(共42张PPT)
第二十二讲 矩形、菱形、正方形
分类 内容
性质 (1)对边平行且相等；
(2)四个角都是直角；
(3)对角线互相平分且相等；
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)对角线相等的平行四边形；
(3)有三个角是直角的四边形
考点梳理
考点 1
矩形的性质和判定
以题导学
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三
角形，AB＝4.
(1)求证： ABCD 是矩形；(4 分)
(2)求 AD 的长.(6 分)
分类 内容
性质 (1)对边平行，四边相等；
(2)对角相等，邻角互补；
(3)对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形；
(2)四条边相等的四边形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形
面积计算 S菱形＝底×高＝ ×两条对角线的积
考点梳理
考点 2
菱形的性质和判定
以题导学
2.如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，
且 AE＝CF，连接 BF，FD，DE，EB.求证：四边形 DEBF 是菱形.
(6 分)
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，
AC 平分∠DAB，CA 平分∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB.
∵AE＝CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，
∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形 DEBF 是菱形.
分类 内容
性质 (1)对边平行，四边相等；
(2)四个角都是直角；
(3)对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)有一个角是直角的菱形是正方形；
(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
面积计算 S正方形＝边长×边长＝ ×两条对角线的积
考点梳理
考点 3
正方形的性质和判定
以题导学
3.如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则∠AEB
＝______°.
15
4.(2024·黑龙江)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于
点 O，请添加一个条件_____________，使得菱形 ABCD 为正方形.
AC＝BD
考点梳理
考点 4
平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的联系
以题导学
5.下列说法正确的是(
)
D
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.四个角都相等的四边形是正方形
C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
核心
矩形的性质与判定
1.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，连接 OE.
(1)求证：四边形 ABCD 是矩形；(4 分)
证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
(2)若∠BDE＝15°，求∠DOE；(4 分)
解：∵四边形 ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC.
又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°.
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，∴△OCD 是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，OC＝CD，
∴∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.
∵EC＝CO，∴∠COE＝(180°－30°)÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝60°＋75°＝135°.
(3)在(2)的条件下，若AB＝2，求△DOE的面积.(4分)
解：如图，作 OF⊥BC 于点 F.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，
AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
【方法总结】利用矩形的性质和判定定理解决问题，一般是先判
定一个四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题.
变式 1－1 (2024·淮安)如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在 BD
上，BE＝DF.求证：△ABE≌△CDF.(6分)
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
变式 1－2 (2024·长春)如图，在四边形ABCD中，
∠A＝∠B＝90°，点 O 是边 AB 的中点，∠AOD＝
∠BOC.求证：四边形 ABCD 是矩形.(6 分)
证明：∵点 O 是边 AB 的中点，∴OA＝OB.
∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，∴DA∥CB，∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵∠A＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形.
核心
菱形的性质与判定
2.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD
交于点 O，AC 平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，
连接 OE.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(4 分)
(1)证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA.
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB.
∵AB∥DC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵AD＝AB，∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC.
∵CE⊥AE，∴OE＝OA＝OC.
(3)解：如图，点 M 在线段 AO 上或线段 OC 上.
【方法总结】进行菱形的判定时，先要搞清起始四边形的形状，
再根据条件选择方法 .若起始四边形是平行四边形，则有对角线就用
“对角线垂直的平行四边形是菱形”，无对角线就用“邻边相等的平
行四边形是菱形”；若起始是四边形，则优先考虑用“四条边相等的
四边形是菱形”.
变式 2－1
(2024·福建)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别
在边 BC 和 CD 上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.(6 分)
变式 2－2 (2023·永州)如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
其对角线相交于点 O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
(1)△AOB 是直角三角形吗？请说明理由.(4 分)
(2)求证：四边形 ABCD 是菱形.(4 分)
(1)解：△AOB 是直角三角形.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，BD＝8，
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB＝90°.
(2)证明：由(1)可知∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形 ABCD 是菱形.
核心
正方形的性质与判定
3.如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，EF
⊥AD 于点 F，DG⊥AE 于点 G，DG 与 EF 交于点 O.
(1)求证：四边形 ABEF 是正方形.(4 分)
(2)若 AD＝AE，AB＝2，
①求 AG 的长；(4 分)
②求 OF 的长.(4 分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，∴∠AFE＝∠BAF＝∠ABE＝90°，
∴四边形 ABEF 是矩形.
∵AE 平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形 ABEF 是正方形.
(2)解：①∵AE 平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE.
∴△AGD≌△ABE(AAS)，
∴AB＝AG，∴AG＝AB＝2.
变式 3－1
(2024·内蒙古)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对
角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC边上一点，点 F 是BD上一点，
连接 DE，EF.若△DEF 与△DEC 关于直线 DE对称，则△BEF 的周长
是(
)
A
变式 3－2 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E，F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形 AECF
是正方形.(6 分)
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
∴四边形 AECF 是菱形.
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，
即 EF＝AC，∴菱形 AECF 是正方形.
)
A
1.(2023·常德)下列命题正确的是(
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
2.(2024·甘肃)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点
O，∠ABD＝60°，AB＝2，则 AC 的长为(
)
C
A.6
B.5
C.4
D.3
3.(2022·广东)已知一菱形的边长为 5，则它的周长是______.
20
4.(2024·兰州)如图，四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角
形，EF⊥AB 于点 F，若 AD＝4，则 EF＝______.
2
5.(2024·扬州)如图 1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，
得到四边形 ABCD.
图 1
图 2
(1)试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；(4 分)
(2)已知矩形纸条宽度为 2 cm，将矩形纸条旋转至如图 2 位置时，
四边形 ABCD 的面积为 8 cm2，求此时直线 AD，CD 所成锐角∠1 的
度数.(6 分)
解：(1)四边形 ABCD 是菱形.理由如下：
如图 1，作 CH⊥AB，垂足为 H，CG⊥AD，垂足为 G.
∵两个纸条为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵S ABCD＝AB·CH＝AD·CG，且CH＝CG，
图 1
∴AB＝AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)如图 2，作 AM⊥CD，垂足为 M.
∵S菱形ABCD＝CD·AM＝8 cm2，且AM＝2 cm，
∴CD＝4 cm，
∴AD＝CD＝4 cm.
图 2
∴∠1＝30°.
6.(2024·泸州)已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件中，不
能判定 ABCD 为矩形的是(
)
D
A.∠A＝90°
B.∠B＝∠C
C.AC＝BD
D.AC⊥BD
7.(2024·海南)如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝120°，边
AB 在数轴上，将 AC 绕点 A 顺时针旋转，点 C 落在数轴上的点 E 处，
若点 E 表示的数是 3，则点 A 表示的数是(
)
D
8.(2024·常州)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线
分别交边AB，CD于点E，F.若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝____.
9.(2024·北京)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，连接
DE，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF
的面积为_______.
10.(2023·广东)综合与实践.
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤 1：如图 1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，
并剪去四个角上的小正方形；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2 分)
(2)证明(1)中你发现的结论.(4 分)
图 1
图 2(共35张PPT)
第五章 四边形
第二十一讲 平行四边形与梯形
考点梳理
考点 1
多边形的内角和与外角和
(1)内角和定理：n 边形(n≥3)内角和为(n－2)·180°；
(2)外角和定理：n 边形(n≥3)外角和为 360°；
(3)对角线：从 n 边形(n≥3)的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并
且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n 边形对角线的条数为
以题导学
1.(2024·临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图 1 窗棂
的外边框为正六边形(如图 2)，则该正六边形的每个内角为________.
图 1
图 2
120°
2.(2024·巴中)从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线.
2.2
分类 性质 判定
内容 (1)对边平行且相等；
(2)对角相等，邻角互补；
(3)对角线互相平分；
(4)中心对称图形；
(5)不稳定性 (1)两组对边分别平行；
(2)两组对边分别相等；
(3)一组对边平行且相等；
(4)两组对角分别相等；
(5)两条对角线互相平分
考点梳理
考点 2
平行四边形的性质与判定
以题导学
3.(2022·广东)如图，在 ABCD 中，一定正确的是(
)
C
A.AD＝CD
B.AC＝BD
C.AB＝CD
D.CD＝BC
4.如图，在四边形 ABCD 中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边
形 ABCD 成为平行四边形，你所添加的条件为_________.
AB∥DC
分类 性质 判定
内容 ①两条腰相等；
②同一底上的两个底角相等；
③两条对角线相等；
④轴对称图形 ①两腰相等的梯形；
②同一底上两个角相等的梯形是
等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形
考点梳理
考点 3
梯形的性质与判定
(1)定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形.
(2)直角梯形：①有一条腰与底边垂直，另一条腰不与底边垂直；
②有两个内角是直角.
(3)等腰梯形的性质与判定：
(4)梯形中位线定理：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
以题导学
5.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，延长 CB 到点 E，使
BE＝AD，连接 AE，AC.
(1)求证：△AEB≌△CAD；(4 分)
(2)若 AD＝DC，∠BAD＝100°，求∠E 的大小.(6 分)
(1)证明：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠BCD，∠D＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D.
∵AB＝CD，BE＝AD，
∴△AEB≌△CAD(SAS).
(2)解：∵△AEB≌△CAD，AD＝DC，
∴AB＝BE，∴∠E＝∠EAB.
∵AB＝CD，∠BAD＝100°，
∴∠D＝∠BAD＝100°，
∴∠ABE＝100°，
核心
多边形的内角和与外角和
1.(10 分)阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题.
(1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”
的度数是______°.(2 分)
20
(2)明明求的是几边形的内角和？(2 分)
(3)若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是
多少？(4 分)
解：(2)∴明明求的是八边形的内角和.
(3)360°÷8＝45°.
答：这个正多边形的每一个外角的度数是 45°.
变式 1－1
(2024·济南)若正多边形的一个外角是 45°，则这个
正多边形是(
)
C
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
变式 1－2
(2024·威海)如下图，在正六边形 ABCDEF 中，AH∥
FG，BI⊥AH，垂足为点 I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝_____.
50°
核心
平行四边形的性质与判定
2.在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，延长 ED 至点 F，
使得 DF＝DE，连接 BF.
(1)求证：四边形 BCEF 是平行四边形.(4 分)
(2)设 BG⊥CE 于点 G，连接 CF，且点 G 是 CE 的
中点，CF＝6，tan∠BCG＝3.
①求 CG 的长；(4 分)
②求平行四边形 BCEF 的周长.(4 分)
(2)解：①如图设 BG 与 FC 交于点 H.
∵点 G 是 CE 的中点，
∴EC＝2EG＝2CG.
∵四边形 BCEF 是平行四边形，
∴FB＝EC，EF＝BC，FB∥EC.
设 EG＝CG＝x，则 FB＝EC＝2x.
变式 2－1
(2024·广州)如图，在 ABCD 中，BC＝2，点 E 在 DA
的延长线上，BE＝3，若 BA 平分∠EBC，则 DE＝______.
5
变式 2－2 (2023·杭州)如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，
BD 相交于点 O，点 E，F 在对角线 BD 上，且 BE＝EF＝FD，连接
AE， EC，CF，FA .
(1)求证：四边形 AECF 是平行四边形.(4 分)
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.(6分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
(2)解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形 AECF 是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO 的面积＝1.
1.(2024·云南)一个七边形的内角和等于(
)
B
A.540°
B.900°
C.980°
D.1 080°
2.(2024·资阳)已知一个多边形的每个外角都等于 60°，则该多边
形的边数是(
)
C
A.4
B.5
C.6
D.7
3.(2023·兰州)如图，在 ABCD 中，BD＝CD，AE⊥BD 于点 E，
若∠C＝70°，则∠BAE＝_____°.
50
30
4.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝50，AB＝20，∠B
＝60°，则 AD＝______.
5.(2023·广安)如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，
BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，且 AF＝CE，∠BAC＝
∠DCA.求证：四边形 ABCD 是平行四边形.(6 分)
证明：∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，
∴AE＝CF.
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD.
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AB＝CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
6.(2024·遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一
个内角和为 1 080 °的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
(
)
C
A.36°
B.40°
C.45°
D.60°
7.(2024·赤峰)如图，这是正 n 边形纸片的一部分，其中 l，m 是
正 n 边形两条边的一部分，若 l，m 所在的直线相交形成的锐角为
60°，则 n 的值是(
)
B
A.5
B.6
C.8
D.10
8.如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，其中 AD∥BC，∠ABC＝
45°，∠DCB＝30°，斜坡 AB 长 8 m，则斜坡 CD 的长为( )
B
9.(2023·聊城)如图，在 ABCD 中，BC 的垂直平分线 EO 交 AD
于点 E，交 BC 于点 O，连接 BE，CE，过点 C 作 CF∥BE，交 EO 的
延长线于点 F，连接BF.若 AD＝8，CE＝5，则四边形 BFCE 的面积为
______.
24
10.(2024·北京)如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，
DB，CE 交于点 F，DF＝FB，AF∥DC.
(1)求证：四边形 AFCD 为平行四边形；(4 分)
(2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求 BC 的长.(6 分)
(1)证明：∵点 E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.
∵DF＝BF，∴EF 是△ABD 的中位线，
∴EF∥AD，∴CF∥AD.
∵AF∥CD.∴四边形 AFCD 为平行四边形.
(2)解：由(1)知 EF 是△ABD 的中位线，∴AD＝2EF＝2.
∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3.
∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3.
