BDE 和△CDA 中，
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)证明：∵点 D 为 BC 的中点，AD⊥BC，
∴直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线，
∴BA＝CA.
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE.(共14张PPT)
微专题 双角平分线模型
一、两内角平分线相交
模型概述：
三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角(钝角)的度数等
于 90°加上第三个角度数的一半 如图，在.ABC 中，∠ABC 与∠ACB
【针对训练】
1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内角平分线的交点，∠BOC
＝110°，则∠A 的度数是(
)
C
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
2.如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 为△ABC 的角平分线，
点 F 为 BD，CE 的交点，DG 为△DFC 的高，则∠FDG＝______°.
30
3.在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点 P 为 BC 上任意
一点，可以与点 C 重合但不与点 B 重合，AD 平分∠BAP，BD 平分
∠ABP.
(1)当点 P 与点 C 重合时，求∠ADB 的度数；(4 分)
(2)当 AP⊥BC 时，直接写出∠ADB 的度数.(4 分)
解：(1)∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－90°－60°＝30°.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝15°.
当点 P 与点 C 重合时，∠BAP＝∠BAC＝90°.
∵AD 平分∠BAP，
∴∠BAD＝45°，∴∠ADB＝180°－15°－45°＝120°.
(2)当 AP⊥BC 时，∠APB＝90°，
(3)∴∠BAP＝180°－90°－30°＝60°.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝15°.
∵AD 平分∠BAP，∴∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°－15°－30°＝135°.
二、一内角平分线与一外角平分线相交
模型概述：
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的
夹角(锐角)的度数等于第三个角度数的一半 如图，在.ABC 中，BD，
【针对训练】
4.如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别为 x 轴、y 轴正半轴
上两动点，∠BAO 的平分线与∠OBA 相邻的外角的平分线所在直线交
于点 C，则∠C 的度数随点 A，B 运动的变化情况正确的是( )
D
A.点 B 不动，在点 A 向右运动的过程中，∠C 的度数逐渐减小
B.点 A 不动，在点 B 向上运动的过程中，∠C 的度数逐渐减小
C.在点 A 向左运动、点 B 向下运动的过程中，∠C 的度数逐渐增大
D.在点 A，B 运动的过程中，∠C 的度数不变
5.如图，直线 EF∥MN，点 A，B 分别是 EF，MN上的动点，点G
在 MN 上，∠ACB＝m°，∠AGB 和∠CBN 的角平分线交于点 D，若
∠D＝50°，则 m 的值为______.
80
三、两外角平分线相交
模型概述：
三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角(锐角)度数等于
90°减去第三个角度数的一半.如图，在△ABC 中，BD，CD 分别是
【针对训练】
7.三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形(
)
A
A.一定是锐角三角形
B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形
D.无法确定
8.如图，在△ABC 中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC
＝140°，BM，CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角，则∠BMC 的度
数是(
)
D
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
9.如图，在△ABC 中，∠A＝52°，BD，CD 分别平分∠ABC，
∠ACB，点 M，N，Q 分别在 DB，DC，BC 的延长线上，BE，CE 分
别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF 分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝
______°.
16(共36张PPT)
第十六讲 三角形初步
考点梳理
考点 1
三角形的分类
以题导学
B
1.下列对△ABC的判断中，错误的是( )
A.若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是直角三角形
B.若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C.若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D.若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
分类 关系
边与边 (1)任意两边之和大于第三边；
(2)任意两边之差小于第三边
角与角 (1)内角和定理：三角形的内角和等于 180°；
(2)推论：三角形的外角和等于 360°；
(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(4)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
边与角 在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边，大角对大边，
大边对大角
考点梳理
考点 2
三角形的边角关系
以题导学
2.(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(
)
C
A.1，3，4
B.2，2，7
C.4，5，7
D.3，3，6
3.(2024·广东)如图，一把直尺、两个含 30°角的三角尺拼接在一
起，则∠ACE 的度数为(
)
C
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
考点梳理
考点 3
三角形中的重要线段
以题导学
)
B
4.如图，CD⊥AB 于点 D，已知∠ABC 是钝角，则(
A.线段 CD 是△ABC 的 AC 边上的高线
B.线段 CD 是△ABC 的 AB 边上的高线
C.线段 AD 是△ABC 的 BC 边上的高线
D.线段 AD 是△ABC 的 AC 边上的高线
类型 内心 外心 重心
定义 三角形三条内角
平分线的交点 三角形三边垂直平分
线的交点 三角形三边中线的交
点
性质 内心到三角形三
边的距离相等 外心到三角形三个顶
点的距离相等 重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距
离之比为 2∶1
考点梳理
考点 4
三角形中的内心、外心和重心
以题导学
5.如图，点G为△ABC的重心，点D，E，F分别为BC，CA，AB
的中点，AG∶GD＝BG∶GE＝CG∶GF＝2∶1.已知△AFG的面积为3，
则△ABC 的面积为______.
18
核心
三角形的内角和定理及其推理
1.已知，在△ABC 中，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的角平分
线，且相交于点 O.
图 1
图 2
图 3
(1)①如图 1，已知∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠BOC 的度数；
(2 分)
②如果将①中的条件“∠ABC＝70°”去掉，还能求出∠BOC 的
度数吗？如果能，直接写出其度数；如果不能，请说出理由.(3 分)
(2)如图 2，设∠A＝x°，求∠BOC 的度数(用含 x 的代数式表示).
(3分)
(3)如图 3，BO′，CO′分别是△ABC 的外角∠GBC，∠HCB 的
角平分线，且相交于点 O′.设∠A＝x°，求∠BO′C 的度数(用含 x
的代数式表示).(4 分)
变式 1－1 (2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，
∠B＝50°，AD∥BC，则∠1 的度数为(
)
C
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
变式 1－2 如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC 的角平
分线和∠ACB 的外角平分线交于点 P；若∠BPC＝25°，则∠ACB 的
度数为(
)
C
A.25°
B.50°
C.65°
D.70°
核心
三角形中的重要线段
2.如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线.
(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED 的度数；(2 分)
(2)在△BED 中作 BD 边上的高，垂足为 F；(2 分)
(3)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多
少？(2 分)
(4)过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G，连接 EC，DG
且相交于点O，若S△ABC＝a，S△COD＝b，求S△GOC.(用含
a，b 的代数式表示)(4 分)
解：(1)∵∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，
∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝15°＋40°＝55°.
(2)如图，EF 即为△BED 边 BD 上的高线.
(3)∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，
(4)∵BE 为△ABD 的中线，
∴点 E 是 AD 的中点.
∵EG∥BC，
∴EG 是△ACD 的中位线，
∴DG 是△ACD 的中线，
变式 2－1 如图，在△ABC中，点E是中线AD的中点.若△AEC
的面积是1，则△ABD的面积是______.
2
10
1.(2022·广东)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，
AC 的中点，则 DE＝(
)
D
1
A.
4
1
B.
2
C.1
D.2
2.(2023·金华)在下列长度的四条线段中，能与长 6 cm，8 cm 的
两条线段围成一个三角形的是(
)
C
A.1 cm
B.2 cm
C.13 cm
D.14 cm
3.(2024·济南)如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝______.
65°
4.如图，AD 是△ABC 的中线，AB＝4，AC＝3.若△ACD 的周长为
8，则△ABD的周长为______.
9
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外
角∠CBD 的角平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E.
(1)求∠CBE 的度数；(4 分)
(2)过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数.
(6 分)
6.(2024·德阳)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其
中 AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC 等于(
)
B
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
7.(2023·天津)如图，把△ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到
△ADE，点 B，C 的对应点分别是点D，E，且点 E 在 BC 的延长线上，
连接 BD，则下列结论一定正确的是(
)
A
A.∠CAE＝∠BED
C.∠ACE＝∠ADE
B.AB＝AE
D.CE＝BD
8.(2023·陕西)如图，DE 是△ABC 的中位线，点 F 在 DB 上，DF
＝2BF.连接 EF 并延长，与 CB 的延长线相交于点 M.若 BC＝6，则线
段 CM 的长为(
)
C
13
A.
2
B.7
C.
15
2
D.8
9.(2024·达州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC
上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是___.
10.(2023·聊城)如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，
且 BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(4 分)
(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积.(6分)
(1)证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，
∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED.
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA.
(2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED 为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4.(共36张PPT)
第四章 三角形
第十五讲 角、相交线与平行线
直线公理 两点确定一条直线
线段公理 两点之间，线段最短
两点间的距离 连接两点的线段的长度
线段的中点 把线段分成相等的两条线段的点
考点梳理
考点 1
直线、线段
以题导学
段 DB 的中点，若 AB＝10 cm，则 CE 的长是______ cm.
6
度、分、秒的换算 1°＝60′，1′＝60″，度、分、秒换算是 60 进
制的
余角和补角 互余：如果两个角的和为 90°，那么这两个角互为
余角
互补：如果两个角的和为 180°，那么这两个角互
为补角
性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角
相等
考点梳理
考点 2
角
以题导学
2.(2024·兰州)若∠A＝80°，则∠A 的补角是(
)
A
A.100°
B.80°
C.40°
D.10°
3.如图，点 A，B，C 三点共线，BD 是∠ABE 的平分线，BF 是
∠EBC 的平分线，已知∠ABD＝28°32′，则∠FBC＝________.
61°28′
考点梳理
考点 3
相交线
(1)垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的
垂线.
(2)垂线的性质：
①性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直.
②性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离.
以题导学
4.(2024·雅安)如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥AB 于点 O，
若∠1＝35°，则∠2 的度数是(
)
A
A.55°
B.45°
C.35°
D.30°
平行公理
及相关基
本事实 (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行.
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线的
性质与判
定 (1)同位角相等 两直线平行.
(2)内错角相等 两直线平行.
(3)同旁内角互补 两直线平行
考点梳理
考点 4
平行线
以题导学
5.(2024·呼和浩特)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝
∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4 的度数为(
)
B
A.75°
B.105°
C.115°
D.130°
考点梳理
考点 5
命题、定理与证明
(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题.命题由题设和结论两部
分组成.题设和结论都成立的命题叫做真命题，题设成立、结论不一定
成立的命题叫做假命题.
(2)定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理.
(3)证明：推理一个命题的正确性的过程叫做证明.
以题导学
6.下列说法正确的是(
)
A
A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
核心
余角、补角与对顶角的有关计算
1.把直角三角形 MON 的直角顶点 O 放在直线 AB 上，射线 OC 平
分∠AON.
图 1
图 2
(1)如图 1，若∠MOC＝25°，求∠BON 的度数；(2 分)
解：如题图 1，∵∠MOC＝25°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°－25°＝65°.
又∵OC 平分∠AON，∴∠AON＝2∠NOC＝130°，
∴∠BON＝180°－∠AON＝180°－130°＝50°.
(2)若∠MOC＝m°，则∠BON 的度数为______°；(2 分)
(3)由(1)和(2)，我们发现∠MOC 和∠BON 之间的数量关系是
_________________；(2 分)
2m
∠BON＝2∠MOC
(4)若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC
和∠BON 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由.(4 分)
解：∠MOC 和∠BON 之间的数量关系不发生变化.理由如下：
如题图 2，∵OC 平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°－∠MOC，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－2(90°－∠MOC)＝
2∠MOC，即∠BON＝2∠MOC，
∴∠MOC 和∠BON 之间的数量关系不发生变化.
变式 1－1 (2023·河南)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，若
∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE 的度数为(
)
B
A.30°
B.50°
C.60°
D.80°
变式 1－2 (2023·北京)如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∠AOD＝126°，则∠BOC 的大小为(
)
C
A.36°
B.44°
C.54°
D.63°
变式 1－3 如图，一束光沿 CD 方向，先后经过平面镜OB，OA
反射后，沿 EF 方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则
∠AEF＝______°.
40
核心
平行线的性质与判定
2.如图，直线 MN 分别与直线 AC，DG 交于点 B，F，且∠1＝∠2.
若∠ABF 的角平分线 BE 交直线 DG 于点 E，∠BFG 的角平分线 FC 交
直线 AC 于点 C.
(1)请直接写出直线 AC 与 DG 的位置关系；(3 分)
(2)求证：BE∥CF；(3 分)
(3)若∠C＝35°，求∠BED 的度数.(3 分)
(1)解：AC∥DG，理由如下：
∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠ABF＝∠2，
∴AC∥DG.
(2)证明：由(1)知 AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG.
∵∠ABF 的角平分线 BE 交直线 DG 于点 E，∠BFG 的角平分线
FC 交直线 AC 于点 C，
∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF.
(3)∵AC∥DG，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°.
∵BE∥CF，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°－∠BEG＝145°.
变式 2－1
(2024·宿迁)如图，直线 AB∥CD，直线 MN 分别与
直线 AB，CD 交于点 E，F，且∠1＝40°，则∠2 等于(
)
C
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
变式 2－2 (2024·巴中)如图，直线 m∥n，一块含有 30°角的直
角三角板按如图所示放置.若∠1＝40°，则∠2 的大小为(
)
A
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
变式 2－3 (2023·金华)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则
∠4 的度数是(
)
C
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
1.(2024·广西)如图，2 时整，钟表的时针和分针所成的锐角为
(
)
C
A.20°
B.40°
C.60°
D.80°
2.已知线段 AB＝4，在直线 AB 上作线段 BC，使得 BC＝2，若点
D 是线段 AC 的中点，则线段 AD 的长为(
)
C
A.1
B.3
C.1 或 3
D.2 或 3
3.(2024·吉林)如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，
走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是____________________.
两点之间，线段最短
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4.(2024·广州)如图，直线 l 分别与直线 a，b 相交，a∥b.若∠1＝
71°，则∠2 的度数为________°.
5.(2023·武汉)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠D，
点 E 在 BA 的延长线上，连接 CE.
(1)求证：∠E＝∠ECD；(4 分)
(2)若∠E＝60°，CE 平分∠BCD，直接写出△BCE 的形状.(4 分)
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.
(2)解：△BCE 是等边三角形，理由如下：
∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD.
∵EB∥CD，∴∠ECD＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE 是等边三角形.
A
6.(2024·湖南)下列命题中，正确的是( )
A.两点之间，线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为 720°
D.直角三角形是轴对称图形
7.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光
线与平面镜的夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4 的度数
为(
)
B
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
8.(2023·深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，
DE 与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝(
)
A
A.70°
B.65°
C.60°
D.50°
9.已知 A，B，C 是同一直线上的三点，且 AB＝12 cm，BC＝8 cm.
若点 D 是 AC 的中点，则线段 AD 的长度是_________cm.
10 或 2
10.(2024·盐城)已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，
AE∥BF，AE＝BF.
若______________，则 AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F 这3个选项中选择一个
作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.(6 分)
证明：选择①，∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.
∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，
∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC＝BD，∴AB＝CD.
